11.1 Элементы теории восстановления систем

В настоящие время получили широкое распространение в теории надёжности, вопросы управления восстановлением. Большинство задач о предупредительных работах с заменой элементов, профилактических работ могут решаться в рамках теории восстановления. Рассмотрим основные сведения из теории восстановления.

Простым процессом восстановления называется последовательность независимых, неотрицательных и одинаково распределённых случайных событий X₁, X₂, ..., X_k. Например, замена ламп освещения, шкал, электронных ламп, и др.

Пусть элемент начинает свою работу в момент времени t=0 и проработав случайное время X₁выходит из строя. Его немедленно заменяют. Описанный процесс продолжается неограниченно долго (смотри рисунок 11.1).

Рисунок 11.1- Процесс отказов и восстановлений

Тогда моменты t₁=X₁, t₂=X₂, ... образуют поток случайных событий. Основные характеристики этого потока.

1) Распределение F случайной величины X_i;

2) Распределение величины — длительность до k-ro восстановления;

3) Число восстановлений в интервале времени N(t) ≈ max К

4) Среднее значение случайной величины M[N(t)]=M(t) называется функцией восстановления;

5) Плотность восстановления равная m(t)=M(t)

Асимптотическое поведение процесса восстановления во времени представляет большой практический интерес. При этом, особо обращается внимание на изучение его характеристик при неограниченном увеличении t.

Так, например, если распределение F имеет конечное среднее время T₁то количество восстановлений в единицу времени N(t)/t сходится по вероятности к 1/ T₁,

,

т.е. для большого интервала времени среднее число отказов, приходящихся на единицу времени, близко к величине, обратной среднему времени жизни элемента (элементарная теория восстановления).

Если время жизни элемента u имеет непрерывную функцию распределения q(u) монотонно убывающую, интегрируемую на [0,∞], то

Данная формула удобна при практическом применении тем, что задаваясь различного вида функциями q(t), можно получать предельные соотношения для определения характеристик процесса восстановления.

11.2 Оптимальные правила предупредительных замен

Правила предупредительных замен, которые минимизируют или максимизируют некоторый критерий надёжности или стоимости, будем называть оптимальным.

В математических моделях предупредительных замен предполагают следующее:

-отказы в системе мгновенно обнаруживаются и устраняются;

-C₁— затраты связанные с отказом и последующей заменой отказавшей единицы оборудования;

-C₂— затраты связанные с предупредительной заменой ещё не отказавшего оборудования.

В качестве критерия выбирают средние потери при эксплуатации системы в интервале [0, t]:

C(t) = C₁M[N₁(t)] + C₂M[N₂(t)]

где N₁(t) — количество отказов в интервале [0, t];

N₂(t) — количество предупредительных замен;

C₁ — средние потери замены единицы оборудования;

С₂ — средние потери предупредительной замены.

Правило замен, которое минимизирует C(t), будет оптимальным в виде

Определение оптимального времени предупредительной замены по наработке на конечном интервале времени является сложной задачей и зависит от переменных факторов, характера отказов, которые трудно предсказать.