Фізика (Чоплан П.П

Звідси

Отже, в системі К, відносно якої стрижень рухається, довжина його менша, ніж у системі К\ відносно якої стрижень перебуває в стані спокою. Співвідношення (14.13) називають формулою лоренцового скорочення. Слід зауважити, що формули перетворень Лоренца втрачають свій зміст, коли υ = с, оскільки тоді в знаменни­ ку з’являються нулі, а ділення на нуль, як відомо, неможливе. Це означає, що ніякі дві системи відліку не можуть мати відносну швидкість, яка дорівнювала б швидкості світла. Цей результат ви­ пливає також із формули лоренцового скорочення: тіло, що рухало­ ся б зі швидкістю світла, мало б поздовжні розміри, які дорівнювали

бнулю.

4.Закон додавання швидкостей. У класичній механіці, як відо­ мо, швидкість тіла просто додається до швидкості системи відліку. Розглянемо це питання в релятивістській механіці й обмежимося одновимірним випадком. Нехай у двох системах відліку К і К' ви­ вчається рух тіла, яке переміщується прямолінійно і рівномірно па­ ралельно осям х і х обох систем відліку (див. рис. 14.5). Нехай швидкість тіла, визначена в системі К, є и, а швидкість того самого тіла, визначена в системі К — и. Швидкість системи К' відносно системи К позначимо через и. Унаслідок руху тіла його координати в системах К і К' змінюються. Початкове положення тіла в системі

Швидкість тіла визначається відношенням пройденого тілом шляху до відповідного проміжку часу. Тому для знаходження швидкості тіла в обох системах відліку треба різницю просторових координат обох подій поділити на різницю часових координат:

Із формул перетворень Лоренца дістанемо

(14.16)

338

Поділимо відповідно праві і ліві частини цих рівностей:

Отже, дістанемо релятивістську формулу додавання швидкостей

Розглянемо мислений експеримент. Нехай ракета рухається зі швидкістю світла ( и - с ) відносно системи К\ а сама система К' також рухається відносно системи К зі швидкістю υ - с. Якою буде швидкість ракети відносно нерухомої системи ΚΊ Щоб відповісти на це запитання, скористаємось релятивістським законом додавання швидкостей (14.18)

Цей результат пояснює і дослід Майкельсона. Один з основних висновків спеціальної теорії відносності полягає в тому, що жодне тіло не може рухатись зі швидкістю, більшою за швидкість світла у вакуумі. Справді, якщо швидкість тіла наближається до швидкості світла, то його об’єм унаслідок лоренцового скорочення (14.13) праг­ нутиме до нуля, а маса — до нескінченності.

Слід звернути увагу на те, що однаковою в усіх системах є лише швидкість світла у вакуумі. Швидкість світла в речовині в різних системах відліку різна. Значення с /τι вона має в системі відліку, що пов’язана з середовищем, в якому поширюється світло. Якщо υ « с, то формула (14.18) переходить у формулу додавання швид­ костей класичної механіки.

14.7. Основні положення спеціальної теорії відносності

Наприкінці XIX ст. фізикам здавалось, що наступні дослідження тільки доповнюватимуть наші знання, а фундаментальних змін не відбудеться. Всю цю струнку й непорушну ззовні «споруду» тепер називають класичною фізикою. Загальну гармонію фізики порушу­ вали лише окремі факти. Таким був, наприклад, результат досліду Майкельсона. Пояснити його за допомогою уявлень класичної фізи­ ки не вдалося. Найкраще пояснив цей дослід X. Лоренц за допомо­

339

гою гіпотези скорочення тіл. Теорія Лоренца не лише пояснила ре­ зультати досліду Майкельсона, а й за своєю формальною математич­ ною теорією дуже нагадувала теорію Ейнштейна. Ще ближче до тео­ рії відносності були ідеї видатного французького математика А. Пуанкаре. Проте теорію відносності створив А. Ейнштейн (а не А. Пуанкаре або X. Лоренц), бо він глибше дослідив суть явищ.

Будь-яка фізична теорія насамперед визначається не математич­ ним апаратом, а фізичним її змістом. Головним напрямом досліджень X. Лоренца й А. Пуанкаре було пристосування класичної фізики до нових фактів з метою рятування ефіру. Гіпотеза скорочення була вільним припущенням, яке ніяк не можна було обґрунтувати в ме­ жах класичної фізики.

А. Ейнштейн мав зовсім іншу мету. Він не пристосовував стару теорію, а створив якісно нову, яка зуміла пояснити всі нові факти, відкинувши ефір. Основні положення спеціальної теорії відносності А. Ейнштейн виклав у своїй статті «До електродинаміки рухомих тіл» (1905 p.). Створена А. Ейнштейном спеціальна теорія віднос­ ності ґрунтується на двох дослідних фактах: принципі відносності та сталості швидкості світла.

Принцип відносності — головний постулат теорії Ейнштейна — формулюється так: в інерціальних системах відліку всі фізичні яви­ ща відбуваються однаково. Інакше кажучи, всі фізичні закони в цих системах однакові. Отже, принцип відносності поширюється на всі фізичні процеси, в тому числі на електромагнітні.

Проте теорія відносності ґрунтується не тільки на принципі віднос­ ності. Є ще другий постулат: швидкість світла у вакуумі однакова в усіх інерціальних системах відліку і не залежить від напряму його поширення, а також від напряму і швидкості руху джерела і приймача.

На відміну від своїх попередників А. Ейнштейн вбачав у негатив­ ному результаті досліду Майкельсона не випадкові труднощі, які потребували того чи іншого настільки ж випадкового пояснення, а прояв деякого загального закону природи. Він полягав у тому, що неможливо виявити прямолінійний і рівномірний рух лабораторії відносно ефіру (абсолютного простору) не тільки механічними, а й оптичними методами. Узагальнюючи цей результат, він висунув гіпо­ тезу, яка є розширенням принципу відносності Галілея і називається

принципом відносності Ейнштейна.

Принцип відносності Ейнштейна є таким самим вірогідним нау­ ковим фактом, як і твердження про атомістичну структуру речови­ ни або закон збереження енергії. У зв’язку з цим будь-яка ідея ство­ рення фізичного приладу (механічного, оптичного тощо) для вияв­ лення абсолютного руху системи має бути безумовно відкинута, як і ідея вічного двигуна.

Зрозуміло, що принцип відносності робить надуманою і безпред­ метною гіпотезу абсолютного простору. Якщо в усіх лабораторіях,

340

що рухаються одна відносно одної рівномірно і прямолінійно, всі фізичні явища відбуваються однаково, то не можна надати перевагу жодній із них. Одночасно виявляються зайвими поняття абсолютно­ го спокою і абсолютного руху. Будь-який рух відносний і слід мати на увазі лише рух одного тіла відносно іншого.

Гіпотеза ефіру як неперервного пружного середовища внутрішньо суперечлива. Справді, якщо справедливий принцип відносності Ейн­ штейна і фізичні явища відбуваються однаково в усіх інерційних си­ стемах, то в жодній із цих систем не повинен виявлятися «ефірний вітер». Це означало б, що ефір має бути в стані спокою відносно будьякої з цих лабораторій, що явно безглуздо. Отже, принцип віднос­ ності Ейнштейна не сумісний з гіпотезою про існування ефіру.

Оскільки принцип відносності Ейнштейна витісняє з фізики те гіпотетичне пружне середовище, в якому, згідно з хвильовою тео­ рією, поширюються електромагнітні (зокрема, світлові) хвилі, то пе­ ред фізиками знову постало питання про природу світла, яке здава­ лось остаточно розв’язаним. Відповідь на нього дав А. Ейнштейн, створивши 1905 р. основи квантової теорії світла.

14.8. Динаміка спеціальної теорії відносності

Ми розглянули винятково просторово-часові співвідношення, кіне­ матику теорії відносності. Тепер ознайомимося з релятивістською динамікою.

Мірою взаємодії одного тіла з іншим є сила. Маса тіла вводиться як індивідуальна стала характеристика, що вимірюється інертністю тіла. Важливим етапом у розвитку механіки стало введення більш абстракт­ них понять: імпульсу (ρ = τηϋ) і кінетичної енергії тіла (Ε = ττιυ2 / 2).

Імпульс і кінетична енергія — дві різні міри руху. Кінетична енер­ гія як величина скалярна характеризує рух тільки з кількісного боку, імпульс як величина векторна показує ще й напрям руху. Класична динаміка ґрунтується на другому законі Ньютона, який стверджує, що зміна імпульсу пропорційна діючій силі й відбувається у напрямі дії сили:

До того ж, як стверджує дослід, перехід від системи К до системи К\ що рухається відносно системи К зі сталою швидкістю υ у на­ прямі осі х (див. рис. 14.5), супроводжується зміною компонентів сили за такими формулами:

(14.21)

341

Незбереження сили при переході від однієї інерціальної системи до іншої зумовлене тим, що довжини відрізків у напрямі руху і про­ міжки часу, від яких залежать сили, змінюються.

А. Ейнштейн довів, що другий закон Ньютона (14.20) інваріант­ ний перетворенням Лоренца, якщо імпульс тіла в інерціальній сис­ темі відліку визначити так:

де тп— маса тіла; ϋ — швидкість тіла в обраній системі відліку; с — швидкість світла у вакуумі.

Отже, в релятивістській динаміці, як і в ньютонівській, імпульс матеріальної точки пропорційний її масі т і збігається за напрямом зі швидкістю ν цієї точки. Проте на відміну від ньютонівської динамі­ ки імпульс матеріальної точки є нелінійною функцією її швидкості.

При цьому прийнято вважати, що маса т не залежить від швид­ кості матеріальної точки і тим самим є інваріантною відносно вибо­ ру систем відліку. Якщо υ « с, то вираз (14.22) практично дорів­ нює ти, тобто збігається зі значенням імпульсу матеріальної точки в ньютонівській механіці. Імпульс р, виражений формулою (14.22), інколи називають релятивістським імпульсом матеріальної точки*.

Таким чином, в релятивістській області між імпульсом тіла і швидкістю вже немає пропорційної залежності, а існує більш склад­ на залежність, яка виражається формулою (14.22).

Другий закон Ньютона в релятивістській формі має такий вигляд:

ґ\

Із (14.22) видно, що lim р = Усі реальні сили скінченні, а їх дія

на тіло обмежена за часом. Тому відповідно до (14.23) вони не мо­ жуть надати тілу нескінченно великий імпульс. Отже, швидкість тіла відносно будь-якої інерціальної системи відліку не може дорів­ нювати швидкості світла у вакуумі, а є меншою від неї.

Це твердження справедливе для атомів, молекул і всіх елемен­ тарних частинок, за винятком фотонів, нейтрино і антинейтрино, маса яких дорівнює нулю**, тому їх швидкість не може відрізняти­ ся від швидкості світла у вакуумі.

*Донедавна масу т звичайно називали масою спокою матеріальної точки, а

m /sll-v2/с 2 — релятивістською масою цієї точки. Відповідно вважали, що маса матеріальної точки залежить від її швидкості.

**Нині ретельно вивчається питання про можливість відмінності від нуля зна­ чень мас нейтрино і антинейтрино.

342

На відміну від ньютонівської механіки сила F, яка діє на мате­ ріальну точку, не інваріантна відносно вибору інерціальної системи відліку. Правила перетворення компонент сили при переході від однієї інерціальної системи відліку до іншої можна отримати із умови ло- ренц-інваріантності рівняння (14.23). При малих швидкостях (ν « с) рівняння (14.23) практично збігається з основним рівнянням ньюто­ нівської динаміки (2.7). Проте зі збільшенням швидкості матеріаль­ ної точки її імпульс зростає швидше, ніж змінюється швидкість.

14.9. Закон взаємозв'язку маси і енергії

Нехай на вільне тіло з масою т діє сила F. Елементарна робота, яку виконує сила, переміщуючи тіло на відстань dl, становитиме dA = Fdl. Після перетворень дістанемо

і 1 - β ζ

Сталу G визначимо з умови, що при υ = 0 кінетична енергія тіла також дорівнюватиме нулю ( Ек = 0). Із співвідношення (14.25) діста­ немо G = -тс2. Тоді формула для кінетичної енергії набирає вигляду

тс - тс

VT1?

або

Кінетична енергія Ек частинки або тіла є не що інше, як різниця значень повної енергії цієї частинки (або тіла) у двох станах: руху зі швидкістю υ і спокою (при ν = 0). Тому відповідно (14.25) повна енергія Е частинки або тіла, що рухається поступально, а також їх повна енергія Е0 у стані спокою, яка називається енергією спокою, дорівнюють:

343

Енергію спокою вільної частинки звичайно називають її власною енергією. Друге співвідношення (14.26) справедливе як для окремої частинки, так і для будь-якої системи частинок (зокрема, для атом­ ного ядра, атома, молекули, твердого тіла). Воно виражає один із основних законів теорії відносності — закон взаємозв’язку маси і енергії: енергія спокою системи дорівнює добутку маси цієї системи на квадрат швидкості світла у вакуумі. Його називають також фор­ мулою Ейнштейна. Справедливість закону взаємозв’язку маси і енергії підтверджують численні експерименти в ядерній фізиці.

Із співвідношення (14.26) випливає, що будь-якому матеріально­ му об’єкту властиві маса і пропорційна їй енергія. Так, світлові хвилі, які несуть енергію Е9мають електромагнітну масу, що дорівнює Е /с2. А якщо світло має масу, то під впливом сили тяжіння воно має при­ тягуватись тілами великих мас. Таке викривлення світлового проме­ ня в напрямі Сонця призводить до помітного зміщення уявного по­ ложення зірок, які спостерігають поблизу Сонця під час затемнен­ ня. Переконливим підтвердженням наявності маси світла є експери­ мент Π. М. Лебедєва з визначення тиску світла, який засвідчує про­ порційність між масою і енергією.

Закон пропорційності зв’язує дві фундаментальні властивості будьяких матеріальних об’єктів — масу і енергію, які раніше вважалися незалежними одна від одної.

14.10. Філософський аналіз взаємозв'язку маси і енергії

Ньютонівське трактування маси як кількості матерії було нас­ лідком механічного розуміння матерії. Вважалося, що матерія скла­ дається з абсолютно твердих, неподільних атомів, які уособлюють собою поняття тілесної субстанції. При цьому логічно було стверджу­ вати, що чим більше атомів в одиниці об’єму тіла, тим більше в ньо­ му «кількості матерії», тобто маси. Визначення маси як міри інерт­ ності і міри гравітації виявлялось ніби другорядним.

У сучасній фізиці ситуація докорінно змінилася: визначення маси як «кількості матерії» стало неприйнятним. Очевидно, що повна маса тіла т не може розглядатись як «кількість матерії», адже вона зале­ жить від вибору системи відліку. Оскільки система відліку обирається довільно, то ніякого однозначного висновку про кількість матерії не дістанемо. Наприклад, маса фотона дорівнює нулю, але це зовсім не свідчить про його нематеріальність. З філософської точки зору поняття «кількості матерії» взагалі некоректне. Воно передбачає наявність одноякісної субстанції, яка має єдину кількісну міру свого виявлен­ ня, що суперечить принципу невичерпності матерії. Тому в сучасній фізиці маса трактується не через кількість матерії, а як міра інертності і міра гравітації.

344

Наприкінці XIX ст. стало сумнівним поняття «тілесна субстанція», на перший план висунулось поняття «енергія», яке вийшло далеко за межі механіки, набуло загального визнання. Водночас усе більше виявлялась обмеженість поняття маси.

У цих умовах виник енергетизм Оствальда як спроба замінити поняття матерії поняттям енергії. Висновок Оствальда про те, що енергія — це деяка нематеріальна субстанція, чистий рух без мате­ ріального носія неправомірний. Цей висновок ґрунтується на неза­ конному ототожненні понять «матерія» і «речовина», характерному для класичної фізики, а також на поєднанні однієї з властивостей фізичних об’єктів (енергії) з самим об’єктом, що має цю властивість.

Поняття енергії здавалося більш загальним, ніж поняття речови­ ни. Проте з цього не випливає, що енергія становить собою нову субстанцію світу. Енергія є однією з найважливіших фізичних мір руху, однією з фундаментальних властивостей фізичних об’єктів, яку до цього часу вдавалось приписувати будь-яким об’єктам і явищам природи. Не виключено, що рано чи пізно і це поняття виявиться обмеженим.

Нова фаза енергетизму була пов’язана із співвідношенням Ейнш­ тейна (14.26). Фізичний зміст його полягає в тому, що будь-яке збільшення маси тіла спричинює збільшення його енергії, а будьяке збільшення енергії тіла приводить, у свою чергу, до збільшення його маси. Навіть тіло, що перебуває у стані спокою, має величезну внутрішню енергію (Е0 = тс2), невелика частина якої використовуєть­ ся у вигляді ядерної енергії.

Оскільки маса і енергія взаємопов’язані, іноді стверджують, що матерія — це згущена енергія, що елементарні частинки складають­ ся з енергії, що маса перетворюється в енергію тощо. Досвід свідчить, що маса, як і енергія, зберігається, вона не зникає і не перетво­ рюється в енергію.

Як масу, так і енергію було б неправильно розглядати як «мате­ ріал», з якого будуються фізичні об’єкти. Енергія, подібно до маси, не може характеризувати «кількість матерії». До того ж фізичні об’єк­ ти мають й інші фундаментальні властивості, тому субстанціалізація саме енергії і необґрунтована.

Більш складним є питання про інтерпретацію еквівалентності маси та енергії. Очевидно, що маса і енергія нерозривно взаємопов’язані. Ілюзія про їхню абсолютну протилежність була зумовлена тим, що в

Це приводить до наближеного збереження маси та уявлення про ста­ більну матеріальну субстанцію. Навпаки, в мікросвіті енергетичні перетворення стають порівнянними з величиною тс2 , і різка проти­ лежність маси і енергії зникає. Вже не можна говорити, що лише

345

енергія відбиває «активний» характер процесів, а маса — «пасивний». Закон збереження маси порушується, що спростовує уявлення про матеріальну субстанцію. Протилежність маси і енергії, притаманна макросвіту, перетворюється в глибоку єдність їх.

Закон пропорційності пов’язує дві фундаментальні властивості будь-яких матеріальних об’єктів: масу та енергію, які раніше роз­ глядались як незалежні. «Таким чином, — писав М. Борн, — ми досягли величезного єднання наших знань про матеріальний світ: матерія в найбільш широкому розумінні цього слова (в тому числі світло та інші форми чистої енергії на мові класичної фізики) має дві фундаментальні властивості: інерцію, що вимірюється її масою, і властивістю виконувати роботу, що вимірюється її енергією. Ці дві властивості точно пропорційні одна одній»*.

На думку М. Джеммера, у межах теорії відносності поняття маси і енергії тотожні і є виявом одного і того самого фізичного субстрату, у зв’язку з чим слід мати на увазі єдину фізичну величину — «масенергію». Не погоджуючись із запропонованою М. Джеммером субстанціалізацією «масенергії», можна все ж таки визнати, що маса і енергія в мікросвіті зливаються в єдину фізичну величину і що вибір одного з цих понять для описання конкретних фізичних процесів є багато в чому умовним.

14.11. Фізика простору і часу. Принцип еквівалентності

Представники класичної фізики не наважувались науково дослі­ дити й розкрити властивості простору й часу. Ці властивості вважа­ ли наперед заданими і визначали найпростішими аксіомами матема­ тики. І. Ньютон розглядав простір як абсолютний, істинний, мате­ матичний, а час як абсолютну плинність від минулого до майбутньо­ го. Після створення теорії відносності А. Ейнштейном простір і час перестали бути «апріорними формами» і самі стали об’єктом фізич­ ного дослідження. Основна ідея А. Ейнштейна полягає в тому, що властивості простору й часу мають не задаватися наперед, а виводи­ тися з досліду. Властивості простору й часу зовсім не обов’язково повинні бути завжди рівнозначними, вони змінюються від точки до точки і від моменту до моменту.

Як зазначалося, прискорення тіл у неінерціальних системах відліку залежить не тільки від взаємодії тіл. Якщо прискорення тіла, зумов­ лене неінерціальністю системи, помножити на масу тіла, то дістане­ мо так звану силу інерції. Під її впливом тіла різних мас системи набувають однакового прискорення. Наприклад, кулі на поличці ва­ гона при його зупиненні, якщо знехтувати тертям, набудуть однако­

*Борн М. Физика в жизни моего поколения. — М.: Изд-во иностр. лит., 1963. — С. 345.

346

вого прискорення. За другим законом Ньютона однакові сили (йдеться про сили, що є мірою взаємодії тіл) надають тілам різної маси різне прискорення. Проте існує сила взаємодії, яка також надає тілам од­ накового прискорення незалежно від маси їх. Це сила земного тяжін­ ня. Вперше цю властивість сили тяжіння встановив Галілей, спосте­ рігаючи падіння тіл. Усі інші сили взаємодії — пружні, електричні, магнітні, сили тертя — цієї властивості не мають.

Подібність сили тяжіння до сил інерції — незалежність приско­ рень, яких вони надають, від мас тіл — дає ключ до узагальнення ньютонівської механіки, відомого під назвою загальної теорії віднос­ ності Ейнштейна. Загальну теорію відносності точніше було б назва­ ти теорією гравітації, на що вказував В. 0. Фок.

Розглянемо такий приклад. Нехай зовсім закритий вагон рухається горизонтально зі сталим прискоренням а Ф0. Висок, підвішений у вагоні, відхилятиметься від вертикального напряму до задньої стінки внаслідок дії сили інерції. Аналогічний ефект можна спостерігати і в тому разі, коли вагон рухається зі сталою швидкістю (а = 0) під гору. Оскільки в обох випадках усі тіла дістають однакові приско­ рення, всередині вагона не можна встановити, що відбувається з ва­ гоном насправді: рухається він прискорено по горизонтальному шляху чи рівномірно під гору.

Якщо, наприклад, ракета під час старту набуде прискорення віднос­ но Землі а = 2g, то вага космонавтів і всього вантажу ракети збіль­ шиться вдвічі порівняно з їхньою нормальною вагою. Ця «псевдогравітаційна» сила пропорційна інертній масі. Жоден фізичний експе­ римент всередині ракети не допоможе космонавтам установити, чи раптово збільшилося тяжіння, чи просто ракета набула прискорення відносно Землі.

У теорії тяжіння Ньютона вважалось, що сила діє вмить. Це означа­ ло, що сигнал може передаватися з нескінченною швидкістю. Таке твер­ дження суперечить одному з основних принципів відносності, який полягає в тому, що будь-яка взаємодія не може поширюватися з більшою швидкістю, ніж швидкість світла. Тому А. Ейнштейн зіткнувся з про­ блемою релятивістської теорії тяжіння. Він вважав, що його нова тео­ рія має задовольняти принцип відносності й водночас автоматично містить тотожність гравітаційної та інертної мас. Це привело А. Ейн­ штейна до формулювання так званого принципу еквівалентності. Цей принцип стверджує, що дія поля тяжіння еквівалентна дії прискорен­ ня системи відліку, або сили тяжінняфізично еквівалентні силам інерції.

Закони механіки формулюються однаково, якщо відносити рух тіл до інерціальних систем відліку. В цьому полягає принцип віднос­ ності Галілея. А. Ейнштейн поширив принцип відносності спочатку на електромагнітні явища. Це узагальнення привело до створення спеціальної теорії відносності. Наступні узагальнення виникли з подібності сил інерції і тяжіння в досить малих межах простору (на­

347