Фізика (Чоплан П.П

У це рівняння слід вкласти фізичні властивості тієї частинки, яку описує функція Ψ. Зрозуміло, що для цього треба використати співвідношення, яке пов’язує хвильові й корпускулярні властивості частинок, тобто формулу де Бройля. Підставивши в (16.8) λ = h/ р9 дістанемо

Проте цього рівняння досить лише для встановлення траєкторії частинки, що вільно рухається. Якщо ж на частинку діятимуть якісь зовнішні сили, то її поведінка визначатиметься тими самими поля­ ми, які діють на цю частинку. Повна енергія Е частинки, що ру­ хається в силовому полі, є сумою кінетичної W і потенціальної U енергій: Е = W + U. При русі частинки в полі всі три величини Е, W і U будуть змінними. Скориставшись тим, що хвильове рівняння

Це рівняння називають стаціонарним рівнянням Шредінгера. В та­ кому вигляді воно справедливе лише для тих задач, коли потенціальна енергія U не залежить від часу, тобто U = U (х9у9ζ). У загальному випадку слід ураховувати залежність хвильової функції Ψ та потен­ ціальної енергії U частинки від часу. Функція набуватиме того або іншого значення залежно від зовнішніх умов, в яких перебуває мікро­ частинка. Ці зовнішні умови — сили, що діють на мікрочастинку, — в рівнянні (16.11) подані потенціальною функцією U (х 9у9ζ). Кон­ станти Л і т , що входять у рівняння Шредінгера, становлять собою сталу Планка і масу мікрочастинки. Проте рівняння (16.11) недо­ статньо для визначення функції Ψ. Треба ще врахувати, що для цієї функції мають справджуватись деякі умови, що випливають з її фізич­ ного змісту. Функція Ψ характеризує ймовірність перебування мікро­ частинки в певному елементі об’єму і через це має бути скінченною (ймовірність не може перевищувати одиницю), однозначною (ймовір­ ність не може бути неоднозначною величиною) і неперервною (ймо-

408

вірність не може змінюватися стрибкоподібно). До того ж амплітуда Ψ у кожній точці простору є комплексним числом. Тому для обчислен­

ня ймовірності треба брати не Ψ2, а квадрат модуля амплітуди |Ψ|2 . Рівняння (16.11) справедливе лише для мікрочастинок, що руха­ ються зі швидкостями, малими порівняно із швидкістю світла, і має розв’язок для дискретного ряду значень повної енергії. Якщо рівняння (16.11) застосувати до задачі атома гідрогену, підставивши в нього замість U кулонівську енергію взаємодії електрона і ядра, то воно матиме скінченні й однозначні розв’язки тільки за таких значень повної енергії, які дістають для стаціонарних станів за теорією Бора. Отже, рівняння Шредінгера за своїми математичними властивостя­ ми вже містить у собі умови квантування, які в теорії Бора доводи­

лось постулювати.

Отже, хвильова функція Ψ — основна характеристика стану мікро­ об’єктів, які вивчає квантова механіка. Вона задовольняє рівняння Шредінгера, яке є основним рівнянням квантової механіки. За своїм значенням рівняння Шредінгера в квантовій механіці аналогічне другому закону Ньютона — основному закону класичної механіки. Подібно до того як у класичній механіці за допомогою другого зако­ ну Ньютона розв’язують задачі, пов’язані з рухом макротіл, так у квантовій механіці за допомогою рівняння Шредінгера розв’язують задачі, пов’язані з рухом мікрооб’єктів. Так само як рівняння Нью­ тона для руху макротіл, рівняння Шредінгера для мікрочастинок не виводиться, а постулюється.

16.4. Проникнення мікрочастинок крізь енергетичний бар'єр

Якісна відмінність властивостей мікрочастинок і макротіл різко виявляється в їхній поведінці при зіткненні з потенціальним бар’є­ ром. Розглянемо проходження частинок крізь потенціальний бар’єр найпростішої прямокутної форми.

При цьому обмежимось одновимірним випадком, тобто випадком, коли частинка рухається в одному певному напрямі. Для розв’язан­ ня такої квантово-механічної задачі побудуємо енергетичну діагра­ му — графічну залежність потенціальної енергії системи від коорди­ нати. Подібний підхід до розв’язання задач є характерним для кван­ тової механіки і зумовлений тим, що потенціальна енергія системи як функція координат входить у хвильове рівняння Шредінгера. У розглянутому випадку енергетична діаграма матиме вигляд, зобра­ жений на рис. 16.3. Як видно з рисунка, потенціальна енергія частин­ ки, що рухається вздовж осі х, дорівнює нулю для всіх значень х < 0 (ділянка І) та х > d (ділянка III), а на ділянці II, для якої 0 < х < d, набуває деякого сталого значення UQ. Отже, ділянку II можна роз­ глядати як потенціальний бар’єр, що має ширину d і висоту U0.

409

може також проникнути в ділянку потенціального бар’єра II, оскіль­ ки там її кінетична енергія W = Е -U 0 була б від’ємною, що немож­ ливо.

Інша картинаспостерігається для мікрочастинки, яка рухається за законамиквантової механіки. Для такої частинки істотними ста­ ють хвильові властивості й проходження її крізь потенціальний бар’єр нагадує проходження світла крізь шар речовини, на межах якого змінюється показник заломлення. Відомо, що при падінні світла на межу поділу середовищ з різними показниками заломлення світлова хвиля частково проходить крізь цю межу (заломлюється), а частко­ во відбивається. Аналогічно при зіткненні мікрочастинок із потен­ ціальним бар’єром може з’явитися відбита хвиля, що проходить крізь нього. Справді, розв’язок рівняння Шредінгера показує, що існує певна відмінна від нуля ймовірність проникнення мікрочастинки крізь потенціальний бар’єр і тоді, коли її повна енергія Е менша за висоту бар’єра U0. Це явище називають ефектом просочування, або тунельним ефектом. Ним пояснюються деякі явища, які залиша­ лись незрозумілими з погляду класичної фізики. Наприклад, тунель­ ним ефектом пояснюється велика густина струму при холодній емісії електронів із металів. Згідно з класичною теорією електронної емісії не повинно бути, коли напруга, прикладена до металу, недостатня для подолання потенціального бар’єра електронами, висота якого визначається роботою виходу електронів. Насправді спостерігається значна густина струму холодної емісії при напругах, порівняно мен­ ших від тієї, яка, здавалося б, потрібна для виривання електронів. Це є наслідком ефекту просочування, що підтвердилось порівнян­ ням теоретичних розрахунків із результатами дослідів.

Для характеристики тунельного ефекту вводять поняття про про­ зорість потенціального бар'єра D. Цю величину можна розглядати як ймовірність просочування частинки крізь потенціальний бар’єр. Відповідні розрахунки, які виходять за межі цього курсу, показу­ ють, що прозорість бар’єра залежить від його форми. Для прямокут­ ного потенціального бар’єра, висота якого U0 і ширина d, прозорість

410

де τη — маса частинки; h — стала Планка; D0 — сталий коефіцієнт, значення якого наближається до одиниці. З формули (16.12) випли­ ває, що ймовірність проходження частинки крізь бар’єр збільшуєть­ ся зі зменшенням його ширини d і різниці Uq і повною енергією частинки Е. При фіксованих значеннях d і U0 - Е

прозорість бар’єра збільшується зі зменшенням маси частинки. Так, якщо L/n - Е = 1 еВ і d = 0,2 нм, то для електронів D = 0,1, а для протонів D = 10 . Отже, для протонів такий бар’єр практично не­ прозорий. Для протонів унаслідок їхньої великої маси т характерне дуже мале значення ймовірності проникнення крізь потенціальний бар’єр. Ця особливість ще більше проявляється для частинок, важ­ чих від протонів. Проте для дуже малої ширини бар’єра, тобто при малих значеннях d, можливе проникнення крізь потенціальний бар’єр і порівняно важких частинок. Саме це спостерігається при вилітанні α-частинок із ядер при радіоактивних перетвореннях, а також в ядер­ них реакціях при проникненні в ядро протонів та інших зарядже­ них частинок.

16.5. Співвідношення невизначеностей

На відміну від класичних частинок мікрочастинкам одночасно притаманні хвильові й корпускулярні властивості. В одних випад­ ках вони поводять себе як хвилі, а в інших — як окремі корпускули. Наявність хвильових властивостей у мікрочастинок, які не можна пояснити з погляду класичної механіки, приводить до припущення, що деякі поняття класичної фізики можна лише обмежено застосо­ вувати для характеристики об’єктів мікросвіту. Так, у класичній механіці завжди можна одночасно точно визначити швидкість і ко­ ординати рухомого тіла, а також обчислити траєкторію його руху. Можливість одночасного точного визначення положення і швидкості є настільки характерною властивістю макротіл, що в класичній фізиці стан системи частинок повністю буває заданий сукупністю їхніх ко­ ординат і швидкостей. Якщо ж система складається з мікрочасти­ нок, для яких істотні хвильові властивості, то одночасне точне задання координат і швидкостей (або імпульсів) неможливе. Розгляне­ мо рух частинки вздовж осі х. Якщо імпульс частинки рх (або швидкість її руху vx) набуває певного значення, то її місцеположен­ ня, тобто координата х, не має точного значення і навпаки. Це поло­ ження вперше сформулював 1927 р. німецький вчений В. Гейзенберг у вигляді так званого принципу невизначеностей: добуток не­

411

визначеності в імпульсі Арх на невизначеність у координаті Ах не може бути меншим за величину h = h/ 2π, дeh — стала Планка:

Отже, не можна одночасно точно знати координату й імпульс (або швидкість) частинки. Чим точніше задана або визначена одна з цих величин, тим менш точно відома інша. Проте величини Ах і Арх не можна тлумачити як неточність вимірювання координати й імпуль­ су. Термін «неточність» немовби припускає, що існують також «точні» значення х і рхУ але їх чомусь не можна виміряти. Деякі фізики вважають, що співвідношення Гейзенберга є чимось тимчасовим, що згодом ми зможемо знайти точні дані про координату й імпульс мікро­ об’єктів. Таке припущення зовсім неправильне. Насправді немож­ ливість одночасно точно виміряти координату й імпульс означає, що частинка за своєю природою не допускає одночасної локалізації в координатному і в імпульсному просторах. Інакше кажучи, ця немож­ ливість є наслідком суперечливої природи частинки.

Принцип невизначеностей часто розглядають так, ніби вимірю­ вання координати частинки робить невизначеною її швидкість і на­ впаки. Подібні формулювання не виражають суті справи, оскільки дають підставу вважати, що мікрочастинки, наприклад електрон, самі собою мають певну координату й імпульс, але ми не можемо їх одночасно і точно визначити, оскільки прилад, який вимірює одну величину, вносить немовби неконтрольовані збурення, що заважає виміряти другу величину. При такому розумінні принцип невизна­ ченостей виражає обмеженість наших пізнавальних можливостей, а така концепція, з філософського погляду, означає перехід на позиції агностицизму. При цьому не так уже й важливо, чи допускається, що координати й імпульс частинки, які існують об’єктивно, ніколи не будуть визначені одночасно, чи в майбутньому будуть знайдені так звані заховані параметри, які дадуть змогу обійти співвідношен­ ня невизначеностей. Справа тут не в можливостях апаратури чи ме­ тодики вимірювання — співвідношення невизначеностей відображає суть явищ мікросвіту, воно є одним із основних положень квантової механіки, об'єктивним законом природи.

Отже, принцип невизначеностей має об’єктивний зміст і не пов’я­ заний із запереченням пізнання. Його суть полягає в своєрідному вираженні якісно нової природи мікрооб’єктів, які об’єктивно не мають точних координат та імпульсів, рух яких об’єктивно є безтраєкторним. Одночасно точно виміряти координату та імпульс час­ тинки неможливо, але не тому, що цьому щось заважає (наприклад, неконтрольований вплив приладу), а тому що класичних координат й імпульсу в частинці просто немає.

Водночас, описуючи рух мікрочастинки і пов’язуючи теоретичну схему з експериментальними даними, ми неодмінно змушені корис­

412

туватися мовою класичної механіки. Ця нерозривна єдність якісно нової природи мікрочастинки і гносеологічної необхідності викорис­ тання (щоправда, своєрідно, обмежено) мови класичної механіки і виражає принцип невизначеностей, який В. О. Фок назвав принци­ пом обмеженого застосування класичних моделей. Співвідношення невизначеностей окреслює об’єктивну межу сумісного застосування класичних характеристик для квантової системи. Воно виражає єдність хвильових і корпускулярних властивостей квантової системи.

Ураховуючи зв’язок між імпульсом і швидкістю частинки, співвідношення (16.13) можна переписати так:

де т — маса частинки. Отже, добуток невизначеності Ах у коорди­ наті на невизначеність у швидкості Δνχ завжди більший або дорівнює h/(2nm). Для частинок з великою масою відношення h/m мале. Тому за співвідношенням (16.14) має бути малим і добуток ΔχΑρχ, тобто положення і швидкість частинки в цьому разі можна визначити точно. Це, зокрема, стосується макроскопічних тіл, для яких Л / /п —» 0.

В.Гейзенберг, Н. Бор та інші вчені розглядали співвідношення невизначеностей як пряме і повне відображення дійсної невизначе­ ності в поведінці мікрооб’єктів. Цю невизначеність вони вважають головною особливістю мікросвіту, що відрізняє його від макросвіту.

Вмакросвіті невизначеність не виявляється через велику масу об’єктів, що дає змогу нехтувати їхніми хвильовими властивостями.

В.Гейзенберг, який створив значну частину математичного апарата квантової механіки і встановив співвідношення невизначеностей, вва­ жав, що ключем до найбільш глибокого розуміння квантової механіки

є висунуте ним положення принципової спостережуваності. Він вва­ жав головним те, що квантова механіка не оперує «принципово неспостережуваними» величинами (зокрема, такими, як траєкторія мікро­ частинки і одночасне значення координат та імпульсу частинки).

Н. Бор надавав особливого значення тому, що квантова механіка правильно враховує взаємодію між мікро- і макротілами — між спо­ стережуваною частинкою і приладами. Будь-яке вимірювання охоп­ лює взаємодію спостережуваного об’єкта і приладу, спричинює зміну їхнього стану. Наприклад, для визначення локалізації частинки мож­ на було б її освітити, але мінімальна порція світла — фотон — неод­ мінно надасть частинці додаткового імпульсу. При будь-якому вимі­ рюванні імпульсу частинки, наприклад при її зіткненні з іншою час­ тинкою, обов’язково зміняться координати частинки, що зумовлено самим актом зіткнення. Аналіз цих взаємодій завжди приводить до підтвердження співвідношення невизначеностей.

Співвідношення Гейзенберга тісно пов’язане з принципом допов­ нення Бора.

413

16.6. Принцип доповнення

Потреби фізики зумовили появу концепції доповнення, яка водночас має глибоко філософський характер і є яскравим підтвердженням орга­ нічного зв’язку фізики з філософією, що характерно для науки XX ст.

Принцип доповнення, запропонований Н. Бором для розв’язання парадоксальних ситуацій, що виникають при інтерпретації кванто­ вої механіки, має фундаментальне значення як для філософської інтерпретації квантової механіки, так і для адекватного розуміння фізичного змісту і подальших шляхів її розвитку.

Вартий уваги також факт визнання можливості використання ста­ рих класичних понять, з одного боку, та утвердження потреби нових, немеханічних понять, з іншого. Вперше вихідна ідея, що лежить в основі концепції доповнення, була застосована її автором як методо­ логічна вимога при побудові теорії атома. Пізніше ідея необхідності і взаємовиключення різнотипних описань стала ядром принципу доповнення.

Отже, вихідне поняття доповнення відображає вимогу узгоджено­ го розуміння об’єкта дослідження на основі суперечностей між уяв­ леннями і висновками класичних теорій та новими, квантовими ідея­ ми про цей об’єкт.

Загальним принципом класичної фізичної методології є тверджен­ ня: поняття та уявлення про макросвіт мають абсолютну значущість, тобто, зокрема, необхідні й достатні також для описання мікросвіту. Тому в класичній фізиці припускається можливість описання фізич­ них об’єктів, незалежно від засобів і умов спостереження і вимірю­ вання, з відривом від описання фізичної констатації об’єктів, а та­ кож як завгодно точного детального підрозділу поведінки об’єкта та експерименту над ним без зміни суті спостережуваного явища.

У квантовій механіці така абсолютизація фізичних процесів прин­ ципово неможлива: описуючи явища, тут не можна залишати осто­ ронь умови фізичної констатації в експерименті. Не можна також домагатися як завгодно докладної (в класичному розумінні) деталі­ зації цього фізичного явища. Явищам, які описує квантова механі­ ка, притаманні цілісність, неподільність, індивідуальність.

Такі особливості квантових явищ обмежують придатність класич­ ного способу описання, але не виключають його. Навпаки, це опи­ сання залишається необхідним, оскільки на ньому ґрунтується фізич­ на констатація явищ. Отже, потрібне деяке видозмінення (або уза­ гальнення) класичного способу описання, для того щоб, по-перше, залишалась можливість для введення нових, пов’язаних з квантом дії понять, і, по-друге, залишилась можливість описання експери­ менту над квантовими об’єктами засобами класичної фізики. Шука­ не узагальнення і було сформульовано спочатку у вигляді принципу певної відповідності між поняттями старої теорії і новими, кванто­

414

вими ідеями. Принцип відповідності Бора забезпечує не тільки якіс­ ний (змістовний), а й кількісний (математичний) бік правильного узагальнення класичної теорії для квантових об’єктів. Отже, прин­ цип відповідності має двоїстий характер: з одного боку, ним забезпе­ чується кількісний бік відповідності старої та нової теорій, а з друго­ го — він відображає також якісну контрастність цих теорій. Співвідно­ шення узгодженості і контрастності, доведене до кількісної визначе­ ності, дає змогу розглядати принцип відповідності як конкретнофізичне вихідне поняття доповнення.

Подальшу конкретизацію специфічних умов та типу описання квантових явищ із застосуванням класичних понять визначає прин­ цип доповнення. Співвідношення невизначеностей при цьому висту­ пає як математичний вираз доповнення класичних понять. Суть прин­ ципу доповнення зводиться до такого: з метою вичерпного описання квантових явищ за допомогою класичних понять і образів потрібні дві системи понять, що доповнюють одна одну. Під доповненням цих систем розуміють таке їхнє відношення: а) системи понять є взаємовиключними з класичного погляду; б) кожна з систем, взята окремо, недостатня для повного описання мікрооб’єкта; в) системи еквівалентні — жодній з них не можна надати перевагу.

Неминучість доповнення та обґрунтування необхідності принци­ пу доповнення в квантовій механіці випливає з експериментально перевірених і твердо встановлених явищ, а також із фактичного співвідношення фізичних величин: наявність кванта дії і входження його до відповідних формул для енергії та імпульсу, придатність за­ конів збереження енергії та імпульсу для індивідуальних мікропроцесів, явища корпускулярно-хвильового дуалізму, поділ приладів на два типи: імпульсно-енергетичні і просторово-часові. Причому за­ стосування приладу одного типу унеможливлює одночасне застосу­ вання приладу другого типу.

На теоретичному рівні описання мікропроцесів принцип допов­ нення виступає насамперед як своєрідний гносеологічний принцип заборони, який фіксує обмежену застосовність класичних уявлень про атрибути матерії до мікросвіту. Класичні поняття причинності та просторово-часової локалізації, а також корпускулярні й хвильо­ ві властивості виявляються альтернативними і доповнювальними. Н. Бор вважав, що будь-яке однозначне застосування динамічних законів збереження в квантовій фізиці вимагає, щоб описання яви­ ща супроводжувалося принциповою відмовою від детальної локалі­ зації в просторі-часі.

За своїм внутрішнім фізичним змістом поняття координати, імпульсу, часу, енергії залишаються в квантовій механіці тими са­ мими, що і в класичній фізиці. Змінюється лише спосіб їхнього зв’яз­ ку між собою — саме цей спосіб є некласичним і фіксується в нових специфічних квантових поняттях невизначеності, доповнення.

415

У принципі доповнення досягається більш високий, порівняно з принципом відповідності, тип узгодження контрастності між кван­ товим змістом явища та його класичним описанням. Класичне опи­ сання можна застосовувати, але лише особливим, додатковим чи­ ном. Принципом доповнення Н. Бор ввів до фізичного знання абсо­ лютно нову тематичну форму відтворення реальності. Він зажадав, щоб із двох альтернатив фізичного пояснення явищ обидві були прий­ няті одночасно, незважаючи на те що вони не можуть бути адекват­ ними одночасно в будь-який момент часу або за будь-яких умов. Крім того, в цьому виявляється специфіка діалектики доповнення: проти­ лежності, залишаючись у конфронтації одна з одною, розвиваються паралельно, не поглинаючи одна одну через «зняття* на шляху про­ гресуючого руху, тобто не постає питання про «зняття* класичної фізики як менш адекватної, менш правдивої. Класична механіка збе­ рігає свою самостійність та істинність (відносну) при описанні кван­ тових явищ. Лише особливе спряження цих способів описання сприяє отриманню дійсного знання. Отже, принцип доповнення слід розгля­ дати як якісний стрибок у формуванні і розвитку вихідного поняття концепції доповнення, він є подальшим розвитком ідей, закладених у принципі відповідності, етапом найбільш чіткого та повного фор­ мулювання, що лежить в основі методології Н. Бора.

16.7. Причинність у мікросвіті

Детермінізм сформувався в класичній механіці, потім поширив­ ся на інші сфери фізики. Однак подібне поширення на квантову ме­ ханіку виявилось пов’язаним із серйозними труднощами, що при­ вело окремих вчених до висновку про порушення закону причин­ ності в мікросвіті та спробам обґрунтувати його усунення із фізики. У зв’язку з цим потрібно розрізняти причинну концепцію і детер­ мінізм.

Класична механіка тлумачить матеріальне тіло як частинку, або корпускулу, що має в кожний момент часу певне положення (коор­ динати) в просторі та швидкість (імпульс). Під час свого руху така частинка за певний проміжок часу описує лінію, яку називають траєк­ торією.

Успіхи, досягнуті класичною механікою, привели до того, що положення, справедливі в її межах, необґрунтовано поширювались іноді на явища, що якісно відрізняються від явищ, які досліджує класична механіка. Механістичний детермінізм у фізиці означає:

початковий стан руху тіла (що характеризується значеннями ко­ ординат й імпульсу в початковий момент часу), визначає згідно із законами механіки його стан у будь-який наступний момент часу. Механічне розуміння необхідного зв’язку фізичних явищ, отже, до­ пускає: 1) заперечення якісно відмінних один від одного етапів у

416