Основные свойства преобразования Лапласа

Укажем основные свойства преобразования Лапласа, широко используемые на практике.

1. Линейность оригиналов и изображений Если то

2. Дифференцирование оригинала Если то У(р) = рХ(р) - х(0), где х(0) - значение х(t) при t = 0.

3. Интегрирование оригинала Если то.

4. Задержка во времени оригинала Если , то

5. Свертка оригинала Если , то. Это свойство гласит: свертке оригиналов соответствует произведение изображений.

6. Изменение масштаба времени оригинала Если , то.

7. Смещение изображения Если У(р) = Х(р+а) , то .

8. Умножение оригинала на время n раз Если то.

9. Деление оригинала на время Если , то.

10. Предельное значение оригинала

7. Передаточная функция сау. Определение и связь с дифференциальными уравнениями. Передаточная функция и ее связь с дифференциальным уравнением

Связь между входным х(t) и выходным у(t) сигналами в системах автоматического управления в общем случае описывается дифференциальным уравнением вида:

...=.... (2.4)

Введем символ дифференцирования Тогда выражениеможно записать в видеЗапись видав этом случае недопустима. Тогда уравнение (2.4) с использованием символа дифференцирования компактно можно записать в виде:(2.5)

В этом выражении сигналы у(t) и х(t) нельзя выносить за знаки суммы, т.к. ­­не сомножители, а символы дифференцирования.

Преобразуем по Лапласу левую и правую части выражения (2.5) и, с учетом описанных в 2.2 первого и второго свойств, получим: (2.6)

В этом выражении являются сомножителями, поэтому изображенияY(р) и Х(р) можно вынести за знаки сумм, в результате получим:. (2.7)

Введем понятие передаточной функции. Передаточной функцией системы называется отношение изображения по Лапласу выходного сигнала к изображению по Лапласу входного сигнала, т.е.: (2.8)

Выражение (2.8) есть математическая запись определения передаточной функции системы. Из (2.7) следует: (2.9)

Выражение (2.9) показывает, что передаточная функция системы описывается дробно-рациональной функцией, являющейся отношением двух полиномов комплексного аргумента

Выражения (2.5) и (2.9) устанавливают взаимно-однозначную связь между описываемым систему дифференциальным уравнением и ее передаточной функцией. Отсюда следует, что по дифференциальному уравнению однозначно можно записать передаточную функцию, а по виду передаточной функции - дифференциальное уравнение системы. Любая система однозначно определяется коэффициентами а_i, b_iи порядком m дифференциального уравнения.

Классификация систем автоматического управления по коэффициентам дифференциального уравнения

Если коэффициенты в дифференциальном уравнении (2.5) ине зависят от значений входного и выходного сигналов и их производных, то такие системы называются линейными.

Если хотя бы один из коэффициентов ,зависит от значений сигналов х(t) и у(t) и их производных, то такие системы называются нелинейными.

Если хотя бы один из коэффициентов ,зависит от времени, т.е. изменяется во времени, то такие системы называются параметрическими.

Если коэффициенты ,зависят от времени, а также от уровня сигналов х(t), y(t) и их производных, то такие системы называются нелинейно-параметрическими.

Строго говоря, все системы автоматического управления являются нелинейно-параметрическими. Исследование таких систем является очень сложной задачей. Однако в ряде случаев можно сделать ряд обоснованных допущений, позволяющих упростить исследование САУ. Одним из важнейших является допущение о том, что при малых значениях входного и выходного сигналов коэффициенты иможно считать постоянными, а саму систему линейной. В дальнейшем при изучении основ теории управления будем считать системы линейными.

Теория нелинейных систем будет рассмотрена позже в соответствующих разделах.