Оптимальное управление

Оптимальным называется такое управление, при котором в определенном смысле достигается наилучший результат. Но прежде чем реализовать оптимальное управление, необходимо сделать следующее:

1. Сформулировать критерий оптимального управления.

2. Выразить этот критерий математически.

3. Найти решение оптимального управления в виде алгоритмов и программ.

Желательно, чтобы каждое управление было оптимальным. Однако оптимальное управление не всегда реализуемо, т.к. либо не удается найти строгого решения для оптимального управления, либо техническое исполнение устройства управления оказывается чрезвычайно сложным или физически нереализуемым.

Вот некоторые примеры формулировки различных критериев оптимального управления.

1. Необходимо так изменять скорость движения автомобиля, движущегося по прямой от пункта А до пункта Б, чтобы время в пути было минимальным.

2. Необходимо так изменять скорость движения автомобиля от пункта А до пункта Б, чтобы расход горючего был минимальным.

3. Необходимо так изменять скорость движения автомобиля от пункта А до пункта Б, чтобы время в пути t было в заданных пределах , и расход горючего был минимальным.

4. Необходимо так изменять скорость движения автомобиля, чтобы при запасе горючего в Q литров уехать от пункта А на максимальное расстояние.

Сформулировать критерий оптимального управления нетрудно. Сложнее выразить его математически в виде так называемой целевой функции, которая при оптимальном управлении должна быть либо максимальной, либо минимальной.

Попробуем выразить математически целевую функцию для первого критерия, самого простого с математической точки зрения.

Для этого вначале введем некоторые допущения и ограничения: мощность двигателя автомобиля позволяет развивать максимальную скорость , а при разгоне и торможении движение автомобиля будем считать равноускоренным.

Тогда изменение скорости движения автомобиля во времени v(t) при движении его по прямой от пункта А до пункта Б будет происходить по графику, приведенному на рис. 1.7.

Рис. 1.7. График зависимости скорости движения автомобиля

где - время разгона до скорости,- время движения со скоростью,- время торможения

Расстояние, пройденное автомобилем, определяется по формуле: =, откуда получим:, (1.1) где- время в пути.

Из физики равноускоренного движения имеем следующие ограничения:

где,- ускорения автомобиля при разгоне и торможении.

Математическая запись целевой функции для первого критерия будет иметь следующий вид: (1.5)

Это выражение совместно с ограничениями (1.1) - (1.4) является математической записью первого критерия оптимального управления движением автомобиля. Это типичная задача линейного программирования (ЗЛП), которая решается симплекс-методом. При двух неизвестных она может быть решена графическим методом /3/. Так как обычно , то примем = 0.

Тогда ЗЛП становится двумерной и целевая функция примет вид: (1.6)

при ограничениях: (1.7)

На рис. 1.8 приведена допустимая область времен и, ограниченная выражениями (1.7) , и целевая функция.

Рис.1.8 Область допустимых значений времен ии целевая функция

Перемещая прямую параллельно самой себе в сторону уменьшения Т, найдем минимальное время в пути:

=.

Из этого выражения следует, что время в пути тем меньше, чем больше ускорение при разгоне а_упри фиксированном расстоянии S и максимальной скорости движения. Мы получили очевидный алгоритм оптимального управления автомобилем по критерию 1 - надо как можно быстрее разогнаться до скоростии ехать с этой скоростью до конца пути.

Критерии 2, 3 и 4 имеют более сложную целевую функцию и требуют решения достаточно сложных математических задач.

Подробно оптимальное управление изучается в курсе "Теория оптимального управления".