Запас устойчивости по фазе и показатель колебательности системы

Отметим, что в окрестностях частот играфикизменяется мало, поэтому_Р(_СР)=_Р(_П). Тогда с учетом(5.15) выражение (5.9) можно переписать в виде(5.17) где- запас устойчивости по фазе.

Тогда с учетом (5.17) выражение (5.10) перепишем в виде(5.18) а выражение (5.11) с учетом (5.15) будет выглядеть так(5.19).

Выражение (5.19) также дает количественную характеристику устойчивости замкнутой системы. При показатель колебательности системы, что свидетельствует о переходе системы из устойчивой в неустойчивую.

Устойчивость замкнутой системы с линией задержки

Возникает вопрос: как изменяются количественные характеристики устойчивости замкнутой системы, если в нее дополнительно включить линию задержки? (рис. 5.10).

Рис. 5.10 Схема замкнутой системы с линией задержки

Как следует из раздела 4.2.10, передаточная функция линии задержки , ее АЧХ, a ФЧХ, где- время задержки. Изследует, что при последовательном соединении звеньев АЧХ перемножаются, а ФЧХ суммируются. Следовательно АЧХ разомкнутой системыот включения линии задержки не изменяется, а ФЧХ изменяется на величину.

На рис. 5.11 приведены ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы без линии задержки и с линией задержки. Из этого рисунка видно, что при времени задержки замкнутая система из устойчивой превратится в неустойчивую. Присистема останется устойчивой, но показатель колебательности в ней возрастет.

Рис. 5.11 Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы без линии задержки и с линией задержки.

26. Связь между частотными характеристиками разомкнутых и замкнутых сау.

Предположим, что замкнутая система образуется из разомкнутой по схеме на рис. 5.3.а, для которой .

ККП этой системы определяется по формуле

=, (5.7) где- модуль,

- аргумент.

Числитель и знаменатель =(5.7) разделим наи получим:

=; так както.

Модуль этого выражения есть АЧХ замкнутой системы: (5.8)

Из этого выражения следует, что при , где, величина, а при, где, величина.

На рис. 5.6 приведен график АЧХ замкнутой системы.

Рис. 5.6 График АЧХ замкнутой системы

Характерными точками на этом графике являются резонансная частота _Ри граница полосы пропускания. На частотевеличина, где М - максимум АЧХ, называемый показателем колебательности системы.

На частоте величина.

Приравняем (5.8) к единице и получим , откуда(5.9).

Для установления связи между частотами ипримем во внимание тот факт, что в окрестности частотыЛАЧХ разомкнутой системы имеет наклон -20 дБ/дек, т.е.

, причем= 0 , тогда,

откуда (5.10)

Для нахождения максимума М - показателя колебательности системы, возьмем производную от выражения (5.8) и приравняем ее к нулю.

Производную от (5.8) возьмем в виде: .

Производная не равна нулю, следовательно равна нулю производная:. Откуда.

Подставив это значение в (5.8), получим:

(5.11)

Выражения (5.8), (5.9), (5.10) и (5.11) устанавливают связь между частотными характеристиками (АЧХ и ФЧХ) разомкнутой и замкнутой системы, соединенной по схеме рис. 5.3.а.

27. Передаточная функция ошибки. Статистическая ошибка в сау с астатизмом нулевого и первого порядка.

Рис.6.1 Схема одноконтурной замкнутой системы

На рис.6.1 приведена схема одноконтурной замкнутой системы. В разделе 5.1.4 было показано, что многоконтурные системы могут быть сведены к одноконтурным. Сигнал на выходе вычитающего устройства называется сигналом ошибки.

По определению передаточная функция ошибки равна . (6.1)

Из рис.6.1 следует, что =, где. Тогда, откуда.

С учетом (6.1) получим . (6.2)

Это выражение описывает передаточную функцию ошибки в замкнутой системе на рис.6.1 через передаточные функции входящих в нее звеньев и.

Статическая ошибка системы есть предел . при входном сигнале

Так как X(p) =C/p, то .

Из (6.1) имеем , тогда .

Пример 1. Пусть - каскадное соединение инерционного звена с усилителем. Тогда с учетом (6.2) получим =.

Пример 2. Пусть - каскадное соединение интегратора и инерционного звена. Тогда с учетом (6.2) получим

=.

На рис 6.2 приведены графики e(t) в статической и астатической системах.

Система, в которой , называется статической, а система, в которой, называется астатической. Из приведенных примеров следует, что система становится астатической, если в ее замкнутом кольце есть хотя бы одно звено интегрирования.

Рис.6.2 Графики зависимости ошибки e(t) в статической (а) и астатической (б) замкнутых системах автоматического управления