51. Применение метода гармонической линеаризации для анализа нелинейных сау

На рис.10.2 приведена схема нелинейной системы, для анализа которой можно воспользоваться методом гармонической линеаризации

Рис.10.2 Структурная схема нелинейной системы

В этой схеме входной сигнал - гармонический, а после нелинейного элемента НЭ включен фильтр нижних частот (ФНЧ) с передаточной функцией.

При гармоническом входном сигнале , гдесигналyна выходе НЭ будет периодическим, но не гармоническим, так как зависимостьy=f(x) нелинейная. Периодические сигналы можно представить рядом Фурье

, гдеи- коэффициенты ряда Фурье для первых гармоник синуса и косинуса, которые определяются по формулам:, (10.1), (10.2) гдеy- сигнал на выходе НЭ при изменении фазывходного сигналаxот -до,- высокочастотные составляющие (высшие гармоники) в сигналеy.

Так как на выходе НЭ включен фильтр нижних частот, который не пропускает на выход высшие гармоники сигнала y, тогда на его выходе будут присутствовать только первые гармоники в сигналеy, т. е..

Так как , откуда, здесь- символ дифференцирования.

Следовательно.

От гармонических сигналов xиyперейдем к комплексным сигналам путем замены, тогда получим:(10.3)

Это соотношение устанавливает связь между первой гармоникой комплексных сигналов на входе и выходе НЭ, для которого введем понятие нелинейного ККП (10.4)

тогда .

Определим коэффициенты идля нелинейных элементов, характеристики которых приведены на рис.10.1.в и 10.1.з.

Для идеального ограничителя (рис.10.1.в) получим:

===;

=.

Для ограничителя с зоной нечувствительности получим

=0.

Отметим, что для всех симметричных характеристик без гистерезиса =0.

В табл.10.1 приведены выражения для расчета коэффициентов инаиболее характерных НЭ, характеристики которых приведены на рис.10.1.

Таблица 10.1:

52. Применение критерия Найквиста для определения устойчивости и параметров автоколебаний в нелинейных системах управления.

На рис.10.3 приведена структурная схема замкнутой нелинейной системы, где заштрихованный сектор в сумматоре соответствует умножению на -1.

Рис.10.3 Структурная схема замкнутой нелинейной системы

Для проверки устойчивости этой системы воспользуемся критерием Найквиста, по которому автоколебания в системе возникнут, если годограф разомкнутой системы охватит на комплексной плоскости точку с координатами - 1; j0.

Для разомкнутой схемы на рис.10.3 имеем

, где.

Условия возникновения автоколебаний в замкнутой системе по критерию Найквиста математически можно записать так: , или, откуда(10.5)

Это комплексное уравнение устанавливает возможность возникновения автоколебаний в системе на рис.10.3 и позволяет определить параметры - амплитуду и частотуэтих колебаний /13/.

На рис.10.4 приведено графическое уравнение (10.5) в двух случаях: когда решение единственное (рис.10.4.а) и когда есть две точки решения (рис.10.4.б).

Во втором случае установившимся будет решение в точке 2, так как этой точке соответствует большая амплитуда колебаний .

Рис.10.4 Графическое решение уравнения (10.5)

Рассмотрим примеры построения годографа для нелинейных элементов, характеристики которых приведены на рис.10.1.в и 10.1.з.

Для идеального ограничителя (рис.10.1.в) имеем ,.

Тогда .

Этот годограф приведен на рис.10.5.а. Он идет от нуля в -по действительной оси. Отметим, что с идеальным ограничителем в замкнутой системе автоколебания возникнут всегда, если годограф линейной части системыпересекает отрицательную действительную ось. Коэффициент усиления не играет роли, так как у идеального ограничителя.

Для ограничителя с зоной нечувствительности имеем

.

Тогда годограф

При он идет по мнимой оси от нуля до, а прион идет по действительной оси из -в точку с координатойj0, а затем из этой точки снова уходит в +. График этого годографа приведен на рис.10.5.б /5, 12/.

Из этого рисунка видно, что для возникновения автоколебаний в замкнутой системе с ограничителем с зоной нечувствительности (рис.10.1.з) годограф линейной части системы должен пересечь отрицательную действительную ось левее точки с координатами j0. На рис.10.5.б этой ситуации соответствует годограф.

Иначе говоря, коэффициент усиления линейной части системы на критической частоте должен быть больше величины . В противном случае автоколебаний в системе не будет. На рис.10.5.б этой ситуации соответствует годограф.

(а)

(б)

Рис.10.5 Годографы идеального (а) и неидеального (б) ограничителей