Основные теоремы z - преобразования.

Линейность.

Если , то.

Смещение во времени.

Если , то.

Разность дискретных функций.

Если , то =.

Аналогия: если то,.

Сумма дискретных функций.

Если то

Аналогия: если то

Свертка двух дискретных функций.

Если то

Предельные соотношения:

.

Из этих теорем следует, что между преобразованием Лапласа и Z- преобразованием очень много общего.

XX. Системные функции цсу: определение, способы нахождения при различных схемах соединений.

По аналогии с передаточными функциями для аналоговых систем в цифровых системах введено понятие системных функций, которые по определению есть отношение Z- преобразования от выходного цифрового сигналаy(nT) кZ- преобразованию от входного цифрового сигналаx(nT), т.е.(8.5)

Также как и в аналоговых системах, для цифровых систем справедливы следующие соотношения:

при последовательном соединении цифровых звеньев результирующая системная функция (8.6) где- системные функции звеньев,

при параллельном соединении цифровых звеньев

(8.7)

при соединении звеньев по схеме с обратной связью, как на рис. 5.3.а

(8.8)

при соединении звеньев по схеме с обратной связью, как на рис. 5.3.б

(8.9)

XX. Связь между системными функциями и разностными уравнениями. Прямая и каноническая схемы цифровых сау.

Дифференциальные уравнения применимы для аналоговых систем, а цифро­вые системы описываются разностными уравнениями. В разностных уравнениях время изменяется через конечный временной интервал Т - период дискретизации.

Инерционное звено с передаточной функцией описывается дифференциальным уравнением, следующим из соотношенияоткудатогда.

Так как то введя в дифференциальное уравнение дискретное времявместо t, полу­чим следующее разностное уравнениеилигде.

Этим уравнением описывается цифровое инерционное звено первого порядка. Системные функции W(z) цифровых звеньев можно представить в двух фор­мах:

с положительными степенями z в виде(8.10)

с отрицательными степенями z, которая получается из (8.10) умножением числителя и знаменателя на дробь , тогда=(8.11) где,, откуда.

Вторая форма записи W(z) используется чаще.

По определению и с учетом (8.11) имеем:откуда

Перейдя от изображений к оригиналам, из этого выражения получим следую­щее разностное уравнение при :(8.12) где m - порядок разностного уравнения.

В теории дробно-рациональных функций доказано, что системная функция при четных m может быть представлена

=, =, где- системные функции биквадратных звеньев, которые описываются выражением

При параллель­ном соединении соответствует следующее разностное уравнение (индекс опущен)

+-.

Вычисление этого разностного уравнения осуществляется по схеме цифрового звена, приведенной на рис.8.5.а. Первая часть называется нерекурсивной, а вторая часть схемы с обратными связями называется рекурсивной. Нерекурсивной части соответствует числитель выражения (8.34), а рекурсивной части соответствует знаменатель выражения (8.34). Блоки реализуют цифровую линию задержки- последовательный регистр.

где- системная функция нерекурсивной части схемы,

- системная функция рекурсивной части схемы.

Так как от перестановки сомножителей произведения не меняется, то выраже­ние (8.36) можно представить в виде .

Этому выражению соответствует схема цифрового звена второго порядка, при­веденная на рис. 8.5.6.

Так как в этом случае линии задержки рекурсивной и нерекурсивной частей схемы идут параллельно, то их объединяют в одну. Схема на рис. 8.5.6 получила название канонической (образцовой), так как в ней число элементов задержки в 2 раза меньше, чем в схеме на рис. 8.5.а.