35. Связь между передаточными и системными функциями при использовании стандартного и билинейного z -преобразований.

Также, как от дифференциальных уравнений можно перейти к разностным уравнениям, от передаточных функций аналоговых систем W(p) можно перейти к системным функциямW(z). Этот переход можно сделать двумя способами:

с помощью стандартного Z- преобразования,

с помощью билинейного Z- преобразования.

При использовании стандартного Z- преобразования переход отW(p) кW(z) осуществляется заменой, т.е.(8.13)

Обратный переход делается по правилу

. (8.14)

Указанные переходы следуют из прямого и обратного выражений, связывающих ДПЛ иZ- преобразования.

Переход от W(p) кW(z) с помощью стандартногоZ- преобразования обеспечивает высокую точность, но в результате вместо дробно-рациональных функций получаются выражения с трансцендентыми функциями, что очень неудобно для выполнения различных математических операций над ними.

От указанного недостатка свободен переход от W(p) кW(z) и обратно с помощью билинейногоZ- преобразования. Это преобразование приближенное, но при этом сохраняются дробно-рациональные функции в выраженияхW(p) иW(z).

При билинейном Z- преобразовании используется разложение в степенной ряд функции

.

Ограничившись первым членом ряда, получим . (8.15)

Обозначим , откуда.

Тогда (8.15) перепишем в виде .

Т.к. , тоlnz=pT. Приравняем правые части и получим приближенную линейную связь междуpиz (8.16)

Из (8.16) следует обратная связь между zиp . (8.17)

Тогда переход от W(p) кW(z) с помощью билинейногоZ- преобразования осуществляется по формуле. (8.18)

Обратный переход от W(z) доW(p) осуществляется по формуле. (8.19)

В результате переходов от W(p) кW(z) и обратно по (8.18) и (8.19) сохраняется дробно-рациональный вид функций, причем степень функций не изменяется.

37. Признак и условие устойчивости замкнутых цсу. Ккп, ачх и фчх цифровых сау.

Комплексный коэффициент передачи цифровых систем W_ц(j) есть отношение комплексного цифрового сигнала на выходе системы к комплексному цифровому сигналу на ее входе в установившемся режиме, т.е.(8.20)

где - нормированная частота сигнала.

Комплексный цифровой сигнал преобразуется из вещественного цифрового гармонического сигналапо формуле==. (8.21)

Из (8.21) следует, что вещественный цифровой сигнал есть реальная часть от комплексного цифрового сигнала.

ККП цифровой системы определяется по выражениям: . (8.22) или. (8.23)

Выражение (8.22) использует точное стандартное Z- преобразование, а выражение (8.23) использует приближенное билинейноеZ- преобразование.

Амплитудно-частотная характеристика цифровой системы есть модуль от ее ККП, т.е.

(8.24) гдеи- действительная и мнимая части ККП.

Фазочастотная характеристика цифровой системы есть аргумент от ее ККП, т.е. . (8.25)

Из (8.24) и (8.25) следует, что АЧХ и ФЧХ цифровых систем являются периодическими функциями с периодом 2по нормированной оси абсцисс.

Пример. Дано . Определим ККПпо (8.22). Для этого вW(z) сделаем замену и получим выражение для ККП:

==.

АЧХ определяется с учетом (2.24) по формуле: ,

а ФЧХ с учетом (8.25) по формуле .

Графики АЧХ и ФЧХ этой системы приведены на рис 8.3.

Рис.8.3 Графики АЧХ и ФЧХ цифровой системы

38. Основные виды регуляторов в цсу, цифровые интегратор и дифференциатор их системные функции и схемы.

Основные виды регуляторов:

* пропорциональный регулятор;

* интегральный регулятор (интегратор);

* пропорционально-интегральный регулятор;

* пропорционально-дифференциальный регулятор;

* пропорционально- дифференциально- интегральный регулятор.

Цифровой интегратор описывается системной функцией

Она получается по аналогии с обычным интегратором, у которого , в результате замены. Разностное уравнение цифрового интегратора.

Цифровое инерционное звено первого порядка описывается системной функцией

Разностное уравнение этого звена имеет вид , а схема его приведена на рис. 8.4.6. При А=1 схема превращается в цифровой интегратор.

Рис. 8.4 Структурные схемы элементов цифровых систем управления: цифровой интегратор (а), инерционное звено (б), цифровой дифференциатор(в), пропорционально-интегрирующее звено (г), пропорционально-дифференцирующее звено (д) и пропорционально-интегрирующее-дифференцирующее звено (е)

Цифровой дифференциатор описывается системной функцией .

Ей соответствует разностное уравнение вида , что соответствует вычислению первой конечной разности, являющейся экви­валентом производной.