8.7. Цикл Карно

Цикл Карно состоит из двух изотерм (1-2) и (3-4) и двух адиабат (2-3) и (4-1), изображенных на рис.8.10. Для того, чтобы упростить вычисления, предположим, что рассматриваемая система есть один моль идеального газа, хотя полученный вывод будет справедлив для любой системы.

Допустим, что начальное (1) состояние системы определяется значением параметров p₁V₁T₁. Предоставим газу возможность расширяться изотермически при температуре Т₁до объема V₂. Давление при этом уменьшилось до величины р₂и система придет в состояние (2), характеризуемое p₂V₂T₁.

Расширяясь, газ совершает работу

. (8.5)

p p1V1T1 1 p2V2T1 2 4 p3V3T2 p4V4T2 3 V Рис.8.10

Для поддержания темпе-ратуры неизменной при изотермическом расширении газу необходимо подвести количество теплоты, эквива-лентное совершенной при этом работе Q1 = A1-2. Если теперь предоставить газу расширяться адиабатно от объема V2 до объема V3, то

температура газа понизится до величины Т₂, а давление до р₃. Система перейдет в состояние (3) с параметрами p₃V₃T₂. При этом за счет изменения внутренней энергии будет совершена работа

A_2-3 = C_V (T₁ – T₂).

Для возвращения системы в исходное состояние подвергаем газ, находящийся в результате адиабатного расширения при температуре Т₂ изотермическому сжатию до объема V₄. Давление при этом возрастает до р₄. При этом необходимо совершить работу

.

Для того, чтобы температура оставалась постоянной, необходимо от газа отвести количество теплоты, эквивалентное затраченной работе Q₂=A_3-4.

Замыкание процесса можно осуществить адиабатическим сжатием газа и его давление принимает первоначальное значение Т₁ и р₁, и система возвращается в исходное состояние.

Сжатие газа при переходе из состояния (41) потребует затраты работы, эквивалентной возрастанию внутренней энергии системы

A_4-1 = C_V (T₁ – T₂).

Работа, совершенная системой при расширении, равна сумме

.

Работа, затраченная на возвращение системы в исходное состояние, равна сумме

.

Их разность является полезной во всем цикле

. (8.6)

Для характеристики эффективности циклического процесса в отношении превращения теплоты в работу, вводится физическая величина, называемая коэффициентом полезного действия цикла. Коэффициент полезного действия цикла () равен отношению работы А_полезн=А_1-2-А_3-4, практически используемой в данном цикле, к работе, которую можно было бы получить при превращении в нее всего количества тепла, подведенного к системе

(8.7)

или, учитывая эквивалентность теплоты и работы,

.

Подставляя (8.5) и (8.6) в формулу (8.7), получим

. (8.8)

Для того, чтобы упростить это выражение, заметим, что объемы V₂ и V₃, так же как объемы V₄ и V₁, лежат попарно на соответствующих адиабатах и поэтому, согласно уравнению Пуассона, для них справедливы следующие соотношения:

;

;

.

Извлекая корень (1) степени, находим, что . Учитывая это, равенство (8.8) можно переписать в виде

.

Таким образом, коэффициент полезного действия цикла Карно равен отношению разности между абсолютной температурой Т₁, при которой происходит изотермическое расширение газа, и абсолютной температурой изотермического сжатия газа Т₂ к абсолютной температуре расширения газа Т₁. Подобные круговые процессы могут лежать в основе действия как тепловой машины, так и холодильной машины.