6.2.2. Пружинный маятник

Другим примером гармонического колебания является пружинный маятник.

Пружинным маятником называется система, состоящая из шарика массы m, подвешенного на пружине (рис.6.2).

Обозначим смещение пружины из положения равновесия x. Тогда сила, возникающая в пружине при выведении шарика из положения равновесия, будет равна

F= -kx.

x Рис.6.2

Эта сила пропорциональна величине смещения и направлена к положению равновесия. В таком случае уравнение движения шарика, согласно второму закону Ньютона, запишется в виде или .

Обозначив , перепишем уравнение движения пружинного маятника:

. (6.6)

Из вида уравнения (6.6) следует, что движение пружинного маятника описывается линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка.

Решение этого уравнения имеет вид

x(t) =Asin(t+)

или x(t) = A cos (t+),

где - частота гармонических колебаний.

Тогда - период колебаний пружинного маятника.

Таким образом, период собственных колебаний пружинного маятника прямо пропорционален корню квадратному из отношения массы груза к коэффициенту жесткости пружины.

Анализируя движение математического и пружинного маятников, можно видеть, что гармонические колебания вызываются силами, обладающими двумя важными свойствами:

- величина силы прямо пропорциональна смещению шарика от положения равновесия;

- направление силы противоположно направлению смещения.

Этими свойствами обладает упругая сила и ряд других сил, которые по своей природе не являются упругими. Они называются квазиупругими силами. Отсюда можно дать следующее определение гармонических колебаний.

Колебания, происходящие под действием упругой или квазиупругой силы называются гармоническими.

6.2.3. Физический маятник

Твердое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром инерции называется физическим маятником (рис.6.3).

Покажем, что и физический маятник будет совершать гармо-нические колебания.

В положении равновесия центр инерции маятника (С) находится под точкой подвеса (О) на одной с ней вертикали.

При отклонении маятника от положения равновесия на угол возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен произведению силы тяжести на плечо силы (d):

M=mgd

или , (6.7)

O d  C C mg Рис.6.3

где расстояние между центром инерции и точкой подвеса. Согласно основному уравне-нию динамики вращательного движения вращательный момент равен M=I или . (6.8)

В случае малых колебаний sinи, приравнивая (6.7) и (6.8), получим уравнение колебаний физического маятника:

или . (6.9)

Обозначим

и перепишем уравнение (6.9) в виде

. (6.10)

Уравнение колебаний физического маятника представляет собой однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

Из теории дифференциальных уравнений известно, что решением уравнения (6.10) будет функция вида

(t) =₀cos(t+),

т.е. при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания, частота и период которых определяются из следующих соотношений:

;

.

Сопоставляя эту формулу с периодом колебаний математического маятника

,

можно видеть, что математический маятник длиной будет иметь такой же период колебаний, как и данный физический маятник.

Величину называют приведенной длиной физического маятника.

Таким образом, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.

Введя понятие приведенной длины физического маятника, выраженное для периода колебаний можно записать в виде

.