- •Введение
- •Физические основы механики
- •1. Кинематика поступательного и вращательного движения
- •1.1. Система отсчета. Путь. Вектор перемещения
- •1.2. Скорость. Ускорение при криволинейном движении
- •1.3. Нормальное, тангенциальное и полное ускорения
- •1.4. Движение точки по окружности. Угловая скорость. Угловое ускорение
- •2. Динамика поступательного движения
- •2.1. Законы Ньютона
- •2.2. Силы в механике
- •2.2.1. Сила тяжести
- •2.2.2. Упругие силы
- •2.2.3. Сила трения
- •2.3. Внешние и внутренние силы. Закон сохранения импульса
- •3. Работа и энергия
- •3.2. Кинетическая энергия механической системы и её связь с работой
- •3.3. Потенциальная энергия материальной точки во внешнем силовом поле и ее связь с силой, действующей на материальную точку
- •3.4. Потенциальная энергия системы взаимодействия. Связь кинетической энергии системы с работой внутренних и внешних сил
- •3.5. Закон сохранения механической энергии. Закон сохранения и превращения энергии как проявление неуничтожимости материи и ее движения
- •3.6. Удар абсолютно упругих и неупругих тел
- •4. Динамика вращательного движения
- •4.1. Момент силы и момент импульса
- •4.2. Уравнение моментов
- •4.3. Движение центра тяжести твердого тела
- •4.4. Момент инерции тела относительно оси вращения
- •4.5. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Закон сохранения момента импульса
- •4.6. Кинетическая энергия твердого тела. Работа внешних сил при вращении твердого тела
- •4.7. Кинетическая энергия при плоском движении твердого тела
- •5. Элементы специальной теории относительности
- •5.1. Преобразования Галилея. Механический принцип относительности
- •5.2. Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца
- •5.3. Следствия из преобразований Лоренца
- •5.3.1. Одновременность событий в разных системах отсчета
- •5.3.2. Длина тел в разных системах отсчета
- •5.3.3. Длительность событий в разных системах отсчета
- •5.4. Пространственно-временной интервал
- •5.5. Релятивистская кинематика. Релятивистский закон сложения скоростей
- •5.6. Релятивистская динамика
- •6. Механические колебания и волны
- •6.1. Понятия о колебательных процессах. Гармонические колебания. Амплитуда. Частота. Фаза колебаний
- •6.2. Свободные гармонические колебания
- •6.2.1. Математический маятник
- •6.2.2. Пружинный маятник
- •6.2.3. Физический маятник
- •6.2.4. Скорость и ускорение точки, колеблющейся по гармоническому закону
- •6.2.5. Энергия гармонических колебаний
- •6.3. Сложение колебаний
- •6.3.1. Сложение колебаний одного направления и одинаковой частоты
- •6.3.2. Сложение двух гармонических колебаний одного направления, но разного периода
- •6.3.3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •6.4. Затухающие колебания
- •6.5. Вынужденные колебания. Резонанс
- •6.6. Волновые процессы
- •6.6.1. Плоская синусоидальная волна. Фазовая скорость. Длина волны. Групповая скорость
- •6.6.2. Скорость распространения волн в упругой среде
- •6.6.3. Поток энергии в волновых процессах
- •6.6.4. Принцип Гюйгенса-Френеля. Интерференция волн
- •6.6.5. Отражение волн. Стоячие волны
- •7. Молекулярно-кинетическая теория
- •7.1. Статистический метод исследования. Термодинамический метод исследования. Термодинамические параметры. Равновесное состояние и процессы их изображения на термодинамических диаграммах
- •7.2. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов
- •7.3. Средняя кинетическая энергия молекул. Молекулярно-кинетическое толкование абсолютной температуры. Связь основного уравнения мкт с уравнением Менделеева-Клайперона
- •7.4. Средняя скорость молекул. Поток молекул
- •7.5. Распределение молекул по скоростям. Закон Максвелла
- •7.6. Барометрическая формула.
- •7.7. Больцмановское распределение частиц в потенциальном поле. Закон Максвелла-Больцмана
- •7.8. Экспериментальный метод определения числа Авогадро
- •7.9. Эффективный диаметр молекулы. Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекулы
- •7.10. Явления переноса в газах
- •7.10.1. Вязкость газов (внутреннее трение)
- •7.10.2. Закон Стокса
- •7.10.3. Теплопроводность газов
- •7.10.4. Диффузия газов
- •8. Термодинамика
- •8.1. Внутренняя энергия системы. Работа. Количество теплоты. Первое начало термодинамики
- •8.2. Степени свободы молекул. Распределение энергии по степеням свободы
- •8.3. Молекулярно-кинетическая теория теплоемкости газа
- •8.4.1. Изохорный процесс
- •8.4.2. Изотермический процесс
- •8.4.3. Изобарный процесс
- •8.5. Адиабатический процесс
- •8.7. Цикл Карно
- •8.8. Принцип действия тепловой и холодильной машин
- •8.9. Второе начало термодинамики
- •8.10. Приведенное количество тепла. Неравенство Клаузиуса
- •8.12. Статистический смысл второго начала термодинамики. Связь энтропии с термодинамической вероятностью
- •9. Агрегатные состояния и фазовый переход
- •9.1. Реальные газы. Уравнение Ван-дер-Ваальса
- •9.2. Экспериментальные изотермы. Критические состояния
- •9.3. Внутренняя энергия реального газа. Эффект
- •Библиографический список
- •Оглавление
6.5. Вынужденные колебания. Резонанс
Для получения незатухающих колебаний необходимо воздействовать дополнительной переменной внешней силой, которая бы восполняла убыль энергии. Колебания системы, которые совершаются за счет работы периодически меняющейся внешней силы, называются вынужденными.
Пусть вынуждающая сила изменяется со временем по гармоническому закону
.
Тогда уравнение движения запишется следующим образом:
.
Разделим уравнение на mи введем обозначения
, , ,
получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка:
, (6.35)
где - коэффициент затухания,- собственная частота колебаний системы.
Как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения мы уже знаем, оно имеет следующий вид:
, (6.36)
,
где А0и- произвольные постоянные.
Остается найти частное (не содержащее произвольных постоянных) решение уравнения. Будем искать это решение в виде
(6.37)
и попытаемся выяснить, не существует ли таких значений А и , при которых данная функция удовлетворяет уравнению (6.35).
Найдем производные
; (6.38)
. (6.39)
Подставим (6.37), (6.38) и (6.39) в уравнение (6.35):
.
Учтем, что
,
и перепишем предыдущее уравнение в следующем виде:
Сгруппируем члены при costи sint:
(6.40)
Для того, чтобы уравнение (6.40) удовлетворялось при всех значениях t, необходимо, чтобы коэффициенты при sintиcostв левой и правой частях уравнения были одинаковы. Отсюда следуют два уравнения:
; (6.41)
. (6.42)
Возводя в квадрат и складывая их друг с другом, получим:
,
. (6.43)
Из (6.43) следует, что амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы (f0) и зависит от ее частоты ().
Из уравнения (6.42) найдем сдвиг фаз:
;
, (6.44)
т.е. вынужденные колебания сдвинуты по фазе относительно вынуждающей силы, причем величина сдвига фаз зависит от частоты вынуждающей силы.
Подставляя (6.43) и (6.44) в уравнение (6.37), получим частное решение неоднородного уравнения:
. (6.45)
Функция (6.45) в сумме с (6.36) дает общее решение уравнения (6.35), которое описывает поведение системы при вынужденных колебаниях. Слагаемое (6.36) играет заметную роль только в начальной стадии процесса, с течением времени из-за экспоненциального множителя е-tроль слагаемого (6.36) уменьшается и через некоторое время им можно пренебречь, сохраняя в решении слагаемое (6.45).
Таким образом, функция (6.45) описывает установившиеся вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы.
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (6.43) приводит к тому, что при некоторой, определенной для данной системы частоте, амплитуда колебаний достигает максимального значения.
Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы при этой частоте. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота – резонансной частотой. Чтобы определить резонансную частоту рез, нужно найти максимум функции или минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе формулы (6.43). Продифференцируем это выражение пои, приравняв нулю, получим:
. (6.46)
Уравнение (6.46) имеет три решения:
.
Решение, равное нулю, соответствует максимуму знаменателя. Отрицательное должно быть отброшено, так как оно лишено физического смысла (частота не может быть отрицательна). Таким образом, для резонансной частоты получается одно значение:
.
Подставив это значение частоты в (6.43), получим выражение для амплитуды при резонансе:
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы изображается графически (рис.6.17) и называется резонансной кривой.
A
рез
Рис.6.17
|
При 0 из уравнения (6.43) следует, что , т.е. при 0 все кривые приходят к одному и тому же предельному значению. Это значение представляет собой смещение из положения равновесия, которое получает система под действием постоян |
ной величины f. Чем меньше, тем сильнее изменяется с частотой амплитуда, тем острее получается максимум. При стремлениивсе кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте сила так быстро изменяет свое направление, что система не успевает заметно сместиться из положения равновесия.