6.2.4. Скорость и ускорение точки, колеблющейся по гармоническому закону

Пусть колебания точки происходят по гармоническому закону

x=Acos(t+). (6.11)

Скорость колеблющейся точки определяется первой производной по времени от смещения:

или =Asin(t+). (6.12)

Ускорение колеблющейся точки определяется первой производной по времени от скорости:

или . (6.13)

Из уравнений (6.12) и (6.13) следует, что скорость и ускорение колеблющейся точки изменяются по гармоническому закону. При этом амплитуда скорости равна А, ускорение А².

Для определения сдвига фаз преобразуем выражения (6.12) и (6.13). Исходя из формул преобразования

cos(90⁰+) =sin,

cos(180⁰+) =cos,

получим

(6.14)

Сравнивая выражения (6.11) и (6.14) можно сделать вывод, что скорость сдвинута по фазе относительно смещения на =/2, а ускорение на=.

Таким образом, при гармонических колебаниях смещение, скорость и ускорение пропорциональны друг другу и изменяются со временем по одинаковому гармоническому закону. Это является специальным свойством гармонических колебаний.

Для графического изображения x=f(t), =f(t) иположим

x= 2cost,

тогда

,

.

Значения x,,в зависимости отtзанесем в табл.6.1, учитывая, что

Построим графики x(t),(t), и(рис.6.4)

Форму кривой, выражающей зависимость изменения колеблющейся величины от времени называют формой колебания. В случае гармонических колебаний формой колебания является синусоида или косинусоида. Форму колебаний может вычертить само колеблющееся тело. Например, колеблющийся маятник с песочницей «вычерчивает» синусоиду на равномерно движущейся под ним доске.

Таблица 6.1

t	0				T
	0				2
x	2	0	-2	0	2
	0	-2	0	2	0
	-2	0	2	0	-2

x 2 1/4T 1/2T 3/4T T t -2  2 1/4T 1/2T 3/4T T t -2 2 1/4T 1/2T 3/4T T t -2 Рис.6.4

6.2.5. Энергия гармонических колебаний

Положим, система совершает собственные гармонические колебания. При отсутствии сил трения гармонические колебания продолжаются неограниченно долго, т.к. полная энергия замкнутой системы постоянна.

Полная энергия механической системы складывается из энергии кинетической (Е_к) и потенциальной (Е_п):

Е = Е_к+ Е_п. (6.15)

Найдем кинетическую энергию системы, колеблющейся по закону

x=Acost, (6.16)

положив начальную фазу =0. Скорость равна первой производной по времени от смещения, т.е.

Кинетическая энергия может быть записана в виде

(6.17)

или . (6.18)

Известно, что

. (6.19)

Поэтому выражение (6.18) для кинетической энергии можно переписать в виде

. (6.20)

Таким образом, кинетическая энергия меняется со временем также по гармоническому закону, но по сравнению с координатой x(6.16) с удвоенной частотой.

При вычислении потенциальной энергии квазиупругих и упругих сил условимся отсчитывать её от положения равновесия, т.е. положим, что при x=0, E_п=0. Тогда потенциальная энергия в точке x будет численно равна работе квазиупругой силы, совершенной при перемещении из положения равновесия в данную точку и взятой с обратным знаком

.

Подставляя вместо xего значение (6.16) иk=m²получим

. (6.21)

Используя формулу преобразования (6.19), получим следующее выражение для потенциальной энергии:

. (6.22)

Следовательно, потенциальная энергия также меняется со временем по гармоническому закону, но по сравнению с координатой x (6.16) с удвоенной частотой и со сдвигом фазы относительно кинетической энергии Е_к(6.20) на.

Составим таблицу 6.2 значений x(t), Е_к(t) и E_п(t), исходя из уравнений (6.16), (6.20), (6.22).

Таблица 6.2

t		x	Ек	Eп
0	0	A	0
		0		0
		-A	0
		0		0
T	2	A	0

Построим графики изменения со временем смещения, потенциальной и кинетической энергии (рис.6.5)

Из графиков видно, что кинетическая энергия за период дважды достигает максимального значения при прохождении точки x=0. Аналогично максимальные значения потенциальной энергии достигается при x=A.

Кроме того, значения кинетической и потенциальной энергии колеблются не около нуля, а около изменяясь от 0 до.

x A 1/4T 1/2T 3/4T T t -A Eк 1/4T 1/2T 3/4T T t Еп 1/4T 1/2T 3/4T T t Рис.6.5

Найдем полную энергию системы, совершающей гармоническое колебательное движение с частотой и амплитудой А, подставив в формулу (6.15) выражение для кинетической энергии (6.17) и потенциальной энергии (6.21):

;

или ,

так как (sin²t+cos²t)=1.

Таким образом, полная энергия гармонически колеблющейся системы есть величина постоянная и пропорциональная квадрату амплитуды колебаний.

В процессе движения происходит непрерывный переход кинетической энергии в потенциальную и обратно, но сумма их остается постоянной. Когда система проходит через положение равновесия x=0, потенциальная энергия обращается в нуль, а кинетическая энергия максимальна и равна полной энергии.

Когда колеблющаяся система доходит до одного из крайних положений x=A, то=0 и кинетическая энергия обращается в нуль, а потенциальная максимальна и равна полной энергии, т.е.

.