4.3. Движение центра тяжести твердого тела

Абсолютно твердым телом называется тело, расстояние между двумя точками которого во время движения остается неизменным. Разобьем мысленно такое тело на бесконечно малые элементы, которые малы по сравнению с расстоянием до оси вращения. Каждый такой элемент тела мы можем рассматривать как материальную точку. Таким образом, мы сведем задачу о движении твердого тела к задаче о движении большого числа отдельных материальных точек.

Обозначим массу i–элемента через m_i, его скорость через _i. Запишем уравнение второго закона Ньютона для каждого из элементов:

,

где - сумма внутренних сил,- внешняя сила, действующая на элемент массы.

Складывая для всех элементов тела, получим

, (4.4)

так как по третьему закону Ньютона сумма всех внутренних сил, действующих на отдельные элементы тела .

Согласно (4.4) так же, как и для всякой системы материальных точек, производная по времени от общего импульса тела равна сумме всех внешних сил, действующих на тело.

Координаты центра масс твердого тела определяются следующим образом:

; ; ,

где - координаты элемента массыm_i(рис.4.4).

Продифференцируем по времени эти выражения:

z mi zi x yi xi y Рис.4.4

Справа стоят компоненты общего импульса системы по трем осям координат. Слева – масса тела, умноженная на соответствую-щие компоненты скорости центра масс . Складывая почленно, получим

, (4.5)

где - вектор скорости центра масс,m - масса всего тела.

Из выражения (4.5) следует, что твердое тело обладает таким же импульсом, каким обладала бы материальная точка массы, равной массе тела и движущаяся, как движется центр масс тела.

Подставляя (4.5) в уравнение (4.1), получим

. (4.6)

Поскольку масса тела есть величина постоянная, её можно вынести за знак дифференциала и уравнение движения центра масс твердого тела (4.6) примет следующий вид:

. (4.7)

Центр масс твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка той же массы под действием всех внешних сил, которые действуют на данное тело.

Умножим векторно обе части уравнения (4.7) на :

.

Правая часть этого уравнения есть момент сил, действующих на абсолютно твердое тело:

.

Левая часть есть производная от момента импульса абсолютно твердого тела относительно выбранной оси

.

Следовательно, и для абсолютно твердого тела уравнение моментов имеет следующий вид:

. (4.8)

4.4. Момент инерции тела относительно оси вращения

Моментом инерции тела относительно оси вращения называется сумма произведений элементарных масс на квадрат расстояния от оси вращения:

.

Для тела с неравномерно распределенной массой элементарная масса m_i

,

где _i- плотность в данной точке,V_i- элементарный объем. Поэтому момент инерции тела будет равен

.

Если =сonst, то

.

Переходя к пределу получим, что

.

z dr b Рис.4.5

Найдем момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плос-кости диска и проходящей через его центр (рис.4.5). Разобьем диск на кольцевые слои толщиной dr. Объем такого слоя равен V=b2rdr, где b - толщина диска, r – радиус кольцевого слоя.

Поскольку диск однороден, то =сonst и

;

,

где R- радиус диска.

Произведение , поэтому момент инерции диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости и проходящей через его центр будет равен

.

Для нахождения момента инерции диска относительно оси, не проходящей через его центр, воспользуемся теоремой Штейнера.

Момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, парал-лельной данной и проходящей через центр инерции тела и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями (рис.4.6):

O O O O Рис.4.6

В соответствии с этой теоремой, момент инерции диска относительно оси ООравен

.

Приведем моменты инерции тел различной геометрической формы.

1. Длинный стержень, толщина которого значительно меньше длины . Момент инерции относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящий через его середину(рис.4.7,а). Относительно оси ОО(рис.4.7,б), согласно теореме Штейнера

,

т.е. .

2. Момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр (рис.4.8,а). Относительно оси ОО(рис.4.8,б).

О О а) О О О О б) Рис.4.7

OО О R O О О а) б) Рис.4.8

3. Момент инерции полого цилиндра относительно оси, проходящей через его центр .

4. Момент инерции полого цилиндра (обруча) с внутренним радиусом R₁и внешнимR₂относительно оси цилиндрадля тонкостенного полого цилиндраR₁R₂=Rи I=mR².