6.3.2. Сложение двух гармонических колебаний одного направления, но разного периода

Пусть ₁₂, т.е. рассмотрим случай сложения двух гармонических колебаний одного направления, но разного периода. Положим А₁=А₂=А₀,₁=₂=. Тогда уравнения колебаний запишутся в виде

x₁=A₀ cos(₁t+);

x₂=A₀cos(₂t+).

Результирующее смещение xравно

x = x₁+x₂,

x = A₀ cos(₁t+) + A₀ cos(₂t+).

Преобразуем выражение, учитывая, что

.

Получим

.

Если обозначить , то предыдущее уравнение перепишется в виде

. (6.23)

Т.е. результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое колебание со средней угловой частотой и медленно изменяющейся амплитудой по закону

. (6.24)

Период изменения амплитуды

.

Период колебания

.

График колебаний, полученный в результате сложения колебаний одного направления, но разного периода представлен на рис.6.8.

x 2A0 O t -2A0 Рис.6.8

Пунктирные линии представляют график медленно изменяющейся по уравнению (6.24) амплитуды. Сплошной линией на том же чертеже представлен график результирующего колебания (6.23).

В те моменты, когда

В этот момент колебания происходят с удвоенной амплитудой А=2А₀. В те моменты, когда

В этот момент колебания гасят друг друга и амплитуда результирующего колебания равна 0.

В тот момент времени, когда

Амплитуда результирующего колебания оказывается снова равной удвоенной амплитуде А=2А₀.

Такое постепенное возрастание и убывание амплитуды результирующего колебания носит название биений. Явлением биений пользуются настройщики музыкальных инструментов, которые судят по исчезновению биений о точном совпадении частоты струн и эталонного источника звука.

6.3.3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим движение точки, участвующей одновременно в двух колебаниях, направления которых взаимно перпендикулярны. Этот случай колебания можно наблюдать на электронном осциллографе. Подадим на горизонтально отклоняющие пластины напряжение от первого генератора электрических колебаний, на вертикально отклоняющие пластины переменное напряжение от второго генератора электрических колебаний.

Пока генераторы не включены, электрический луч, проходящий по оси отклоняющих пластин, создает светящуюся точку в центре экрана. В этой точке мы поместим начало координат, а за ось возьмем горизонтальный (ось x) и вертикальный (ось y) диаметры (рис.6.9).

y О x Рис.6.9

При включении генератора, соединенного с вертикально отк-лоняющими пластинами, светя-щаяся точка смещается по верти-кальной оси, совершая колебания по гармоническому закону: y=A2cos(2t+2) , (6.25) где 2– частота колебаний напряжения на втором генера-торе. Если отключить этот генера-тор и включить первый, напряже-

ние которого подано на горизонтально отклоняющие пластины, то светящаяся точка будет смещаться в горизонтальном направлении по закону:

x=A₁cos(₁t+₁). (6.26)

1. Положим, что частота колебаний обоих генераторов одна и та же: ₁=₂и₁=₂– начальные фазы совпадают.

Уравнения (6.25) и (6.26) представляют собой кинематические уравнения движения точки. Они перепишутся в следующем виде:

x=A₁cost;

y=A₂cost.

Если из них исключить время, то получим уравнение траектории, по которой движется точка, участвуя одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях:

.

Это уравнение есть уравнение прямой линии, т.е. светящаяся точка движется по прямой линии, проходящей через начало координат и составляющей с осью x угол, тангенс которого определяется соотношением

.

Результирующее смещение ,

.

Длина отрезка, пробегаемого точкой, равна удвоенной амплитуде результирующего колебания:

.

Таким образом, участвуя одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одной частоты, при сдвиге фаз между ними, равном нулю, тело совершает гармоническое колебательное движение. Колебательное движение происходит вдоль отрезка прямой, который служит диагональю прямоугольника,

y +A2 -A1 +A1 O x -A2 Рис.6.10

образованного отрезками прямых x=A₁ и y=A₂ (рис.6.10).

2. Положим ₂=₁+, тогда

cos(t+₂)=cos(t+₁+)=-cos(t+₁).

y +A2 -A1 O +A1 x -A2 Рис.6.11

В этом случае косинусы будут отличаться знаком и мы, аналогично, получим , т.е. траектория будет другой диагональю прямоугольника, образованного отрезками прямых (рис.6.11): x=A1, y=A2.

3. Пусть ₂=₁+/2, тогда составляющие колебания сдвинуты по фазе на /2. Запишем уравнения колебаний по оси x и y:

x=A₁cos(t+₁);

y=A₂cos(t+₂).

Преобразуем уравнение колебаний по оси y:

.

Получим систему уравнений

x=A₁cos(t+₁);

y= -A₂sin(t+₁).

Перенесем А₁ и А₂ в левую часть уравнений:

.

Возводя в квадрат и складывая почленно, получим:

.

Это выражение есть уравнение эллипса, которое при А₁=А₂=А превращается в уравнение окружности.

Таким образом, движение точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях равной частоты с разными амплитудами и сдвигом фаз в /2, происходит по эллипсу с полуосями А₁ и А₂, лежащими на направлениях составляющих колебаний.

Эллипс вписан в прямоу-гольник, образованный отрез-ками прямых x=A1 и y=A2 (рис.6.12) В некоторый момент времени аргумент обоих выражений (для x и y) равен нулю; при этом колеблющаяся точка находится в точке +А1, в следующий момент времени аргумент возрастает, т.е. x

y +A2 -А1 О +А1 -А2 Рис.6.12

будет положительным, а y - отрицательным; точка пойдет вниз и сдвинется по часовой стрелке.

4. То же наблюдается при сдвиге фаз, равном 3/2, но точка обегает эллипс в этом случае в противоположном направлении, т.е. против часовой стрелки.

5. В случае, когда ₁₂, имеют место сложные кривые. При этом, если отношение частот не является рациональным числом, то кривая будет незамкнутой, и с течением времени заполнит собой весь прямоугольник.

В случае рационального отношения частот будут иметь место различные кривые, вид которых зависит от отношения частот и сдвига начальных фаз и называются они фигурами Лиссажу, по имени французского ученого, их впервые наблюдавшего.

Например:

а) при ₂=₁+/2, ₂=2, уравнения колебаний по оси x и y запишутся в виде

x = A₁ cost;

y = A₂ cos(2t+/2) = -А₂ sin2t.

Уравнение колебаний по оси y преобразуем, используя выражение sin2t=2sintcost.

Получим

y = -2A₂ sint cost.

Из уравнения колебаний точки по оси x имеем

,

тогда ,

.

Таким образом, уравнение колебаний в рассматриваемом случае будет иметь вид

.

y +A2 -A1 O +A1 x -A2 Рис.6.13

При построении графика y=f(x) получим кривую вида (рис.6.13). За то время, пока вдоль оси xточка успевает пере-меститься из одного крайнего положения в другое вдоль оси y, выйдя из нулевого положения, она успевает достигнуть одного крайнего

положения, затем другого и вернуться в нулевое;

б) при ₁=₂+/2, ₂=2₁, ₂=0, x=A₁cos(t+/2), y=A₂cos2t - получим кривую (рис.6.14).

y +А2 -А1 +А1 x -А2 Рис.6.14

Уравнение траектории можно получить, используя формулу преобразования cos2t=2cos2t-1: . Траектория вырождается в незамкнутую кривую, по которой точка движется туда и обратно. С помощью получаемого

изображения кривой (фигуры Лиссажу) задавая колебания электронного луча в электронно-лучевой трубке вдоль оси xс известной частотой и отклоняя его вдоль осиyнапряжением, частота которого неизвестна, можно определить неизвестную частоту.

Рассмотренные выше примеры показывают, что различные сложные периодические движения могут быть представлены в виде суммы гармонических колебаний разных направлений, частот, амплитуд и начальных фаз.