4.5. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Закон сохранения момента импульса

Рассмотрим движение однородного твердого тела, закрепленного на неподвижной оси, вокруг которой оно может свободно вращаться. Примем, что тело симметрично относительно движения. Точка О – след оси, f - внешняя сила, приложенная в точке А (рис.4.9).

Момент инерции относительно оси вращения дает только внешняя сила f, поскольку момент реакции опоры в точке О равен нулю.

Разобьем тело на отдельные малые элементы, и будем рассматривать тело как систему материальных точек с массой, равной m_i.

Элементы массы m_i обладают элементарным моментом импульса

.

Подставим в данное выра-жение i=ri- линейную скорость некоторого элемента, получим уравнение для момента импульса элемента массы в виде, так каки Поскольку моменты импульса всех элементов направлены по оси вращения, и

O A mi Рис.4.9

 для всех элементов одно и тоже, то полный момент импульса тела

;

.

В этом выражении - момент инерции тела относи-тельно выбранной оси, поэтому

N=I,

т.е. момент импульса однородного симметричного тела относительно неподвижной оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость вращения тела.

Если тело неоднородное и несимметричное относительно оси вращения, то

,

где N_z- проекция момента импульса на ось z,_z- проекция угловой скорости вращения на эту ось.

Так как все r_i=сonst, то производная от момента импульса

,

т.е. . (4.9)

Из уравнений (4.8) и (4.9) вытекает, что

или

, (4.10)

т.е. импульс вращающего момента равен изменению момента импульса тела, к которому приложен этот вращающий момент.

Учитывая, что - угловое ускорение, получим основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси в виде:

, (4.11)

т.е. момент сил, действующих на вращающееся тело прямо пропорционально моменту инерции тела относительно неподвижной оси вращения и угловому ускорению.

Для несимметричного неоднородного тела

,

где M_z- проекция момента сил на ось z,_z- проекция углового ускорения на ось z.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси можно записать, исходя из (4.8):

, (4.12)

где - момент силы,- момент импульса.

Если система замкнута, то момент внешних сил , так как

. Из уравнения (4.12) следует, что, а. Это уравнение выражает закон сохранения момента импульса.

Момент импульса твердого тела относительно какой-либо неподвижной оси остается постоянным, если момент внешних сил относительно этой оси равен нулю.