2.5. Структурное проектирование цифровых схем комбинационного типа

1)функциональное описание в виде таблицы истинности или алгебраического выражения;

2)требования к основным электрическим параметрам.

Задача структурного проектирования - получить наиболее простое (минимизированное) логическое выражение реализуемой функции и построить соответствующую структурную схему на заданной или выбранной элементной базе.

Минимизация логической функции заключается в упрощении ее алгебраического выражения. Чем меньше элементов требуется для ее выполнения, тем лучшие показатели по быстродействию, потребляемой мощности и занимаемой площади на кристалле будет иметь микросхема.

Минимизацию, т.е. упрощение логической функции, можно выполнить:

·либо с помощью преобразований алгебры логики

F= ABC + ABC = BC(A + A) = BC ;

·либо с помощью карты Карно.

Карта Карно используется для минимизации логической функции с небольшим количеством переменных (k £ 6). Для функции с большим количеством переменных декомпозицией можно выделить более простые ее составляющие, которые минимизируются с помощью карты Карно.

Структурное проектирование осуществляется поэтапно.

1. Функция приводится к СДНФ или СКНФ с помощью раскрытия скобок и преобразований по закону дуальности. Очень часто используется правило двойной инверсии:

F= (A + BC)(C + D) = (A + BC) + (C + D) = A × BC + C D =

=A × (B + C) + C D = A × (B + C) + C D = A B + AC + C D;

F= A(C + D) + BC = AC + AD + BC = AC × AD × BC =

=(A + C)(A + D)(B + C) = (A + C)(A + D)(B + C).

2.Заполняется карта Карно для полученной функции.

26

Если логическая функция имеет СДНФ, то заполняется карта Карно по 1 (рис.2.4,а) (так как функция равна 1, если хотя бы одно слагаемое равно 1).

При остальных значениях входных логических переменных функция принимает значение 0.

Если логическая функция имеет СКНФ, то заполняется карта Карно по 0 (рис.2.4,б) (так как функция равна 0, если хотя бы один сомножитель равен 0).

F = (A + B)(A + B).

Рис.2.4. Пример заполнения карты Карно для функции XOR, представленной СДНФ (а) и СКНФ (б)

При остальных значениях входных логических переменных функция принимает значение 1.

27

3. Минимизацию функции можно проводить либо по 1, либо по 0. Как правило, минимизация, т.е. объединение соседних состояний, проводится в соответствии с элементным базисом. Проводится объединение соседних 2, 4, 8, 16 (2n) состояний. Объединяться могут клетки по строкам либо по столбцам, либо по квадратам. В результате объединения по правилу склеивания

( ABC + ABC = BC ) записываются те переменные, которые не изменялись при переходе из состояния в состояние. Чем крупнее объединение, тем меньше переменных остается в алгебраическом выражении функции. Одно состояние может войти в несколько разных объединений.

4. После минимизации функция считывается с карты Карно. В алгебраическом выражении функции будет столько слагаемых или сомножителей, сколько объединений было сделано. Например, при считывании по 1 записывается сумма минтермов в СДНФ

F= (B + C)(A + C)(A + D) (рис.2.5,б).

5.Затем алгебраическое выражение функции преобразовывается к требуемому элементному базису с помощью правила двойной

Рис.2.5. Пример минимизации и считывания логической функции, представленной СДНФ (а) и СКНФ (б)

28

инверсии и теоремы де-Моргана. Например, для реализации XOR на логической функции И-НЕ получим

F = AB + AB = AB + AB = AB × AB.

6. Далее собирается комбинационная схема из логических элементов И-НЕ, НЕ (рис.2.6).

2.6.Примеры преобразований логических функций

1.Преобразование логической функции, представленной в

Рис.2.6. Структурная схема логической функции F = AB × AB

алгебраической форме, осуществляется с помощью булевой алгебры.

Например:

F= ABC + ABC + A BC + A B C + ABC =

=(ABC + ABC) + (ABC + A BC + A B C + ABC) =

=BC(A + A) + A[C(B + B) + C(B + B)]=

=BC ×1+ A(C + C) ×1 = BC + A ×1 = BC + A .

Получили минимизированную СДНФ функции.

2. Переход от алгебраической формы представления к табличной выполняется путем последовательной подстановки в данное ал-

гебраическое выражение всех q возможных наборов входных логических переменных и определения fi . У СДНФ функции F = BC + A количество входных логических переменных k = 3 (A, B,C) , поэтому количество возможных наборов входных ло-

29

гических переменных l = 2k = 23 = 8 . Следовательно, таблица истинности рисуется на три переменные с восемью наборами и заполняется последовательным перебором всех состояний

(табл.2.3).

Таблица 2.3

Заполнение таблицы истинности для логической функции F = BC + A

Наиболее быстрый способ составления таблицы истинности заключается в заполнении состояний, при которых СДНФ функция принимает значение 1.

Рассмотрим функцию F = BC + СD , у которой количество входных логических переменных k = 3 (B, C, D), т.е. количество воз-

30

можных наборов входных логических переменных равно l = 2k = 23 = 8 . Приведем функцию к СКНФ:

F = BC + СD = BC × CD = (B + C)(C + D).

Теперь можем заполнить таблицу истинности на три переменные с восемью наборами (табл.2.4).

Таблица 2.4

Таблица истинности для функции F = (B + C )(C + D)

Поскольку функция представлена в СКНФ, то найдем те состояния входных переменных, при которых F = 0:

3. Считывание алгебраического выражения функции с таблицы истинности выполняется следующим образом. Если необходимо получить СДНФ функции, то из таблицы истинности считывают-

31

ся те состояния входных логических переменных, при которых функция принимает значение 1 (табл.2.5):

FСДНФ = ABC + AB C + ABC = ABC + ABC + AB C + ABC = = BC(A + A) + AC(B + B) = BC + AC.

Таблица 2.5

Таблица истинности для СДНФ

FСКНФ = (A + B + C) × (A + B + C) × (A + B + C) × (A + B + C) × (A + B + C) =

=(A + B + C) × (A + B + C) × (A + B + C) × (A + B + C) × (A + B + C) × (A + B + C) =

=[( A + B) + C × C][( A + C) + B × B][(A + C) + B × B] = (A + B) × ( A + C) × (A + C).

Если требуется получить СКНФ функции, то из таблицы истинности считываются те состояния входных логических переменных, при которых функция принимает значение 0 (табл.2.5):

4. Заполнение карты Карно осуществляется следующим образом. Заданная функция приводится к СДНФ:

F= (AB) × (BC D ) × (B CD)(ABCD) = AB + BC D + B CD + ABCD

=AB + BC D + B CD + ABCD = FСДНФ.

32

В результате преобразования получается функция F в СДНФ на четыре входные переменные A,B,C,D. Рисуется карта Карно для четырех переменных (рис.2.7).

Приравнивая последовательно каждое слагаемое к 1, находятся те состояния входных переменных, при которых функция имеет значение 1.

33

Перед считыванием проводится упрощение логической функции. Если логическая функция записывается в СКНФ, то в карте Карно выполняется объединение соседних состояний с нулевыми значениями. В результате получается упрощенное выражение логической функции в СКНФ:

F = (A + B + C) × (A + B + D) × (A + B + C) × (A + C + D) × (B + C + D

.

34