Подставляя (1.19) и (1.20) в (1.16), получим общее решение уравнения (1.12) в виде (1.15).

Уравнение вида

Следовательно, его общий интеграл, а значит, и общий интеграл уравнения (1.24) имеет вид

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный машиностроительный университет "МАМИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

диф 1.pdf

Скачиваний:

121

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

2.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 196 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

1.7. Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли4 называется уравнение вида

y′+ P(x)y = Q(x)yn ,

(1.21)

где n ≠ 0;1.

Уравнение Бернулли является нелинейным, но оно приводится к линейному следующим преобразованием:

1) Обе части уравнения умножаются на y−n , тогда y−n y′ + P(x)y1−n = Q(x).

2) Далее применяется подстановка z = y1−n .

Тогда по правилу дифференцирования сложной функции получим

dz	= (1 − n) y	−n	y′, следовательно,	y	−n	y′ =	1 dz
dx								dx .
							1 − n

В результате уравнение (1.21) становится линейным относительно функции z:

1
1−n z′+ P(x)z = Q(x).	(1.22)

Уравнение (1.22) может быть решено методом вариации произвольной постоянной или методом Бернулли.

Пример. Решить уравнение

y′ +

ln x

y−1

ln x

−2

y′+

Умножим обе части уравнения на

Положим z = y

−1

′

= −y

−2

′

уравнение преобразуется в

y ,

линейное:

4Это уравнение получено Я.Бернулли в 1695 г. и решено Иоганн-

ном Бернулли (27.07.1667 – 01.01.1748) в 1697 г.

z′

−

= −

ln x

(1.23)

Находим сначала решение соответствующего линейного од-

нородного уравнения

z′ −

= 0.

= ln

+ln C,

z = Cx.

Решение неоднородного уравнения (1.23) отыскиваем в виде

z = v(x) x, тогда z

′

= v (x) x + v(x).

′

dv(x) x +v(x)− v(x) x

= −ln x ,

dv(x) x = −ln x ,

∫dv(x) = −∫

ln x

dx +C.

После интегрирования получим

v(x) =

ln x

+C,

= v(x) x

ln x

+C x,

поэтому общее решение исходного уравнения будет иметь вид

y =

ln x +1 + Cx

1.8. Уравнение в полных дифференциалах

M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0

(1.24)

называется уравнением в полных дифференциалах, если коэффициенты M (x, y) и N (x, y) представляют собой непрерывные и

дифференцируемые функции, удовлетворяющие условию

∂M	=	∂N	.	(1.25)
∂y
		∂x

Условие (1.25) есть необходимое и достаточное условие того, что левая часть уравнения (1.24) представляет собой полный

дифференциал некоторой функции двух независимых переменных du(x, y).Поэтому уравнение (1.24) может быть представлено

в компактной форме

du(x, y) = 0.

Последнее уравнение делением на

p − p2 ≠ 0 приводится к ли-

нейному дифференциальному уравнению относительно x

u(x, y) = C.

Как известно, полный дифференциал функции двух переменных равен [15]

du(x,y) =	∂u dx +	∂u dy.	(1.26)
	∂x	∂y

С учетом (1.25) и (1.26) уравнение (1.24) может быть представлено в виде

M (x, y)dx + N (x, y)dy = du(x, y) = ∂∂ux dx + ∂∂uy dy = 0,

откуда следует, что

∂u	= M (x,y),	∂u	= N (x,y).	(1.27)
∂x		∂y

Интегрируя, например, первое из выражений (1.27), полу-

чим

u = ∫M (x,y)dx +ϕ(y),

(1.28)

где ϕ (y)- произвольная функция интегрирования (в частности,

она может быть константой). Заметим, что при вычислении интеграла в (1.28) функция y рассматривается как постоянная. Функция ϕ (y) определяется из решения дифференциального уравне-

ния, получающегося из соотношения (1.28) и второго условия

(1.27).

Пример. Решить уравнение

	(3x2 + 6xy2 )dx + (6x2 y + 4 y3 )dy = 0.		(1.29)
Здесь	M (x,y) = 3x2 + 6xy2,	N (x,y) = 6x2 y + 4 y3	и

∂∂My = ∂∂Nx =12xy.

Поэтому уравнение (1.29) является уравнением в полных дифференциалах. Следовательно,

∂u	= M (x, y) = 3x2 +6xy2,	∂u	= N (x, y) = 6x2 y + 4 y3 ,
∂x		∂y

u = ∫M (x, y)dx +ϕ(y) = ∫(3x2 +6xy2)dx +ϕ(y) = x3 +3x2 y2 +ϕ(y).

Дифференцируя последнее равенство по y и приравнивая значению N, получим

∂u		2	′	2		3		′	3
∂y	= 6x		y +ϕ (y) = 6x		y + 4 y		,	ϕ (y) = 4 y		.

Интегрируя полученное дифференциальное уравнение, находим

ϕ (y) = y 4 + C1 .

Таким образом,

u= x3 +3x2 y2 +ϕ(y) = x3 +3x2 y2 + y4 +C1 = C2

ипри C = C2 −C1 общий интеграл исходного уравнения запишется в виде

x3 + 3x2 y2 + y4 = C.

Если левая часть уравнения M (x,y)dx + N (x,y)dy = 0 не яв-

ляется полным дифференциалом, то при определëнных условиях, налагаемых на функции M (x,y) и N (x,y), можно найти такую

функцию µ = µ(x,y), что выражение µ[M (x,y)dx + N (x,y)dy]

становится полным дифференциалом. Функция µ(x,y)			при этом
называется интегрирующим множителем.	∂(µM )		∂(µN )
Заметим, что отыскание µ из условия	∂(µM )	=	∂(µN )	в
	∂y		∂x

общем случае сводится к интегрированию дифференциального уравнения в частных производных, что является задачей ещë б о- лее трудной, чем решение исходного уравнения.

Интегрирующий множитель µ легко находится в двух слу-

чаях:

1) если	1	∂M	−	∂N	= F (x), тогда	µ = µ(x),
		∂y

	N			∂x	1

если

∂M

−

∂N

= F (y),

тогда

µ = µ(y).

∂y

∂x

Пример.

Решить уравнение

1 −

dx + 2xy +

dy = 0.

(1.30)

Очевидно,

∂M

≠

∂N

Вычисляем

∂y

∂x

∂M

∂N

− 2y −

2y +

−

= −

∂y

∂x

2y +

следовательно,

∂M

−

∂N

= −

функция

∂y

∂x

= −

2y +

только x.

Поэтому интегрирующий множитель µ = µ(x)

существует.

Так как

∂(µ M )

∂(µ N )

или µ

∂M

= µ

∂N

+ N

∂µ , то из

∂y

∂x

∂y

∂x

последнего равенства следует

∂µ

∂M

∂N

∂µ

−

∂x

и потому

= −

Получили диффе-

∂y

ренциальное уравнение с разделëнными переменными. Интегрируя его, находим µ =1/x.

Умножая исходное уравнение (1.30) на найденный интегрирующий множитель, получим уравнение в полных дифференциалах

	1		1			1		x
		−		dx +	2y +		+		dy = 0.	(1.31)
						y		y2
x			y

Действительно, для уравнения (1.31) ∂∂My = ∂∂Nx = y12 . Интег-

рируя далее уравнение (1.31), как показано выше, находим общий интеграл исходного уравнения (1.30) в виде

ln xy − xy + y2 = C.

1.9. Дифференциальные уравнения, не разрешëнные

относительно производной

Для дифференциального уравнения первого порядка F(x,y,y′) = 0, заданного в неявной форме, также может быть до-

казана теорема существования и единственности решения. Функция F в области своего определения задает соотноше-

ние между неизвестной функцией y и независимой переменной x. Если это соотношение удаëтся разрешить относительно прои з- водной y′, то получается одно или несколько дифференциальных

уравнений первого порядка,		разрешëнных относительно прои з-
водной: y′ = fk (x,y) (k =1,2,...).
Например,	для уравнения		y′2 =1 решение получается пу-
тем наложения решений уравнений y′ =1 и				y′ = −1.
Рассмотрим	сначала	два	частных	случая уравнения
′
F(x,y,y ) = 0.

1. В уравнении отсутствует независимая переменная x, и уравнение может быть разрешено относительно y:

y =ϕ(y ).	(1.32)
′

2. В уравнении отсутствует функция y, и уравнение может быть разрешено относительно x:

x =ψ(y ).	(1.33)
′
В обоих случаях применяется подстановка	y′ = p, следователь-

но, dy = pdx.

В первом случае после введения параметра уравнение (1.32) принимает вид y =ϕ(p), следовательно dy =ϕ′(p)dp или

pdx =ϕ′(p)dp , откуда получаем уравнение с разделëнными п еременными dx = ϕ′(pp)dp. Интегрируя его, находим x(p). В резуль-

тате, получим общее решение уравнения (1.32) в параметрической форме

x = ∫ϕ′(pp)dp +C, y =ϕ(p).

Во втором случае получаем x =ψ(p), тогда dx =ψ′(p)dp и

dy = pψ (p)dp. Поэтому искомые интегральные кривые уравне-

′

ния (1.33)

будут определяться уравнениями:

y = ∫pψ′(p)dp +C,

x =ψ(p).

Пример. Решить уравнение

y′3 − 2y′− y = 0.

Перепишем уравнение в виде

= y

′3

′

Полагая y

′

= p, по-

− 2y .

лучим y = p3 − 2p. Тогда dy = (3 p2 −2)dp или

pdx = (3 p2 −2)dp

и dx =

(3 p2 −

2)dp

Интегрируя последнее уравнение, находим общий интеграл

исходного уравнения в параметрической форме

− 2ln p + C,

= p

− 2p.

Пример. Решить уравнение

x = arcsin y .

′

Полагая

′

= p, находим

x = arcsin p,

dx =

1 − p2

dy = pdx =

pdp

y = ∫

pdp

+ C.

= −

1 − p2

1 − p

1− p

Поэтому решение исходного уравнения запишется в форме

x = arcsin p,

y = − 1 − p2 + C.

Введение параметров позволяет эффективно решать и уравнения F(x,y,y′) = 0, явно содержащие все три переменные.

Рассмотрим часто встречающиеся уравнения Лагранжа и Клеро5. Уравнением Лагранжа называется уравнение, разрешëнное относительно искомой функции y и линейное относительно x и y,

вида

5 К л е р о Алексис Клод (07.05.1713 –17.05. 1765) – французский математик и астроном.

		28
		y = xϕ(y )+ψ (y ),			(1.34)
Вводя параметр p = y ,		′	′
Вводя параметр p = y ,		получаем соотношение y = xϕ(p)+ψ(p).
	′
Дифференцируя его с учетом равенства dy = pdx,				находим
		′	′
pdx =ϕ(p)dx + xϕ (p)dp +ψ (p)dp .
Следовательно,		dp			dp
′	′	dp	′	′	dp
p =ϕ(p)+[xϕ (p)+ψ	(p)]dx ,		p −ϕ(p) =[xϕ (p)+ψ (p)]dx ,

и в результате получаем линейное дифференциальное уравнение

относительно x и	dx	:
	dp		dx
			dx		′		′		(1.35)
При p −ϕ(p) ≠ 0	[p −ϕ(p)]dp			= xϕ		(p)+ψ (p).			(1.35)
При p −ϕ(p) ≠ 0	dx		ϕ′(p)				ψ′(p)
	dx	−	ϕ′(p)		x =		ψ′(p)	.	(1.36)
		−			x =		p −ϕ(p)	.	(1.36)
	dp p −ϕ(p)						p −ϕ(p)

Интегрируя уравнение (1.36), например, методом вариации произвольной постоянной, его общее решение можно записать в виде x = f (p,C).

В результате получаем общее решение уравнения Лагранжа (1.34) в параметрической форме

x = f (p,C),

y = xϕ(p)+ψ(p) = f (p,C)ϕ(p)+ψ (p).

Кроме того, существует так называемое особое решение

уравнения Лагранжа p = p0 = const			и	y = xϕ(p0 ) +ψ (p0 ).
Пример. Решить уравнение		′2		′
y = xy		′2		′				(1.37)
y = xy			− y .					(1.37)
′	y = xp			2	− p.
Вводим параметр p = y , тогда	y = xp				− p.
Дифференцируя последнее равенство по x, получим
dy = pdx = p2dx +2pxdp −dp,		dy = p = p				2 +2px dp	− dp	и
		dx				dx	dx
(p − p2 )dx			= 2px −1.
	dp

Интегрируя его методом вариации произвольной постоянной, найдëм

x = p − ln p + C .

(p −1)2

Поэтому общее решение уравнения ской форме запишется в виде

		p − ln p + C
x =			,
x =	2		,
		(p −1)
		p − ln p + C
y =		p − ln p + C		p	2	−
y =		2		p		−
		(p −1)

(1.37) в параметриче-

Уравнением Клеро называется уравнение, разрешëнное относительно искомой функции y и линейное относительно x и y вида

		y = xy	′	+ψ (y ).	(1.38)
Полагая	p = y , получим		′	′	Дифференцируя по x,
Полагая	p = y , получим	y = xp +ψ(p).			Дифференцируя по x,
	′
находим				′
				′
	dy = pdx = pdx + xdp +ψ (p)dp
и		′		dp	(1.39)
и	[x +ψ (p)]dx = 0.				(1.39)
Уравнение (1.39) распадается на два независимых уравнения:
1)		dp		= 0,
		dx

поэтому p = C. Тогда, исключая p, находим сразу (без интегри-

рования) общее решение уравнения Клеро в виде семейства прямых

	y = Cx +ψ (C),	(1.40)
зависящих от одного параметра.		(1.41)
2)	x +ψ (p) = 0.	(1.41)
	′

Во втором случае получаем, так называемое, особое решение уравнения Клеро

x = −ψ′(p),

y = xp +ψ(p),

так как можно показать, что интегральная кривая последнего уравнения является огибающей семейства прямых (1.40).

Пример. Решить уравнение y = xy′+ 1 + y′2 .

′

Это уравнение Клеро. Полагаем

тогда y = xp +

1+ p

p = y ,

dy = p + x dp +

p dp

Следовательно,

x +

1+ p

1 + p

откуда

находим

= 0,

поэтому

p = C и

y = Cx +

1 + C 2

x = −

. Общее решение в параметрической форме:

1 + p

x = −

1 + p

y = px +

= −

1 + p2

1 + p

Исключая из этой системы параметр p, находим y = 1 − x2 .

1.10. Приближëнные методы решения обыкновенных

дифференциальных уравнений первого порядка

Точное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка возможно лишь для весьма ограниченного класса уравнений. Если уравнение первого порядка и соответствующая задача Коши не имеют точного решения в форме общего и частного интегралов, то применяются различные приближëнные аналитические или численные методы решения.

Здесь ограничимся двумя методами: методом Пикара6 и методом Эйлера7.

1.10.1. Метод последовательных приближений (метод Пикара)

Этот метод появился в связи с доказательством теоремы существования и единственности решения дифференциальных уравнений и обладает большой общностью.

Рассмотрим задачу Коши для уравнения первого порядка


		y′ = f (x,y),				(1.42)
		y(x0 ) = y0,				(1.43)
правая часть которого f (x,y)			в замкнутой ограниченной прямо-
угольной области {	x − x0	≤ a,		y − y0	≤ b} непрерывна и имеет
угольной области {	x − x0	≤ a,		y − y0	≤ b} непрерывна и имеет

ограниченную частную производную по переменной y. При этих предположениях задача Коши имеет единственное решение.

Интегрируя обе части уравнения (1.42) от x0 до x, найдем

∫x dy =∫x f (x,y)dx,

	x0	x0
или	y(x) = y0 + ∫x		f (x,y)dx.	(1.44)

Полученное уравнение является интегральным уравнением, в котором неизвестная функция y находится под знаком интеграла.

Это уравнение эквивалентно исходному дифференциальному уравнению и удовлетворяет начальному условию. Действительно, при

x = x0 y(x0) = y0 + ∫x	f (x,y)dx = y0.
x0

6 П и к а р Шарль Эмиль (24.07.1856 – 11.12.1941) – французский математик.

7Э й л е р Леонард (15.04.1707 – 18.09.1783) – швейцарский математик, механик и физик (с 1727 г. по 1741г. и с 1766 г. до конца жизни жил и работал в России).

Решая интегральное уравнение (1.44) методом последовательных приближений, получим итерационный процесс Пикара.

За нулевое приближение принимаем начальное условие. Подставляя его в правую часть интегрального уравнения (1.44), получим первое приближение

y1 (x) = y0 + ∫x	f (x,y0 )dx.	(1.45)
x0
Далее в уравнении (1.45) заменяем y найденным значением
y1 и получаем второе приближение
y2 (x) = y0 + ∫x	f (x,y1 )dx.
x0
Приближение n – го порядка будет определяться формулой
yn (x) = y0 + ∫x	f (x,yn−1 )dx.

Таким образом, получается последовательность функций y1 (x), y2 (x),...,yn (x), для которой можно доказать, что при при-

нятых допущениях последовательность {y(x)} сходится к функции y(x),являющейся решением дифференциального уравнения и

удовлетворяющей начальному условию (1.43).

Оценка абсолютной погрешности метода Пикара определя-

ется по формуле

hn+1

y − y0

≤ N n M

где

(n +1)!

∂f (x,y)

N = max

M = max

f (x,y)

∂y

Величина h вычисляется по формуле

h = min a,

, где

a и b – границы прямоугольной области.

Пример. Решить методом Пикара дифференциальное уравнение

y′ = x2 + y2

(1.46)

с начальным условием

																				y(0) = 0.																				(1.47)
Заметим, что решение этого																				уравнения не выражается через эле-
ментарные функции.																												y = y0 + ∫x (x2 + y2)dx, с
Переходя к интегральному уравнению																												y = y0 + ∫x (x2 + y2)dx, с
																																			x0
учëтом начального условия получим																												y = ∫x (x2 + y2)dx.
																															0
			Поэтому последовательные приближения будут
y1 = ∫x (x2 + y02)dx =∫x (x2 +0)dx =																							1 x3 ,
				0								0											3
					x	2		2					x			2			x6							x3				x7
y	2		=		∫		1		)dx =			∫											=					+			,
y			=			(x + y			)dx =				x +						9		dx		=				3	+	63		,
				0									0						9								3		63
					x	2		2					x	2					x3					x7 2										x3			x7		2x11
y		3	=		∫	(x + y		2	)dx =				∫	x +								+						dx ==								+		+		+
y			=			(x + y			)dx =					x +						3		+	63					dx ==					3			+	63	+	2079	+
				0									0							3			63										3				63		2079

						x15		1		x	3			1			x	4		2				x	4				1			x	12
			+				=				1+								+								+							.
			+	59535			=	3			1+			21					+	693							+							.
				59535				3						21						693							19845
			Видно,				что при								x ≤1 эти приближения быстро сходятся и
позволяют получить решение с высокой точностью.
			Метод Пикара										обобщается на системы уравнений, но на

практике с ростом порядка системы реже удается точно вычислить интегралы, что ограничивает применение этого метода.

1.10.2. Метод Эйлера

Это простейший метод численного решения дифференциальных уравнений, позволяющий получить таблицу дискретных значений искомой функции для заданной последовательности аргументов. Из-за невысокой точности он очень редко применяется в современной практике вычислений, но идеи, положенные в его основу, явились исходными для построения и развития ряда других численных методов.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

y′ = f (x,y) с начальным условием				y(x0 ) = y0. Требуется решить
поставленную задачу Коши на промежутке [a, b].
	Разбивая отрезок [a, b] на n равных частей, получим после-
довательность			x0, x1 ,...,xn , где	xk		= x0 + kh		k = 0,1,...,n),
h =	b − a	- шаг интегрирования.
h =		- шаг интегрирования.
	n
	Интегрируя уравнение y′ = f (x,y)					на k–ом участке [xk , xk +1 ],
получим
		xk +1	xk +1		xk +1
			′
			′
		∫	f (x,y)dx = ∫y dx =y(x)		xk		= y(xk +1 ) − y(xk ),
		∫	f (x,y)dx = ∫y dx =y(x)		xk		= y(xk +1 ) − y(xk ),
		xk	xk
следовательно,			xk +1
			xk +1
			yk +1 = yk + ∫	f (x,y)dx.
			xk
	Если принять на отрезке [xk , xk +1 ]						подынтегральную функ-

цию f (x,y) постоянной и равной значению в начальной точке отрезка x = xk , то

xk∫+1 f (xk , yk )dx =f (xk , yk )(xk+1 − xk )= hf (xk , yk ).

xk
Тогда значение yk +1 можно записать в виде	yk+1 = yk + hf (xk , yk )
или
yk +1 = yk + hyk′.	(1.48)

Полученная рекуррентная формула (1.48) позволяет, зная начальное значение функции y(x0 ) = y0 в точке с абсциссой x0,

последовательно находить значения функции в точках x0, x1,

...,xn .

Геометрически равенство (1.48) означает, что интегральная кривая на отрезке [xk , xk +1 ] заменяется отрезком касательной к

этой кривой в начальной точке отрезка (xk , yk ].

Пример. Методом Эйлера проинтегрировать рассмотренную выше задачу Коши (1.46), (1.47) на отрезке 0 ≤ x ≤1.

Численные решения, полученные для различных значений шага h =1; 0,5; 0,25, приведены в таблице. В последнем столбце табли-

цы указано решение задачи методом Пикара.

xk		yk		Метод
				Пикара
	h =1	h = 0,5	h = 0,25	Пикара
				y(x)
0,00	0,000	0,000	0,000	0,000
0,25	-	-	0,000	0,005
0,50	-	0,000	0,016	0,042
0,75	-	-	0,078	0,143
1,00	0,000	0,125	0,220	0,350

Видно, что метод Эйлера для получения удовлетворительной точности требует существенно более малого шага, чем использованные. Действительно, численное интегрирование уравнения методом Эйлера [14] с шагом h = 0,10 даëт значение функ-

ции в конце интервала	интегрирования yk = 0,320, при шаге
h = 0,02 yk = 0,344, при	h = 0,01 yk = 0,347.

2. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ n – го ПОРЯДКА

Обыкновенное дифференциальное уравнение n – го порядка, как уже отмечалось, в общем случае записывается в виде

F(x, y, y′, y′′,..., y(n) )= 0.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением наиболее распространëнных уравнений n – го порядка, разрешëнных относ и- тельно старшей производной.

Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешëнное относительно старшей производной, имеет вид

y	(n)	′	′′	(n−1)	).	(2.1)
y		= f (x,y,y ,y	, ,y		).	(2.1)

Как известно, для получения единственного решения дифференциального уравнения первого порядка y′ = f (x, y) доста-

точно задать начальное значение функции y(x0) = y0. Для урав-

нений n-го порядка этого уже недостаточно. Убедимся в этом на простейшем примере уравнения второго порядка y′′ = 0. Его ре-

шение y = C1x +C2 (C1 и C2 - произвольные постоянные) пред-

ставляет собой семейство прямых линий, зависящее от двух параметров C1 и C2 . Зафиксируем один из них, например, C1 и бу-

дем менять C2 :C2(1),C2(2),...,C2(n). Тогда получим семейство парал-

лельных прямых, наклонëнных к оси x под углом, характеризуемым угловым коэффициентом C1 (рис. I.4).

Рис. I.4

Изменим теперь C1 и вновь будем менять C2 (рис.I.4). По-

лучим, очевидно, семейство параллельных прямых, наклонëнных к оси x под другим углом, характеризуемым угловым коэффици-

ентом C1 . Продолжая эту процедуру, убеждаемся в том, что через одну и ту же начальную точку (x0, y0) будет проходить множест-

во		прямых (а в общем случае уравнения второго порядка
y	′′	= f (x, y, y ) множество интегральных кривых), наклонëнных к
	′′	′

оси x под различными углами. Поэтому для получения единственного решения уравнения второго порядка y′′ = f (x, y, y′) не-

обходимо задать не только начальное значение функции, но и начальное значение еë первой производной, характеризующей угол наклона касательной к интегральной кривой, проходящей через начальную точку

y(x0) = y0, y′(x0) = y0′.

Введëм теперь понятие общего решения дифференциального уравнения n-го порядка:

общим решением уравнения n-го порядка называется непрерывно дифференцируемая n раз функция y(x,C1 ,C2, ,Cn ),

удовлетворяющая уравнению и содержащая n произвольных постоянных C1 ,C2, ,Cn , подходящим выбором которых можно

получить любое решение.

Решение, получаемое из общего при конкретных значениях произвольных постоянных C1 ,C2, ,Cn , называется частным

решением.

Конкретные значения произвольных постоянных могут быть найдены из n начальных или граничных условий, задаваемых, исходя из физических особенностей задачи. Соответственно этому различают начальную задачу (задачу Коши) или краевую (граничную) задачу.

Задача интегрирования дифференциального уравнения n-го порядка называется начальной задачей или задачей Коши, если значения искомой функции и её производных до (n-1)-го порядка включительно задаются при одном и том же начальном значении независимой переменной (при x = x0):

y(x0 ) = y0, y′(x0 ) = y0′,

y′′(x0 ) = y0′′,

…………………

y(n−1) (x0 ) = y0(n−1).

Задача интегрирования дифференциального уравнения n-го порядка называется краевой (или граничной) задачей, если значения искомой функции (а возможно её производных) задаются не в одной, а в двух точках, а именно на концах фиксирован-

ного интервала изменения независимой переменной x.

Например, для уравнения второго порядка y

′′

= f (x, y, y )

′

при 0≤ x ≤ l граничные

условия могут

иметь

различный вид:

y(0) = = y(l) = 0 или y(0) = 0,

y (l) = 0

и т.п.

′

Для задачи Коши справедлива теорема существования и

единственности решения:

′

′′

Если в уравнении y

(n)

(n−1)

разрешëнном

f (x,y,y ,y , ,y

относительно старшей производной,

правая часть

f (x, y, y , y ,

′ ′′

, y(n−1) ) и еë частные производные

∂f

,...,

∂f

непре-

∂y

∂y′

∂y′′

∂y(n−1)

рывны в некоторой области, содержащей значения

x = x0, y = y0,

y′ = y0′,..., y(n−1) = y0(n−1), то существует и притом единственное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

y(x0 ) = y0, y′(x0 ) = y0′, y′′(x0) = y0′′,…, y(n−1) (x0 ) = y0(n−1) .

В отличие от задачи Коши, решение которой существует и единственно, краевая задача может не иметь решения или решение может быть не единственным.

В качестве примера рассмотрим постановку задач о прямом поперечном изгибе различным образом закреплëнного упругого

стержня: консольно защемлëнного (см. рис.	I.5а) и шарнирно
опëртого на концах (рис. I.5б).
Независимо от условий опирания стержня дифференциаль-
ное уравнение изгиба имеет вид [20]
EIy′′ = M ,	(2.2)

где y(x), M (x) - соответственно прогиб и изгибающий момент в

произвольном поперечном сечении стержня с абсциссой x, EI - так называемая изгибная жесткость стержня (для стержня постоянного поперечного сечения EJ = const).

Рис. I.5

Как видно, уравнение изгиба стержня представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, следовательно, его общее решение должно содержать две произвольные постоянные. Поэтому для однозначного определения формы изогнутой оси стержня необходимо задание двух дополнительных условий.

Для консольно защемлëнного стержня в заделке равны нулю прогиб и угол поворота поперечного сечения, поэтому могут быть поставлены при x = 0 два начальных условия:

y(0) = 0, y (0) = 0.	(2.3)
′

Для шарнирно опëртого стержня равны нулю прогибы на обеих опорах. Следовательно, при x = 0 и при x = l естественно поставить два граничных условия:

y(0) = 0, y(l) = 0.

(2.4)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 196 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.09.20193.2 Mб2Диплом Н.Бакаевой.doc
#
05.06.2015344.58 Кб26диплом на 5.doc
#
19.09.2019364.03 Кб3ДИПЛОМ оконч.doc
#
31.07.20194.12 Mб62дипломная работа Алексея Симакова.docx
#
23.11.201928.11 Кб5Дискретная матетатика.docx
#
05.06.20152.19 Mб121диф 1.pdf
#
22.09.201986.53 Кб1ДМИТРИЕВ !.doc
#
27.03.2016342.37 Кб63Дневник по производственной практике(ПОО) для студентов 08.03.01, 08.05.01.pdf
#
27.09.201974.75 Кб1Дневник, отчет, отзыв.doc
#
27.03.201614.85 Кб23Добровольная сертификация продукции.docx
#
05.06.201526.63 Кб20док.docx