Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Дискретная матетатика.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
23.11.2019
Размер:
28.11 Кб
Скачать

Дискретная математика называется так потому что в ней нет понятия бесконечного множества, непрерывности, предельного перехода и т.д. В дискретной математике изучается свойства структур конечного характера в отличии от классической математики которая изучает не непрерывные бесконечные структуры.

Методы дискретной математики.

  1. Теория множеств и общая алгебра

  2. Теория автоматов и теория кодирования

  3. Математическая логика

  4. Общая теория графов

  5. Теория алгоритмов

  6. Комбинаторные вычисления

Математическая логика – анализ методом рассуждений. При этом в первую очередь исследуются формы рассуждений, а не их содержания. Основы логико-математической теории – высказывание.

Высказыванием называется повествовательное предложение о котором в данной ситуации можно сказать что оно истинно или ложно но не то не другое закономерно. Логика наука о рассуждениях которая позволяет определить истинность или ложность того или иного математического утверждения исходя из совокупности первичных предположений, называемых аксиомами. Высказывания бывают простые и сложные. Истинность сложного высказывания однозначно определяется истинностью или ложностью составляющих его частей. Если связка применяется к одному высказыванию то её называют унарной. Если связка применяется к двум высказываниям то она называется бинарной. Любое сложное высказывание содержащие связки представляет собой логическую функцию которую можно отразить таблицей истинности. Таблица истинности перечисляет все возможные комбинации истинности и ложности сложного высказывания.

Простейшие связки.

Высказывания обозначаются прописными буквами латинского алфавита x,y,z.

Составные высказывания получаются из простых с помощью логических операций.

Название

Прочтение

Обозначение

Отрицание

НЕ

-

Конъюнкция

И

/\

Дизъюнкция

ИЛИ

\/

Инпликация

ЕСЛИ…ТО

->

Эквивалентность

ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА КОГДА

<->

Отрицанием высказывания Х называется тогда когда высказывание Х’ которое истинно когда Х ложно и ложно когда Х истинно.

Конъюнкция двух высказываний Х и У называется высказывание которое истинно только в том случае если Х и У оба истинны

Дизъюнкцией двух высказываний истинно когда истинно хотя бы одно из высказываний .

Инпликацией двух высказываний Х и У называется высказывание которое ложно тогда и тогда когда Х истинно а У ложно.

Эквивалентностью высказываний Х и У называется высказывание которое истинно тогда и только тогда когда Х и У оба истинны или оба ложны.

Другие связки.

Название

Прочтение

Обозначение

Штрих Шефферы

Антиконъюнкция (НЕ И)

I

Стрелка Пирса

Антидезъюнкция

Стрелка вниз

Сумма(сигма) по модулю 2

Антиэквивалентность

+ в круге

0 0 1 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 1 1

1 0 1 0 0 1 1 0 1

1 1 0 1 1 0 1 1 0

Логические отношения.

Иногда необходимо рассмотреть взаимоотношения двух высказываний и наиболее интересные случае когда из одного высказывания логически следует другое.

Если из Х следует У то говорят что У является следствием Х или что У логически выводимо из Х. Если есть пара Х и У то отношение следствия можнго охарактеризовать следующим образом:

Из Х следует У, если У истинно каждый раз когда истинно Х, то есть если У истинно во всех логически возможных случаях в которых Х истинно.

Х

У

Х<->У

Х->У

Х\/У

0

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

Х

У

Х->Y

-X\/Y

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

Два высказывания называются логически не совместимыми если из истинности одного из них необходимо следует ложность другого другими словами несовместимость высказываний Х и У означает что они никогда не могут оказаться одновременно истинны.

X

Y

НЕ Х

НЕ У

X->Y импликация

Y->X конверсия инпликации

НЕ Х-> НЕ У конверсия контрпозиции

НЕ У -> НЕ Х Контр позиция

0

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

Х является достаточным условием для У.

Если имеет место Х то У также будет иметь место.

Х является не обходимым условием для У.

Если имеет место У то Х также будет иметь место.

Конверсия достаточного условия У стремится к Х

15.10.12

X

Y

Ne x

x-> y

Ne x->(x->y)

1

1

0

1

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

X

Y

Z

x\/z (1)

y\/z (2)

x/\y (3)

x/\z (4)

1/\2 (5)

3\/4

x/\5

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

F: 1 1 1 1 1 1 1 1

Для каждого из следующих высказываний:

  1. Найдите символическую форму

  2. Постройте таблицу истинности

Воспользуйтесь буквенными обозначениями х для «Джо умен»,

У для «джим глуп»

Z «джо получит приз»

  1. Если Джо умен, а джим глуп то джо получит приз

  2. Джо получит приз в том и только в том случае если он умен или если Джим глуп.

  3. Если Джим глуп а Джо не удасться получить приз, то Джо не умен.

Ответ:

  1. x/\y->z

  2. z<->x\/y

  3. y/\ne z->ne x

X

Y

Z

x/\y

F

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

X

Y

Z

Z<->x

F

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

  1. y/\ne z->ne x

y

Ne z

Ne x

y/\ne z

F

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

22.10.2012

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.