Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
диф 1.pdf
Скачиваний:
70
Добавлен:
05.06.2015
Размер:
2.19 Mб
Скачать

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ "МАМИ"

Кафедра “Прикладная и вычислительная математика” им. Э.И.Григолюка

Е.А.Коган

Одобрено методической комиссией по математическим

и естественно-научным дисциплинам

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ АВТОМОБИЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Допущено УМО вузов РФ по образованию в области транспортных машин и транспортно-технологических комплексов в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по специальности Автомобиле-и тракторостроение

Москва 2010

2

УДК 517.91 (095)

Р е ц е н з е н т ы:

Д-р физ.- мат. наук, проф. Е.Б.Кузнецов - Московский авиационный институт (Государственный технический университет);

д-р физ.- мат. наук, проф. Е.И.Шифрин - Институт проблем механики им. А.Ю.Ишлинского РАН.

Коган Е.А. Обыкновенные дифференциальные уравнения и вариационное исчисление в приложении к расчету автомобильных конструкций. Учебное пособие по дисциплине " Математика" для студентов, обучающихся по специальности Автомобиле- и тракторостроение. - М.: МГТУ

“МАМИ”, 2010. - 294 с.

Пособие предназначено для изучения разделов математики, посвящëнных обыкновенным дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению. Оно содержит теоретические сведения в объëме лекционного курса и подробно разобранные примеры решения типовых задач. Приведены также варианты расчëтно–графических работ и варианты тестовых задач и некоторые задачи по расчету механических колебаний и прочности автомобильных конструкций. Пособие может быть использовано студентами в качестве руководства для самостоятельной работы и преподавателями для проведения практических занятий. - Библ. 33.

© Московский государственный технический университет "МАМИ" 2010

3

ВВЕДЕНИЕ

Настоящее пособие посвящено двум важным и тесно связанным между собой разделам математики: обыкновенным дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению.

Первая часть, посвящëнная дифференциальным уравнениям, является безусловно центральным разделом в математической инженерной подготовке. Объясняется это тем, что дифференциальные уравнения представляют собой математические модели самых разнообразных процессов и явлений, так как их решения позволяют описать эволюцию изучаемого процесса, характер происходящих с материальной системой изменений в зависимости от первоначального состояния системы.

Вывод дифференциальных уравнений (или систем дифференциальных уравнений), описывающих то или иное явление, представляет собой отдельную самостоятельную задачу. Сложность еë состоит в том, что при выводе дифференциальных уравнений необходимо удовлетворить противоречивым требованиям. С одной стороны, построенная математическая модель должна быть адекватной рассматриваемому явлению. С другой стороны, получающиеся дифференциальные уравнения должны иметь по возможности простое решение. Это требует введения различных допущений физического характера, а следовательно, глубокого понимания сути рассматриваемого явления.

С выводом и применением дифференциальных уравнений (или их систем) к решению тех или иных прикладных задач студенты встречаются при изучении различных общеобразовательных и специальных курсов (физики, теоретической механики, сопротивления материалов, электротехники и др.). Предметом настоящего пособия в его первой части является изучение аналитических методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Вместе с тем, чтобы показать тесную связь теории дифференциальных уравнений с практикой, в пособие включены некоторые известные решения прикладных задач по изгибу и устойчивости стержней и круговых пластин и колебаниям механических систем.

Вторая часть пособия посвящена вариационному исчисле-

нию.

4

Исследование экстремумов функций является одним из наиболее интересных и важных для практических приложений разделов математического анализа. Но наряду с подобными задачами на практике часто возникает необходимость отыскания максимальных и минимальных значений математических выражений более общего вида – так называемых функционалов - величин, численное значение которых зависит от выбора одной или нескольких функций.

Вариационное исчисление и является разделом математики, посвящëнным исследованию методов отыскания экстремумов функционалов, зависящих от одной или нескольких функций, при разного рода ограничениях, налагаемых на эти функции.

Теоретические основы классического вариационного исчисления были заложены в XVIII веке в фундаментальных работах Л.Эйлера и Ж.Лагранжа, хотя большой интерес к различным экстремальным задачам возник ещë в глубокой древности. Истор и- чески первой задачей, известной задолго до нашей эры и отнесëнной впоследствии к так называемым изопериметрическим задачам вариационного исчисления, является “задача Дидоны” – задача отыскания замкнутой линии заданной длины, ограничивающей максимальную площадь [28].

К числу классических задач, оказавших большое влияние на развитие вариационного исчисления, относятся “задача о брахистохроне” (линии наискорейшего спуска) и “задача о геодезических кривых” - линиях наименьшей длины, соединяющих две заданные точки на некоторой поверхности.

В настоящее время вариационные методы очень широко применяются в механике и физике, при решении задач оптимального управления.

Решение классических вариационных задач сводится обычно к решению краевых задач для дифференциальных уравнений.

Пособие по замыслу автора имеет многоцелевое назначение. Оно объединяет в себе функции конспекта лекций и руководства к решению задач и содержит всю информацию, достаточную для получения в конечном итоге практических навыков решения задач по рассмотренным разделам математики.

Для этого в него включены теоретические сведения в объëме, обычно излагаемом на лекциях, многочисленные детально ра-

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.