128
Рис. I.19
Задача сводится к решению дифференциального уравнения
при граничных условиях: |
|
|
EIyIV |
= q |
|
|
|
|
|
|
(4.11) |
||
|
(0) = 0, |
y(l) = y |
|
(l) = 0. |
(4.12) |
||||||||
y(0) = y |
|
||||||||||||
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
′′ |
|
|||
Ограничиваясь двучленным приближением, будем искать |
|||||||||||||
решение уравнения в виде |
|
|
|
= a sin πx |
|
|
|
|
3πx |
|
|
||
y = a U |
|
+ a U |
|
+ a |
|
|
sin |
. |
(4.13) |
||||
1 |
2 |
2 |
|
||||||||||
1 |
|
2 |
1 |
l |
|
|
l |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Выбранные функции удовлетворяют всем перечисленным выше требованиям. Они линейно независимы, непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют граничным условиям (4.12).
Подставляя (4.13) в уравнение (4.11), получим невязку
r(x,a |
,a |
) = |
EIπ 4 |
|
|
sin |
πx |
+81 a |
|
sin |
3πx |
−q . (4.14) |
|
l4 |
a |
l |
|
l |
|
||||||||
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|||
Решение методом Бубнова
Из условия ортогональности невязки (4.14) к выбранным координатным функциям согласно (4.7) следует
l |
EIπ 4 |
|
πx |
+81a2 sin |
3πx |
|
πx |
dx = 0, |
||||||||
∫ |
l |
4 |
a1 sin |
l |
|
l |
|
−q sin |
l |
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
l |
EIπ 4 |
πx |
+81a2 sin |
3πx |
|
3πx |
dx = 0. |
|||||||||
∫ |
|
l |
4 |
a1 sin |
|
l |
|
l |
−q sin |
l |
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
После интегрирования получим систему
129
|
|
1 a1 − |
8ql5 |
|
|
|
= 0, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
π EI |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
81 |
|
|
2ql5 |
|
|
|
||||||
|
|
l a2 |
− |
|
= 0, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
3π |
5 |
EI |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
решая которую, находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4ql4 |
|
a = |
16ql |
4 |
, |
|
a |
2 |
|
= |
|
. |
||||
π |
5EI |
|
|
243π5EI |
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Подставляя a1 и a2 |
в искомое решение (4.13), получим при |
|||||||||||||
x = l / 2
ymax = y(l / 2) = 0,01301 ql4 .
EI
Точное значение максимального прогиба (с точностью до четырех значащих цифр) равно
ymax = y(l / 2) = 0,01302 |
ql4 |
. |
(4.15) |
|
EI |
||||
|
|
|
Как видим, ошибка, полученная при решении методом Бубнова в двучленном приближении, составляет сотые доли процента.
Решение методом наименьших квадратов
Решение по-прежнему отыскиваем в форме (4.13). Интегральная квадратичная ошибка согласно (4.8) будет равна
S(a1,a2,...,an ) = ∫b r2(x,a1, a2 , ,an )dx =
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
EIπ 4 |
|
|
|
|
πx |
+81 a2 sin |
3πx |
|
|
|
2 |
dx = |
|
|
|
||||||||||||
= ∫ |
l |
4 |
a1 sin |
|
l |
|
|
l |
|
−q |
|
|
|
|
||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
EIπ |
4 |
2 |
1 |
a |
2 |
|
|
812 |
a |
2 |
|
ql4 |
|
|
|
4 |
a |
|
|
108 |
a |
|
|
||||
= |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
2 |
− |
|
|
1 |
+ |
|
|
|
+ |
|
2 |
. |
|||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
l |
|
2 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
EIπ |
|
|
π |
1 |
|
π |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Вычисляя производные dS / da1, |
dS / da2 |
и приравнивая их |
||||||||||||||||||||||||||
нулю, получим систему
130
π a |
− |
4ql4 |
= 0, |
|
|
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
π |
4 |
EI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ql4 |
|
||
|
2 |
π a2 |
|
|
|
|
|||||
81 |
−108 |
|
|
|
= 0, |
||||||
π |
4 |
EI |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
решение которой даëт те же значения постоянных a1 и a2 , что и в методе Бубнова:
a |
= |
16ql4 |
, |
a |
|
= |
4ql4 |
. |
π5EI |
|
243π5EI |
||||||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
Поэтому результаты решения краевой задачи (4.11), (4.12) методами Бубнова и наименьших квадратов полностью совпадают.
Решение методом коллокаций
За точки коллокации выбираем точки x1 = l / 3 и x2 = l / 2.
Приравнивая нулю невязку (4.14) в точках коллокации, получим систему
|
|
|
|
|
|
|
ql4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
3 − |
|
|
|
= 0, |
||||||
a1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
π EI |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
a |
−81a |
2 |
− |
ql4 |
= 0. |
|||||||
|
4 |
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
π |
EI |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В результате находим |
2ql4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
− |
|
|
ql4 |
|
||||
a = |
|
, |
a |
|
= |
3 |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
3π 4 EI |
|
|
2 |
|
81 |
|
3 π 4 |
EI |
|
||||
По формуле (4.13) при x = l/2 |
с учётом найденных ко н- |
||||||||||||||
стант получим прогиб в среднем сечении балки |
|
|
|||||||||||||
y(l / 2) = 0,01183 ql4 .
EI
Сравнение с точным решением (4.15) показывает, что ошибка, полученная при использовании метода коллокаций, составляет примерно 9% .