|
|
|
|
|
|
|
|
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
b3 |
|
|
|
|
|
= b4 |
|
|
|
|
|
Ω2 = |
(b ω) |
|
|
, |
a |
0 |
, |
|
a = Ω2 |
(b −ω2) |
||||||
|
|
|
2 |
+(b −ω2)2 |
|
|
|
b |
|
|
1 |
2 |
|
|||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
a |
2 |
= b ωΩ2 |
, |
a = −(a |
0 |
+ a ), |
|
a |
4 |
= −(a ω + a α)β−1. |
||||||
|
|
1 |
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|||
График зависимости yк |
от времени показан на рис. I.13. |
|
||||||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0,1 |
|
0,2 |
|
|
|
|
|
0,3 |
|
|
0,4 |
t |
0,5 |
Рис. I.13. |
|
График колебаний центра масс колеса |
|
|||||||||||||
2.8. Задачи на собственные значения
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка
y′′+λy = 0 |
(2.90) |
|
c однородными граничными условиями |
|
|
y(0) = 0, |
y(l) = 0. |
(2.91) |
Здесь предполагается, что |
0≤ x ≤ L, |
λ −некоторый пара- |
метр, имеющий определëнный физический смысл.
Задача (2.90), (2.91) является однородной краевой задачей. Особенность еë в том, что она имеет нулевое ("тривиальное") решение y = 0, не представляющее физического интереса. Но
кроме того, имеются еще определëнные значения параметра λ, при которых задача имеет не равные тождественно нулю (нетривиальные) решения. Такие значения параметра λ называются
91
собственными значениями, а соответствующие им ненулевые решения y(x) называются собственными функциями. Сама же
задача отыскания собственных значений и собственных функций называется задачей на собственные значения или задачей Штурма-Лиувилля14.15. Эта задача представляет большой интерес для физики и для технических приложений. К ней, например, сводятся многие задачи устойчивости и колебаний упругих систем.
Покажем, прежде всего, что ненулевые решения задачи (2.90), (2.91) существуют при λ > 0. Доказательство от противного.
1) Пусть λ = 0. Тогда уравнение (2.90) примет вид y′′ = 0. Его общее решение, очевидно, будет y = C1x +C2. Определяя да-
лее произвольные постоянные из граничных условий (2.91), находим C1 = C2 = 0, y ≡ 0. Поэтому λ = 0 не является собствен-
ным значением.
2) Пусть λ < 0. Характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (2.90) k 2 +λ = 0, имеет действительные и различные корни: k1,2 = ±
−λ. Поэтому общее решение уравне-
ния (2.90) запишется в виде y = C1e
−λx +C2e−
−λx . Подставляя его
в граничные условия (2.91), получим систему однородных линейных алгебраических уравнений
C1 +C2 = 0,
e
−λxC1 +e−
−λxC2 = 0.
Определитель этой системы
1 e
1
−λx e−
−λx
≠ 0, следователь-
но, C1 = C2 = 0. Поэтому задача (2.90), (2.91) имеет только нулевое решение y ≡ 0.
14Ш т у р м Жак Шарль Франсуа (29.09.1803 – 18.12.1855) –
французский математик,
15Л и у в и л л ь Жозеф (24.03.1809 – 08.09.1882) – французский математик.
92
3) Пусть λ > 0. Тогда корни характеристического уравнения будут мнимыми: k1,2 = ±
−λ = ±
λi. Поэтому частные решения
будут y1 = cos |
|
x, y1 = sin |
|
x, и общее |
решение уравнения |
||||
λ |
λ |
||||||||
(2.90) запишется в виде |
|
|
|
||||||
|
|
y = C1 cos |
|
x +C2 sin |
|
x. |
(2.92) |
||
|
|
λ |
λ |
||||||
Из первого граничного условия (при x = 0) получаем C1 = 0, а из второго граничного условия (при x = l) следует C2 sin 
λl = 0.
Если C2 = 0, то опять получим нулевое решение y = 0. По-
этому, чтобы существовало нетривиальное решение задачи, необходимо принять
sin 
λl = 0.
Из этого тригонометрического уравнения следует 
λl = nπ, где n – произвольное целое число. Поэтому собственные значения параметра для задачи (2.90), (2.91) будут
λ |
|
nπ |
2 |
(2.93) |
||
n |
= |
l |
|
(n = ±1,±2,...) |
||
|
|
|
|
|
||
(так как собственные значения будут различными для разных n, то им приписывается соответствующий индекс).
Соответствующие им собственные функции с точностью до
постоянного множителя C2 определяются по формуле |
|
||
y = sin |
nπx |
. |
(2.94) |
|
|||
|
l |
|
|
Рассмотрим в качестве примера классическую задачу об устойчивости прямолинейного упругого шарнирноëртопго стержня длиной l , нагруженного осевой сжимающей силой P, линия действия которой совпадает с продольной осью стержня. Постановка и решение этой задачи впервые были даны Л.Эйлером в 1765 году.
Пока сжимающая нагрузка мала, стержень сохраняет прямолинейную форму равновесия. Если увеличивать нагрузку, то при некотором значении сжимающей силы прямолинейная форма равновесия перестаëт быть устойчивой, и возникает близкая к ней искривлëнная форма равновесия (см. рис. I.14).
93
Уравнение равновесия отсечëнной части стержня длиной x может быть записано в виде [20]:
EIy′′+ Py = 0, |
(2.95) |
где y(x) - прогиб стержня, y′′(x)- приближëнное выражение для
кривизны изогнутой оси стержня, EI - изгибная жесткость стержня, Py - изгибающий момент в произвольном сечении стержня.
Полагая
λ = |
P |
, |
(2.96) |
|
EI |
||||
|
|
|
Рис. I.14
приведëм уравнение (2.95) к виду (2.90): y′′+λy = 0.
Так как прогибы на концах шарнирно опëртого стержня равны нулю, то граничные условия запишутся в виде (2.91): y(0) = 0,
y(l) = 0.
Поэтому с математической точки зрения задача об устойчивости упругого шарнирно опëртого стержня сведена к рассмотренной выше задаче на собственные значения (2.90), (2.91).
Тривиальное решение этой задачи (y ≡ 0) соответствует ис-
ходной прямолинейной форме равновесия. Нетривиальное решение, соответствующее искривлëнно й форме равновесия, существует при собственных значениях параметра λ, определяемых со-
гласно (2.93).
Приравнивая выражения (2.93) и (2.96), получим