108

Задача с начальными условиями (задача Коши) для системы (3.1) формулируется так: требуется найти решение системы, удовлетворяющее при одном и том же начальном значении независимой переменной x = x0 n начальным условиям

Рассмотрим различные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений.

3.1. Метод исключения неизвестных

Этот метод является достаточно общим, пригодным для систем дифференциальных уравнений различного типа и основан на том, что нормальная система n дифференциальных уравнений относительно n неизвестных функций y1 (x), y2 (x), , yn (x) мо-

жет быть сведена к одному дифференциальному уравнению n-го порядка относительно одной неизвестной функции.

Убедимся в этом на примере системы двух уравнений относительно двух неизвестных функций y1 (x), y2(x):

Дифференцируя первое уравнение системы по x, получим

получим уравнение второго порядка относительно одной неизвестной функции y1 :

получаем неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно одной неизвестной функции y1 :

y1′′= −4 y1′ − 2y1 − y1′ − 4 y1 + x + 3x +1 = −5y1′ − 6y1 + 4x +1

или

y1′′+ 5y1′ + 6y1 = 4x +1.

=2C1 e−2x + C2 e−3x + 53x − 89.

Врезультате общее решение системы запишется в виде

y1 = C1 e−2x + C2 e−3x + 23x −187 ,

110

1) Дифференцируем первое уравнение (3.7) по x:

y1′′= 3y1′ − y2′ + y3′.

2) Заменяем в полученном уравнении первые производные их выражениями из системы (3.7):

y1′′= 3(3y1 − y2 + y3 )−(5y2 − y1 − y3 )+ y1 − y2 +3y3 =11y1 −9y2 +7y3.

(3.8)

=49y1 −63y2 + 41y3.

5)Из первого уравнения системы (3.7) и из уравнения (3.8) нахо-

дим y2 и y3. Для этого перепишем их в виде

6) Исключаем теперь y2 и y3 из уравнения (3.10), подставляя в него равенства (3.11):

111

Итак, задача сведена к решению линейного однородного уравнения 3-го порядка с постоянными коэффициентами относительно одной неизвестной функции y1 :

3.2. Метод Эйлера

Рассмотрим решение однородной системы методом, аналогичным тому, который применялся для построения фундаментальной системы решений линейных однородных дифференциальных уравнений n-го порядка (методом Эйлера).

Пусть дана нормальная система однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

(3.14) в ( 3.13), сокращая на ek x , после элементарных преобразований получим

112

Как известно, чтобы система линейных однородных алгебраических уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы еë определитель был равен нулю:

Раскрывая этот определитель, получим алгебраическое уравнение n-ой степени относительно k. Уравнение (3.16) назы-

вается характеристическим или вековым19 уравнением, а его корни – корнями характеристического уравнения или собственными значениями. Если все корни ki (i=1,2,...,n) этого уравне-

ния действительные и различные числа (ограничимся только этим случаем), то последовательно подставляя их в систему (3.15), найдем соответствующие этим корням неизвестные числа α1i , α2i , ,αn i (здесь второй индекс i = 1,2, ..., n соответствует

номеру корня), а затем из (3.14) - n частных решений системы дифференциальных уравнений в виде

При этом первый индекс указывает номер неизвестной функции, а второй - номер корня. Полученные таким образом n частных решений линейной однородной системы

19 Такое название связано с тем, что к аналогичным уравнениям в астрономии приводилась задача определения периодов так называемых вековых неравенств (отклонений движения планет от эллиптического, имеющих периоды, исчисляемые веками).