Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный машиностроительный университет "МАМИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

диф 1.pdf

Скачиваний:

121

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

2.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 195 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Пример. Решить уравнение y

′

x + y + 2

x +1

В этом уравнении a1

= b1

=1,

= 2,

=1, b2

= 0, c2 =1.

Поэтому δ =

≠ 0.

Полагая

x = u +α,

y = v + β, находим

α и β из системы уравнений:

α + β + 2 = 0,

+1 =

Следовательно,

α = −1,

β = −1,

и формулы перехода от старых

переменных к новым и обратно примут вид:

x = u −1,

y = v −1,

u = x +1,

v = y +1.

В результате уравнение приводится к однородному

= u −1 + v −1 + 2 = u + v =1 + v .

u −1 +1

′

приходим к

Полагая далее t = v / u,

v = tu, v

= t u + t,

′

уравнению с разделяющимися переменными относительно функции t:

′

t = lnu + lnC = lnCu.

t u + t =1 + t,

u =1,

d t =

Возвращаясь к старой переменной, получим

v = ln Cu,

y +1

= ln C(x +1),

x +1

y = (x +1)ln C(x +1)−1.

Пример. Решить уравнение

y′ =

x + 2y +1

2x + 4 y +3

= 0.

Для данного

уравнения

δ =

Поэтому полагаем

u = x + 2y, тогда

′

u′−1

Исходное уравнение

=1+ 2y ,

примет вид

u′−1

u +1

du =

4u +5

. Разделяя перемен-

2u +3

ные, получим 2u +3 du = dx. Интегрирование этого уравнения да-

4u +5

ет	1	[4u +5+ln(4u +5)]= x +C. Возвращаясь к старой перемен-
	8

ной, находим общий интеграл исходного уравнения в виде

8y −4x +ln(4x +8y +5)= C.

1.6.Линейные дифференциальные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

y′+ P(x) y = Q(x),

(1.12)

содержащее искомую функцию и ëепроизводную в первой ст е- пени. Функции P(x) и Q(x) предполагаются непрерывными.

Если правая часть уравнения Q(x) = 0, то уравнение (1.12)

называется линейным однородным уравнением, в противном случае - линейным неоднородным.

Рассмотрим интегрирование этого уравнения методом ва-

риации произвольной постоянной (методом Лагранжа2). В

соответствии с этим методом сначала ищется решение соответствующего линейного однородного уравнения: y′ + P(x)y = 0.

Разделяя в нëм переменные, получим его общее решение в виде

dy	= −P(x)y,	dy	= −P(x)dx, ln y = −∫P(x)dx +ln C,
dx		y
			y = C e−∫P(x)dx .	(1.13)

Далее ищется общее решение исходного уравнения с ненулевой правой частью в той же форме по структуре, что и получившееся общее решение однородного уравнения (1.13), но произвольная постоянная C в (1.13) заменяется неизвестной функ-

цией C(x) или v(x):
y = v(x) e−∫P(x)dx .	(1.14)

2Л а г р а н ж Жозеф Луи (25.01.1736 – 10.04.1813) – французский математик и механик.

Тогда

′

−∫P(x)dx

−v(x)e

−∫P(x)dx

P(x). Подставляя y и

′

= v (x)e

в уравнение (1.12), получим

′

−∫P(x)dx

−v(x)e

−∫P(x)dx

P(x)+ P(x)v(x)e

−∫P(x)dx

= Q(x),

v (x)e

из которого после упрощения следует дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно функции v(x):

v′(x)e−∫P(x)dx = Q(x).

Интегрируя его, находим неизвестную (варьируемую) функцию v(x) = ∫Q(x)e∫P(x)dx dx +C.

В результате, после подстановки v(x) в (1.14) общее реше-

ние линейного дифференциального уравнения первого порядка (1.12) может быть представлено в виде

y = e	−∫P(x)dx	∫P(x)dx	dx +C		(1.15)
y = e	∫Q(x)e		dx +C	.	(1.15)

Пример. Решить задачу Коши для уравнения					y′ − 4 y = x

при начальном условии y(0)=1.

Находим сначала общее решение линейного однородного уравнения y′ − 4 y = 0. Оно имеет вид

y = C e−∫P(x)dx = C e−∫−4dx = C e4 x .

Заменяем произвольную постоянную C в этом

решении неиз-

вестной функцией v(x):

y = v(x)e4 x .

Вычисляем производную

′

4 x

4v(x)e

4 x

Подставляя y

= v (x)e

и y′ в исходное уравнение, получим

′

4 x

+ 4v(x)e

4 x

− 4v(x)e

4 x

= x,

′

4 x

= x,

v (x)e

′

−4 x

v(x) =

∫xe

−4 x

dx + C = −

−4 x

v (x) = xe

Общее решение уравнения примет вид

y =ν(x) e

4 x

−4 x

4 x

= Ce

4 x

= −

x +

+ C e

+1 + C.

−x +41/ 4.

Находим произвольную постоянную C из начального усло-

вия:

при x = 0	C −		1	=1,	C =	17.
		16
						16

Следовательно, решение задачи Коши будет y = 161 [17e4 x − (4x +1)].

Решение линейного дифференциального уравнения (1.12) может быть также получено, если искомую функцию представить в виде произведения двух произвольных функций (метод Бернулли3):

Тогда		y = u (x) v(x).				(1.16)
		y	′	=u v +v u.		(1.17)
				′	′
Подставляя (1.16) и (1.17) в (1.12), получим						(1.18)
[u	′	+ P(x)u]v +v u = Q(x).
					′
Функцию u(x) подбираем так, чтобы она была одним из ре-
шений уравнения		u′ + P(x)u = 0.

После разделения переменных получим
		u = e−∫P(x)dx .				(1.19)
Тогда уравнение (1.18) примет вид

v′e−∫P(x)dx = Q(x).

Следовательно,

dv = Q(x) e∫P(x)dx dx.

Интегрируя это уравнение с разделëнными переменными, находим функцию v:

v = ∫Q(x) e∫P(x)dx dx +C .

(1.20)

3 Б е р н у л л и Якоб I (27.12.1654 – 16.08.1705) – швейцарский математик и механик.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 195 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.09.20193.2 Mб2Диплом Н.Бакаевой.doc
#
05.06.2015344.58 Кб26диплом на 5.doc
#
19.09.2019364.03 Кб3ДИПЛОМ оконч.doc
#
31.07.20194.12 Mб61дипломная работа Алексея Симакова.docx
#
23.11.201928.11 Кб5Дискретная матетатика.docx
#
05.06.20152.19 Mб121диф 1.pdf
#
22.09.201986.53 Кб1ДМИТРИЕВ !.doc
#
27.03.2016342.37 Кб63Дневник по производственной практике(ПОО) для студентов 08.03.01, 08.05.01.pdf
#
27.09.201974.75 Кб1Дневник, отчет, отзыв.doc
#
27.03.201614.85 Кб22Добровольная сертификация продукции.docx
#
05.06.201526.63 Кб20док.docx

В результате уравнение приводится к однородному

Возвращаясь к старой переменной, получим

Общее решение уравнения примет вид

После разделения переменных получим

Тогда уравнение (1.18) примет вид

Следовательно,