75

пишется в виде

y = (−0,2x +0,13)cos 2x +(0,1x +0,16)sin 2x.

Складывая его с общим решением однородного уравнения, окончательно получим общее решение исходного уравнения

y= C1 +C2e−x + (−0,2x +0,13)cos 2x +(0,1x +0,16)sin 2x.

2.4.2.Метод вариации произвольных постоянных

Если известно общее решение однородного линейного дифференциального уравнения, соответствующего заданному неоднородному, то его частное решение может быть найдено методом вариации произвольных постоянных (методом Лагранжа).

Рассмотрим его реализацию для линейных дифференциальных уравнений второго порядка:

Сначала находим общее решение соответствующего линейного однородного уравнения L(y) = 0 в виде

независимые решения однородного уравнения.

Далее ищем решение неоднородного уравнения (2.59), аналогичное по структуре (2.60), но произвольные постоянные в (2.60) заменяем неизвестными функциями, а именно принимаем

Тогда y′ = C1′(x)y1 +C1 (x)y1′ +C2′(x)y2 +C2(x)y2′.

76

Так как функции C1 (x) и C2(x) произвольны, то можно принять,

Подставляя теперь значения производных в уравнение (2.59), получим

C1′(x)y1′ +C2′(x)y2′ = f (x).

Таким образом, чтобы выражение (2.61) было решением неоднородного уравнения (2.59), неизвестные функции C1 (x) и

C2(x) должны удовлетворять следующей системе дифференциальных уравнений

(2.65), рассматриваемая как система линейных алгебраических уравнений относительно С1′(x), С2′(x), имеет решение и притом

единственное. Применяя формулы Крамера11, его можно предста-

11 К р а м е р Габриэль (31.07.1704 – 04.01.1752) – швейцарский математик.

77

вить в виде

Интегрируя дифференциальные уравнения первого порядка (2.66), находим

Последние два слагаемых в правой части формулы (2.67) определяют частное решение неоднородного уравнения (2.59).

Таким образом, если известна фундаментальная система решений соответствующего линейного однородного уравнения y1 , y2, то общее решение неоднородного уравнения может быть

найдено с помощью квадратур (то есть неопредёленных интегралов от этих решений).

Замечание. Метод вариации произвольных постоянных является общим методом, пригодным для построения решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений (как с переменными, так и с постоянными коэффициентами) при произвольной непрерывной правой части. Но он является принципиально более сложным, чем метод подбора, так как его реализация связана с интегрированием дифференциальных уравнений первого порядка. Поэтому для линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и с правыми частями специального вида, указанными в таблице 2, проще применять метод подбора частного решения.

Пример. Решить уравнение

1). Находим общее решение соответствующего однородного уравнения

78

y′′+ 4 y′+ 4 y = 0.

Составляем характеристическое уравнение k 2 + 4k + 4 = 0.

y0 = C1e−2x +C2xe−2x .

2). Так как правая часть неоднородного уравнения (2.69) не относится ни к одному из рассмотренных в таблице 2 случаев, то частное решение находим методом вариации произвольных постоянных. Принимаем

где C1 (x) и C2 (x) - неизвестные (варьируемые) функции. Тогда

их производные C1′ (x) и C2′(x) могут быть найдены из решения системы (2.65):

Подставляя (2.72) в (2.70), получим общее решение уравнения в виде

y = e−2x [C1 + C2x + x(lnx −1)].

79

2.5.Вынужденные колебания линейной системы

содной степенью свободы без учета сил сопротивления

Клинейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами сводятся многие задачи о механических и электрических колебаниях.

1) В качестве первого практического примера применения изложенной теории рассмотрим задачу о вынужденных колебаниях линейной системы с одной степенью свободы без учета сил сопротивления. Такой системой моделируются вертикальные перемещения груза массой m на пружине (см. рис. I.8). Массой пружины по сравнению с массой груза пренебрегается.

Если сообщить грузу некоторую начальную скорость и начальное отклонение, то под действием восстанавливающей силы упругости пружины система будет совершать колебания относительно положения статического равновесия, называемые собст-

венными или свободными колебаниями.

Рис. I.8

Удлинение пружины при действии статически приложенного груза W = mg равно

где k - коэффициент жëсткости пружины (груз, вызывающий ëе удлинение, равное единице) [16].

Если y - вертикальное перемещение колеблющегося груза

относительно положения статического равновесия (оно считается положительным, если направлено вниз), то уравнение движения

80

груза при его свободных колебаниях согласно второму закону Ньютона запишется в виде

колебаний системы.

Пусть кроме силы веса и силы натяжения пружины на груз действует периодическая возмущающая сила P(t) = F sin ωt , вы-

зывающая вынужденные колебания системы (F – амплитуда, ω - частота вынужденных колебаний),

Тогда дифференциальное уравнение движения груза запишется в виде

md 2 y = mg −k(y +δст )+ F sin ωt dt2

или

m d 2 y + ky = F sin ωt. dt2

Полагая q = mF , получим окончательно уравнение вынуж-

денных колебаний одномассовой системы в виде линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка:

81

Полагая C1 = Asinϕ, C2 = Acosϕ, можно представить решение (2.76) в виде

y0 = Asin(pt +ϕ).

Это решение описывает собственные колебания массы m относительно положения статического равновесия. Как видно, колебания являются незатухающими и происходят по синусои-

дальному закону с амплитудой A, периодом τ = 2pπ = 2π mk и на-

чальной фазой ϕ. При этом величина, обратная периоду - так на-

зываемая техническая частота колебаний (число колебаний в секунду), равна

ν=τ1 = 2pπ

иизмеряется в герцах. Тогда число колебаний в 1 мин. будет рав-

но

где fст - в см. Этой формулой пользуются в расчëтах в тех случа-

ях, когда система может быть сведена к системе с одной степенью свободы.

Частное решение уравнения (2.75) ищем методом подбора в

виде

y = B cosωt +C sin ωt.

Находя неопределëнные коэффициенты B и C, получим

и окончательно, общее решение уравнения колебаний запишется в виде

Последнее слагаемое описывает так называемый установив-

82

шийся режим вынужденных колебаний системы с частотой ω.

вает максимальная возмущающая сила, если она приложена ста-

ность действия этой силы. Абсолютная величина этого множите-

ля называется коэффициентом динамичности.

Как видно из полученного решения, когда отношение ω / p →1, коэффициент динамичности и амплитуда колебаний

неограниченно возрастают. Это явление совпадения частоты возмущающей силы с частотой собственных колебаний системы на-

зывается резонансом.

2) Вынужденные колебания упруго подвешенного груза могут быть вызваны также другим способом, например, если верхнему концу пружины задать в вертикальном направлении простое гармоническое движение (см. рис. I.8)

Решение этой задачи дано С.П.Тимошенко12 [16].

Тогда удлинение пружины в произвольный момент времени будет равно y +δст − y1, а соответствующая сила упругости пру-

жины: mg + k(y − y1 ) (перемещение груза y при этом в любой

момент времени отсчитывается от положения равновесия, в котором y1 = 0). Поэтому уравнение движения подвешенного на пру-

жине груза запишется в виде

12Т и м о ш е н к о Степан Прокофьевич (22.12.1878 –29.05.1972)

–российский ученый и инженер в области механики деформируемого твердого тела.

83

Уравнение (2.82) совпадает с уравнением (2.75) при F = Ck. Следовательно, заданное гармоническое перемещение верхнего конца пружины C sin ωt можно рассматривать как эквивалентное

приложению возмущающей силы Ck sin ωt. Поэтому установив-

шийся режим вынужденных колебаний при перемещении верхнего конца пружины по принятому гармоническому закону будет описываться равенством, аналогичным равенству (2.79):

Используя решение задачи 2), легко получить решение следующей задачи [16]:

3) Пусть колесо катится с постоянной горизонтальной скоростью V =18 м/ с по неровной дороге, профиль которой задан

Найти амплитуду вынужденных вертикальных колебаний груза W = mg , связанного пружиной с осью колеса, если статическое

удлинение пружины под действием груза составляет δст = 9,8см.

84

Рис. I.9

Центр O катящегося колеса совершает вертикальные колебания ввиду неровности профиля дороги.

Пусть в начальный момент времени t = 0 точка касания колеса с дорогой находится в начале координат y = 0. Тогда, учи-

тывая, что y =Vt , получим для вертикальных колебаний этой точки равенство y = C sin πVtl . Поэтому вынужденные колебания груза можно определить из равенства (2.83) после подстановки в него значений p2 =100 сек1 2 , C = 2,5см,

ω= πlV =180090π = 20π сек1 ..

Врезультате амплитуда вынужденных колебаний колеса

будет равна (в этих вычислениях масса колеса не учитывается)

Как видно, при заданной скорости движения вертикальные колебания колеса лишь в очень малой степени передаются грузу.

При уменьшении скорости V , в конце концов, при πlV = p можно

85

придти к резонансу; при этом будут очень сильные колебания груза.

2.6.Вынужденные колебания линейной системы

содной степенью свободы с учетом сил сопротивления

Если колеблющееся тело при движении испытывает сопротивление, пропорциональное скорости (это простейший случай так называемого вязкого трения, при котором сила трения

R = c dydt ), и кроме того, на него действует возмущающая сила

F sin ωt , то уравнение вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы записывается в виде [16]

В (2.85) c–постоянная, равная величине демпфирующей силы при скорости, равной единице.

Однородное уравнение, соответствующее уравнению (2.85), описывает малые свободные колебания с учетом вязкого трения.

Характеристическое уравнение λ2 + 2nλ + p2 = 0 имеет кор-

корня действительны и отрицательны. Общее решение однородного уравнения запишется в виде

y0 = C1eλ1t +C2eλ2t = C1e(−n+n2−p2 ) t +C2e(−n−n2−p2 ) t =

=e−nt (C1en2−p2 t +C2e−n2−p2 t ).

Сростом времени t отклонение y0 → 0, то есть система

асимптотически приближается к исходному невозмущëнному равновесному состоянию. Движение при этом не будет колебательным, а носит так называемый апериодический характер, хотя может реализовываться по – разному (см. рис. I.10).

86

Рис. I.10

2) Если n < p (случай малого сопротивления), то корни характеристического уравнения будут комплексно сопряжëнными:

Множитель e−nt убывает со временем, поэтому при малом трении происходят собственные колебания с амплитудой, убывающей со временем, так называемые затухающие колебания (см.

рис. I.11).

Частное решение неоднородного уравнения (2.84) находим методом подбора. Принимаем

Рис. I.11

87

Поэтому общее решение уравнения вынужденных колебаний линейной системы при гармоническом возмущении с учетом (2.87), (2.89) запишется в виде

y= y0 + y = e−nt (C1 cos rt +C2 sin rt)+ M sin ωt + N cosωt.

2.7.Колебания независимой подвески13

Построить график вертикального смещения оси колеса легкового автомобиля массой mк = 30 кг, если для его крепления ис-

пользуется независимая рычажная подвеска со следующими характеристиками: коэффициент демпфирования амортизатора

k = 3 103 н сек/ м; жесткость пружины c =1,7 105 н/ м. Пред-

полагается, что внешняя сила, действующая на колесо, изменяются по закону:

P(t) = P0 + Pc cosωt, где P0 =850кг, Pс = 58кг, ω = 33 гц.

При этом P0 - постоянная (статическая) составляющая силы (реакция от дороги), а Pc cosωt - зависящая от времени динамиче-

ская составляющая нагрузки (обусловленная неровностями дороги).

В расчетах не учитывать упругость шины и инерционные характеристики подвески колеса.

Схематично независимая подвеска колеса показана на рис.I.12.

13 Общая задача о вертикальных колебаниях автомобиля и его агрегатов подробно рассмотрена Е.А.Лопаницыным (см. “Избранные проблемы прикладной механики и математики”. Сб. научных работ кафедры “Прикладная и вычислительная математика”, посвященный 80-летию чл.-корр. РАН Э.И.Григолюка. М.: МГТУ

“МАМИ”, 2003. 320 с.).

88

Пренебрегая вращательными движениями колеса вокруг оси подвески, будем учитывать только вертикальные перемещения колеса yк = yп . Массу подвески отнесëм к массе колеса.

Подвеска (рессора) моделируется линейно – упругим элементом (пружиной) жесткостью c, а амортизатор – демпфером с коэффициентом демпфирования k. Поэтому сила, действующая на колесо со стороны подвески, складывается из силы, пропор-

Рис. I.12

циональной перемещению (это сила упругости пружины cyп ) и

силы, пропорциональной скорости (силы демпфирования амортизатора: kdyп / dt). Следовательно, суммарное усилие, передаю-

щееся от подвески на колесо, будет равно

Fп = cyп + k dydtп .

Дифференциальное уравнение движения колеса под действием сил, действующих со стороны подвески и шины (см. рис. ), запишется в виде

mк d 2 yк = P(t)− Fп −mк g. dt2

Если масса колеса измеряется в кг, перемещение – в см, а силы P(t) и Fп - в кг, то уравнение приводится к виду