55
y = −C2 |
y |
2 |
− C3 |
y |
3 |
−...− Cn |
y |
. |
|
1 |
C1 |
|
C1 |
|
C1 |
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
В частности, если система двух функций линейно зависима на (a,b), то они пропорциональны друг другу (то есть их отно-
шение есть величина постоянная).
Действительно, из равенства C1 y1 +C2 y2 = 0 следует, что
y2 = − C1 y1 = ky1, где k = const - коэффициент пропорционально-
C2
сти.
Критерием, позволяющим судить о том, будет ли система функций линейно зависимой или линейно независимой, является величина определителя Вронского9.
Определителем Вронского или вронскианом называется функциональный определитель вида:
|
y1 |
y2 ... |
yn |
|
|
|
|
|
|
||||
|
y1′ |
y2′ ... |
yn′ |
|
|
|
W = |
y1′′ |
y2′′ ... |
yn′′ |
|
. |
(2.44) |
|
.................................... |
|
|
|
||
|
y(n−1) |
y(n−1)... |
y(n−1) |
|
|
|
|
1 |
2 |
n |
|
|
|
Справедлива следующая теорема: Если функцииy1 (x), y2(x),
..., yn (x) линейно зависимы на интервале (a,b) и имеют непре-
рывные производные до (n −1)- го порядка, то W ≡ 0 на |
(a,b). |
||
Действительно, |
по определению линейно |
зависимой |
системы |
n |
|
|
|
функций ∑Ci |
yi = C1 y1 +C2 y2 +...+Cn yn = 0 |
при том, что не все |
|
i=1
Ci равны нулю. Дифференцируя это тождество n −1 раз, получим совместно с последним равенством систему n соотношений
n
∑Ci yi′ = C1 y1′ +C2 y2′ +...+Cn yn′ = 0,
i=1
………………………………………………..
9 В р о н с к и й Ю. Гене (1776 – 1853) – польский математик.
56
n
∑Ci yi(n−1) = C1 y1(n−1) +C2 y2(n−1) +...+Cn yn(n−1) = 0, i=1
которую можно рассматривать как систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно C1, C2, ,Cn ,
имеющую ненулевое решение. Но, как известно, определитель такой системы
|
y1 |
y2 ... |
yn |
|
|
|
|
|
|||
|
y1′ |
y2′ ... |
yn′ |
|
|
|
y1′′ |
y2′′ ... |
yn′′ |
|
|
|
....................................... |
|
|||
|
y(n−1) |
y(n−1)... |
y(n−1) |
|
|
|
1 |
2 |
n |
|
|
должен быть равен нулю, то есть W ≡ 0 на |
|
(a,b). |
|||
Следствие из этой теоремы: Если определитель Вронского |
|||||
W ≠ 0 хотя бы в одной точке x (a,b), |
то система функций |
||||
y1 (x),..., yn (x) линейно независима на |
(a,b). |
||||
В частности, если y1 , y2, , yn - частные линейно независи-
мые решения линейного однородного дифференциального уравнения Ln (y) = 0, то составленный из них определитель Вронского
W ≠ 0.
Рассмотрим важные для дальнейшего примеры линейно независимых функций.
1. Система экспоненциальных функций ek1x ,ek2x ,...,ekn x с различными показателями степени ki - различные числа).
Для неë определитель Вронского
|
ek1x |
ek2x |
ekn x |
||||
|
|||||||
|
k ek1x |
k |
2 |
ek2x ......... |
k |
n |
ekn x |
|
1 |
|
|
|
|
||
W = |
k 2ek1x |
k 2ek2x ........ |
k 2ekn x |
||||
|
1 |
|
2 |
|
n |
|
|
|
........................................... |
||||||
|
k n−1ek1x |
k n−1ek2x ..... k n−1ekn x |
|||||
|
1 |
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|||||
= e(k1+k2+ +kn )x |
|
k1 |
k2........ |
kn |
|
|
|
k 2 |
k 2........ |
k 2 |
|
. |
|
|
|
1 |
2 |
n |
|
|
|
|
.......................... |
|
|
||
|
|
k n−1 |
k n−1....k n−1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
n |
|
|
(2.45)
57
Множитель e(k1+k2+...+kn )x ≠ 0, а числовой определитель в (2.45) является определителем Вандермонда10 [15]. Этот определитель
равен произведению разностей: ∏(ki −k j ) и при различных ki
1≤i< j≤n
(i =1,2, ...,n) отличен от нуля. Поэтому система экспонент с различными показателями степени линейно независима.
2. Система степенных функций 1,x,x2,...,xm . Для неë определитель Вронского (2.44)
|
|
1 |
x |
x2 |
xm |
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
1 |
2x..... |
mxm−1 |
|
|
W = |
|
0 |
0 |
2...... |
m(m −1)xm−2 |
|
=1 1 2! ... m!≠ 0. |
|
|
........................................... |
|
|
|||
|
|
0 |
0 |
0...... |
m! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, система степенных функций также линейно независима.
3. Система функций ekx ,xekx ,x2ekx ,...,xmekx . Составляя их линейную комбинацию, получим
С1ekx +С2xekx +С3 x2ekx +...+Сm xmekx = ekx (С1 +С2x +С3 x2 +...+Cm xm ).
Так как ekx ≠ 0, а степенные функции линейно независимы, то и данная система функций линейно независима на любом интерва-
ле (a,b).
Рассмотренные свойства решений и теоремы позволяют сформулировать основную теорему о структуре общего реше-
ния линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка): Общее решение линейного однородного диффе-
ренциального уравнения n –го порядка Ln (y) = 0 представляет-
ся в виде линейной комбинации n линейно независимых частных решений этого уравнения:
n |
|
y = ∑Ck yk = C1 y1 + C2 y2 + + Cn yn . |
(2.46) |
k =1
10В а н д е р м о н д АлександрТеофиль (28.02.1735 –01.01.1796)
–французский математик.
58
Здесь C1,C2, , Cn - произвольные постоянные, y1 , y2, , yn - частные линейно независимые решения уравнения Ln (y) = 0.
Действительно, по свойству 3 решений линейных однородных уравнений функция y(x), определëнная формулой (2.46), яв-
ляется решением дифференциального уравнения Ln (y) = 0. Это
решение будет общим (то есть содержащим все решения уравнения), если всегда можно подобрать произвольные постоянные C1,
C2, , Cn так, чтобы удовлетворялись произвольно заданные
начальные условия y(x0) = y0, y′(x0) = y0′,..., y(n−1) (x0) = y0(n−1). Для этого система уравнений
C y |
(x |
)+C |
2 |
y |
2 |
(x |
)+...+C |
n |
y |
n |
(x ) = y |
, |
||||
|
1 1 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
||||
C1 y1′(x0)+C2 y2′(x0)+...+Cn yn′(x0) = y0′, |
||||||||||||||||
............................................................................... |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n−1) |
|
|
|
|
|
(n−1) |
|
|
|
|
(n−1) |
|
(n−1) |
||
C1 y1 |
|
(x0)+C2 y2 |
|
(x0)+...+Cn yn |
(x0) = y0 |
|||||||||||
должна иметь решение |
C1, |
C2, , Cn |
при произвольных правых |
|||||||||||||
частях y0, y0′,..., y0(n−1) и при произвольном x0 (a,b). Но определитель этой системы линейных относительно C1, C2, , Cn алгебраических уравнений
|
y1 (x) |
y2(x) ... yn (x) |
|
|
|
|
|||
|
y1′(x) |
y2′(x) ... yn′(x) |
|
|
|
...................................................... |
|
||
|
y(n−1) (x) |
y(n−1) (x) ... |
y(n−1) (x) |
|
|
1 |
2 |
n |
|
есть определитель Вронского линейно независимой системы решений однородного уравнения, и, следовательно, отличен от нуля при любом x0 (a,b) и при любых правых частях. Поэтому
система однозначно разрешима относительно постоянных C1, C2, , Cn при любом x0 (a,b) и при любых правых частях. А
это означает, что решение (2.46) является общим.
Приведëнная теорема указывает путь построения общего решения любого линейного однородного дифференциального уравнения n - го порядка. Для этого необходимо найти именно n частных решений (соответственно порядку уравнения), убедиться