124

4. ПРИБЛИЖЁННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Методы точного интегрирования дифференциальных уравнений позволяют получить решение для относительно ограниченного круга задач. Поэтому в научных и инженерных расчётах широко используются приближë нные методы. Их можно разде-

лить на два класса: приближëнные аналитические и численные методы. При использовании аналитических методов решения получаются в виде при ближëнных формул. В численных методах результаты представляются таблицей чисел. Из численных методов широко используются шаговые методы типа РунгеКутта1,2, методы конечных разностей, метод конечных элементов и многие другие [13,14]. В настоящем пособии рассмотрены наиболее распространëнные приближë нные аналитические методы решения краевых задач: метод степенных рядов, Бубнова [21], наименьших квадратов, коллокаций. Метод степенных рядов является приближë нным, но позволяет получить результат с любой степенью точности. Этот метод обсуждён отдельно выше (см.

2.8.2- 2.8.4).

Пусть требуется решить краевую задачу для уравнения

Un (x) - подбираемые функции, которые должны удовлетворять следующим требованиям:

1,2 Р у н г е Карл Давид Тольме (30.08.1856 – 03.01.1927) – немецкий физик и математик, К у т т а Мартин Вильгельм (03.11.186725.12.1944) – немецкий физик и математик.

125

1.Функции Ui (x) (i = 1,2,...,n) должны быть линейно независимы на интервале (a,b).

2.Функции Ui (x) (i = 0,1,2,...,n) должны быть непрерывно дифференцируемы на (a,b) хотя бы до порядка, равного порядку уравнения.

3.Функция y(x), определяемая выражением (4.3), должна удов-

летворять граничным условиям (4.2) решаемой задачи. Это условие будет выполнено, если

Если граничные условия (4.3) однородны, то решение достаточно искать в виде

n

y(x) = ∑aiUi (x).

i=1

4. Функции Ui (x) (называемые обычно координатными или ап-

проксимирующими или базисными) в совокупности должны качественно правильно отражать физический процесс, описываемый дифференциальным уравнением.

Предположим, что функции Ui (x) (i= 0,1,2,...,n) подобраны. Необходимо найти константы ai так, чтобы искомая функция y(x) была близка на [a,b] к точному решению краевой задачи. Для этого перепишем уравнение (4.1) в виде

Если в левую часть уравнения (4.5) подставить точное решение уравнения (4.1), то она будет тождественно равна нулю. Если же вместо точного решения подставить приближённое решение (4.3), то в левой части уравнения (4.5) получим некоторую функцию r(x,ai ) ≠ 0 на (a,b), i=1,2,...,n. Эта функция назы-

вается невязкой (или функцией – ошибкой) и может рассматриваться как некоторая мера ошибки.

В приближённых методах решения краевой задачи (4.1), (4.2) константы ai (i = 1,2,...,n) подбираются так, чтобы невязка

оказалась в том или ином смысле малой.

Различные приближённые методы отличаются тем, что в каждом из них устанавливается свой критерий малости невязки.

126

Общим для рассматриваемых методов является то, что их применение приводит к системе алгебраических уравнений относительно ai :

a1,a2 , , an после подстановки в (4.3) определяют приближённое решение y(x) краевой задачи (4.1), (4.2). Чем больше число коор-

динатных функций в решении (4.3), тем точнее может быть приближённое решение задачи. Однако с ростом n существенно возрастает трудоёмкость вычислений.

4.1. Метод Бубнова

Этот метод в литературе часто называют также методом Бубнова – Галеркина3,4.

В этом методе за условие минимума невязки r(x,a1,a2, , , an ) принимается ортогональность невязки к координатным функциям Ui (x), i = 1,2,..,n на промежутке [a,b].

Как известно, две функцииϕ1 (x), ϕ2 (x) называются ортого-

нальными на промежутке [a,b], если

∫b ϕ1 (x)ϕ2 (x)dx = 0.

a

Составляя условие ортогональности для невязки, получим систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов a1, a2 , , an искомого решения (4.3):

3,4 Бубнов Иван Григорьевич (18.01.1872 – 13.03.1919) - инженер - кораблестроитель и механик, основоположник строительной механики корабля.

Галеркин Борис Григорьевич (04.03.1871 - 12.06.1945) - инженер - генерал - лейтенант, академик.

127

4.2. Метод наименьших квадратов

При решении краевой задачи (4.1), (4.2) методом наименьших квадратов искомая функция y(x) отыскивается в том же ви-

де (4.3) с теми же требованиями к подбираемым координатным функциям Ui (x), i=0,1,2,...,n. Но для определения констант ai

(i=1,2, ...,n) составляется функция

a

называемая интегральной квадратичной ошибкой аппроксимации решения.

Условие минимума функции S, как функции многих переменных, приводит к системе

dai

из которой и определяются постоянные a1,a2 , ,an .

4.3.Метод коллокаций

Вметоде коллокаций неизвестные параметры a1,a2 , ,an определяются из условия, чтобы невязка r(x,a1,a2 , , an ) обращалась в нуль в n внутренних точках a < x1 < x2 < x3 < < xn < b

промежутка [a,b]. Эти точки, в которых дифференциальное уравнение задачи точно удовлетворяется, называются точками коллокации. В результате получаем систему уравнений вида

решая которую, находим коэффициенты ai (i = 1,2,...,n). Заметим,

что точки коллокации могут быть выбраны, вообще говоря, произвольно, но их выбор существенно влияет на точность решения задачи.

В качестве примера рассмотрим решение вышеизложенными методами задачи отыскания прогибов шарнирно опёртого стержня постоянного поперечного сечения, нагруженного равномерно распределённой поперечной нагрузкой интенсивности q

(см. рис. I.19).