Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

ции Р(х, у, z), Q(x, у, z) и R(x, у, z) непрерывны и имеют не­

прерывные частные производные первого порядка внекоторой

окрестности n поверхности В. Определим в n векторное по­

ле р, координаты которого в данной декартовой прямоуголь­

ной системе координат равны Р, Q, R. Очевидно, при условиях, наложенных на функции Р, Q, R, поле р будет непрерывным и дифференцируемым в п. Найдем ротор этого поля. Исполь­ зуя выражение для rot р в ортонормированном базисе i, j, k,

получим

Выберем на поверхности В определенную сторону, т. е. укажем на В непрерывное поле единичных нормалей n. Обращаясь к

выражению (7.21) для rotp и используя стандартное обозначе­

ние cos Х, cos У, cos Z для координат единичного вектора норма­

ли n к поверхности В, получим

Из соотношения (7.22) следует, что интеграл, стоящий в ле­ вой части формулы Стокса (7.12), может быть записан в виде

JJnrotpda. (7.23) s

Итак, находящийся в левой части формулы (7.12) интеграл

после выбора определенной стороны поверхности можно рас­

сматривать как поверхностный интеграл первого рода (7.23) от

функции n rot р, заданной на поверхности В. Так как скалярное произведение n rot р и элемент площади da поверхности В не за­ висят от выбора декартовой прямоугольной системы координат

в пространстве, то при переходе к новому ортонормированному

базису i', j', k' левая часть формулы (7.12) не изменит своего

значения и формы, т. е. эта левая часть и1-tваришн,т1-tа относи­ тельно выбора декартовой прямоугольной системы координат в

пространстве.

Обратимся теперь к интегралу

находящемуся в правой части формулы Стокса.

Убедимся, что этот и1-tтеграл ma'X:;)fCe и.м.еет иHвapиaHтHы.

хара'Х:тер - его значение и форма не меняются при переходе к

новой декартовой системе координат.

Г поверхности В, направление которого согласовано с направ­ лением обхода на Г; cos а, cos (3, cos ')'- координаты вектора t.

Выберем за параметр на Г длину дуги [, причем на каждой связ­

ной компоненте границы возрастание параметра согласовано с

направлением обхода на этой компоненте. При условиях, нало­

женных на Г, функция t(l) будет кусочно-непрерывноЙ. Так как

поле р непрерывно на Г, то его координаты представляют собой на Г непрерывные функции от [. Заметим, что после выбора

направления обхода и параметра на кривой Г криволинейный

интеграл второго рода (7.24) преобразуется в криволинейный

интеграл первого рода. При этом Р, Q и R вычисляются в точ­ ках Г, а dx = cos а dl, dy = cos (3 dl, dz = cos')' dl. Таким образом,

§Р dx + Q dy + R dz = § (Р cos а + Q cos (3 + R cos ')') dl = §pt dl.

тельно имеет инвариантный характер: скалярное произведение pt - инвариант, параметризация с помощью длины дуги не свя­

зана с системой координат.

В новой декартовой системе координат Ох'у'z' имеем

pt dl = (Р' cos а'+ Q' cos (3' + R' cos ')") dl = р' dx' + Q' dy' + R' dz'.

Поэтому

Pdx + Qdy + Rdz = р' dx' + Q' dy' + R' dz'.

Отметим, что интеграл

§ ptdl

г

обычно называется 'Цuрnул.яЛl;uеU веnторного поля р по nривоu Г. Проведенные рассуждения позволяют придать формуле Сток­

са (7.11) (или (7.12)) следующую инвариантную форму:

Лемма. Пустъ В - огра1-tu'Че1-t1-tая, nол1-tая, двусторо1-t1-tяя,

гладпая nоверхностъ с nусо'Ч1-tо-гладnоu грани'Цеu Г 1). Сущест­

вует таnое д > О, 'Что любая связ1-tая 'Частъ nоверхности В,

размеры nотороu ме1-tъше д 2), од1-tоз1-tа'Ч1-tо nрое'Цuруется на

1)Отметим, что замкнутая поверхность не имеет границы.

2)Такая часть поверхности может быть расположена в сфере радиуса 6.

7 В. А. Ильин и э. г. Позняк, часть II

§ 3 ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО 195

двойной интеграл JJn rot р da, а в правой части будет стоять

s

сумма интегралов § pt dl по границам ri частей Si. Ясно, что

Г;

интегралы по общим участкам границы частей Si сократятся, ибо эти участки обходятся в противопо-

ложных направлениях (для пояснения можно обратиться к рис. 7.6). Поэтому

указанная выше сумма криволинейных интегралов равна криволинейному ин­

тегралу по границе Г поверхности S. Из

наших рассуждений вытекает справед­

ливость формулы

которая и является формулой Стокса. Теорема 7.3 доказана.

§3. Формула Остроградского

1.Формулировка основной теоремы. Пусть V -конеч­

ная, вообще говоря, многосвязная область в пространстве Oxyz

скусочно-гладкой границей S 1). Область V с присоединенной

границей будем обозначать через v. Справедлива следующая

изводные первого nоряд'Ка в v. Если существуют несобствен­

ные интегралы по области V от 'Каждой из 'Частных nроизвод­ ных фун'Кций Р, Q и R, то справедливо соотношение

s

называемое формулой Остроградс'Кого. При этом стоящий в правой 'Части интеграл представляет собой сумму интегралов по связным 'Компонентам границы S, на 'Которых

выбрана внешняя по отношению 'к V сторона.

1) Граница S называется кусочно-гладкой, если она составлена из конеч­

ного числа гладких поверхностей, примыкающих друг к другу по гладким

кривым - ребрам поверхности. Если граница S состоит из конечного чис­ ла замкнутых кусочно-гладких поверхностей Si, то Si называют связ1-tЫМU 'J{;OMn01-tе1-tmамU S, а связную область V - M1-tО20связ1-tоU.

7*

Так как эти равенства доказываются однотипно, мы прове­

грале (7.29) выполняются все условия, при которых действует

формула повторного интегрирования. По этой формуле имеем

ныйJJJ ~~ dx dy dz. В силуравномернойнепрерывностифунк-

V

ции R(x, у, z) в замкнутой области V каждое из слагаемых в правой части (7.30) имеет при n --+ 00 предел, равный для перво­

го слагаемого JJ R(x, у, Z2(X, у)) dxdy и для второго слагаемого

D

-JJ R(x, у, Zl(X, у)) dxdy. Первый из только что указанных ин­

D

тегралов представляет собой при выборе внешней стороны по-

верхности S интеграл JJ R(x, у, z) dx dy, а второй (с учетом сто-

5"

ящего перед ним знака «минус») интеграл JJR(x, у, z) dx dy.

5'

198 формулы ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ.7

Итак, правая часть соотношений (7.30) имеет при n ---7 (Х) пре­

дел, равный JJ R(x, у, z)dxdy. Следовательно, третья из фор­

s

мул (7.28) доказана.

Доказательство первой и второй из формул (7.28) проводит­ ся аналогично (нужно рассмотреть проекции V на плоскости

Oyz и Oxz соответственно и повторить проведенные рассужде­

ния). Теорема доказана.

3. Инвариантная запись формулы Остроградского. Пусть функции Р, Q и R удовлетворяют условиям теоремы 7.5 в конечной связной области V с кусочно-гладкой границей s. Определим в V векторное поле р, координаты которого в дан­ ной декартовой системе координат Oxyz равны Р, Q, R. Оче­ видно, при условиях, наложенных на эти функции, поле р будет

непрерывным в V и дифференцируемым в v.

Найдем дивергенцию поля р. Используя выражение для ди­

вергенции поля р в ортонормированном базисе i, j, k, получим

div р = дР + aQ + aR.

дх ду az

3 а м е ч а н и е. Перейдем к новой декартовой системе ко­

ординат в пространстве. Пусть i', j', k' - ортонормированный

базис, связанный с этой системой, а Р', Q', R' - координаты по­ ля р в этом базисе. Очевидно, функции Р', Q', R' непрерывны

в V и дифференцируемы в V (эти функции представляют собой линейные комбинации функций Р, Q, R).

Так как в новой системе координат

divp = дР' + aQ' + aR'

дх' ду' az' '

то в силу инвариантности дивергенции справедливо равенство

ни значения, ни формы при переходе к новой декартовой прямо­ угольной системе координат, т. е. представляет собой инвариант.

Мы можем поэтому сделать следующий важный вывод: ИН­

теграл, наход-ящийс-я в левой 'Части фор.мулы Остроградс'Х:ого

(7.27), и.меет инвариантный хара'Х:тер - его зна'Чение и фор.ма

не .мен-яютс-я при переходе 'Х: новой де'Х:артовой систе.ме 'Х:оорди­

нат. Действительно, при таком преобразовании координат абсо­ лютное знамение якобиана преобразования равно единице. Со­

гласно же замечанию подынтегральное выражение не меняет ни

значения, ни формы при таком преобразовании координат.

Справедливость следствия вытекает из следующих рассуж­ дений. Ясно, что формула Остроградского справедлива для каждой из областей Vk . Это следует из инвариантного харак­

тера формулы и из теоремы 7.6 (в некоторой системе координат

Vk

Остроградского для областей Vk представляет собой интеграл

!!!(дР + aQ + aR) dx dy dz. Сумма же поверхностных ин-

дх ду az

V

тегралов JJР dy dz + Q dz dx + R dx dy в правых частях фор­

Sk

мул Остроградского по границам Sk областей Vk даст интеграл

JJР dy dz + Q dz dx + R dx dy, ибо интегралы по общим участ­

S

кам границы областей Vk сократятся - эти участки в соседних областях Vk ориентированы противоположным образом.

§4. Некоторые приложения формул Грина, Стокса

иОстроградского

1.Выражение площади плоской области через кри­

волинейный интеграл. Пусть D - конечная плоская связная

область с кусочно-гладкой границей L. Справедливо следующее утвеРJlCдение.

Площадь (J области D MOJlCem быть вы'Числена по формуле

L

в 'Которой 'Криволинейный интеграл представляет собой сум­

му интегралов по связным 'Компонентам границы L, nри'Чем на

'КаJlCдой из этих 'Компонент у'Казано та'Кое направление обхода,

при 'Котором область D остается слева.

Для доказательства утверждения рассмотрим в D функции

Р(х, у) = -у, Q(x, у) = х.

Очевидно, эти функции удовлетворяют в D всем условиям,

при которых справедлива формула Грина (7.1). По этой форму­

ле имеем

JJ(д~:) - д~Y)) dx dy = f(-у)dx + (х)dy.

D L