Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

где Хг, Х^ - проекции объемной силы, приходя­ щейся на единицу объема на оси соответственно г и /г/ф.

Ф о р м у л ы К о ш и:

Для материалов ортотропных с цилиндрической анизотропией (Ох^ - ось анизотропии), транс­ версально-изотропных (СЬсз - ось, перпендику­ лярная к изотропной плоскости) и изотропных обобщенный закон Гука определяется соответ­ ственно зависимостями (1.6.5), (1.6.7) и (1.6.8) при замене компонентов напряжения и дефор­ мации соответствующими компонентами в по­ лярной системе координат.

У р а в н е н и я р а в н о в е с и я в п е р е м е щ е н и я х . Для ортотропных мате­

риалов с цилиндрической анизотропией и транс­ версально-изотропных материалов

-f ^<р - J - = o.

^44

где Cj, - коэффициенты, определяемые формула­ ми (1.6.6), (1.6.7), при значениях технических постоянных, соответствующих материалам с ци-

линдрическои анизотропией и трансверсальноизотропным.

Для изотропных материалов:

о. (1.6.14)

(1.6.14) Произведя в этих уравнениях замену пере­

менных по формуле

г = e ^ (/ = 1пг),

можно привести их к дифференциальным урав­ нениям с постоянными коэффициентами:

+ 2G{1 - v) е Х^ = 0;

а/ а 3-4v'|

—+

аф l - 2 v a / l - 2 v

2/

-^Ф=о.

(1.6.15)

1.6.4. ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ (ОБОБЩЕННОЕ ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ)

Плоское напряженное состояние реализу­ ется в тонкой пластине, загруженной по кром­ кам усилиями, действующими параллельно плоскости пластины и распределенными сим­ метрично относительно срединной плоскости (рис. 1.6.3). Этим же условиям должны удовлет­ ворять и объемные силы.

^33 = - — (^31^11 +^32^22)'

aj2 = 26^12^12»

дл я т р а н с в е р с а л ь н о - и з о т

ро п н о г о м а т е р и а л а :

^11 =—(^11 -^°^22); ^22 =—(^22 - ^ ^ l l ) i

Рис. 1.6.3. Срединная поверхность пластины

Если толщина пластины h и координатная плоскость Ox\Xi есть срединная плоскость, то на

h

свободных поверхностях пластины Х3 = ±—

2

СУЗЗ=031=СГ32=0-

Вследствие малой толщины пластины (по сравнению с другими размерами) напряжения стзз принимаются равными нулю по всей толщи­ не.

для усредненных напряжений для плоского на­ пряженного состояния совпадают с уравнениями для плоской деформации (1.6.1) и (1.6.11).

Уравнения сплошности для усредненных компонентов деформации имеют вид (1.6.3) и (1.6.13), а зависимость между усредненными перемещениями и компонентами деформации определяется (1.6.2) и (1.6.12).

Зависимости между усредненными значе­ ниями компонентов напряжения и деформации (знаки усреднения опущены) имеют вид:

Ох\Х2, в которой все направления являются эк­ вивалентными; E-i, - модуль Юнга для направле­ ния бЪсз; V31 - коэффициент Пуассона, харакгеризующий» сокращение в направлении оси Ох\, при растяжении в направлении оси Ох^ (v32=v3i);

д л я и з о т р о п н о г о м а т е р и а л а :

^12 =2^12-

Граничные условия, выражения, определя­ ющие главные напряжения и формулы преобра­ зования при повороте координатных осей для усредненных значений напряжений, совпадают с

соответствующими формулами для плоской де­ формации.

При плоском напряженном состоянии уравнения теории упругости имеют тот же вид, что и при плоской деформации, лишь в уравне­ ния обобщенного закона Гука входят другие коэффициенты. Вследствие этого уравнения равновесия в перемещениях (в декартовой сис­ теме координат) будут иметь вид (1.6.9) при следующих значениях коэффи1шентов:

И уравнения равновесия в перемещениях запи­ шутся в виде

В полярной системе координат уравнения равновесия в перемещениях для ортотропных материалов будут иметь вид (1.6.14) при следу­ ющих значениях коэффициентов:

^44 = ^^п^^г^^

где Ег, Е^ - модули Юнга в направлении осей г и rd(p\ Gf^ - модуль сдвига между этими направле­ ниями; V;,, Уф;. - коэффициенты Пуассона.

Для изотропных и трансверсально-изо­ тропных материалов уравнения равновесия при­ мут вид:

(интегрирование уравнений равновесия, условий сплошности, удовлетворение граничньп^ услови­ ям) в значительной степени упрощается, если ввести в рассмотрение некоторую четырежды дифференцируемую функцию координат точек тела, называемую функцией напряжения, или функцией Эри.

Пусть объемные силы, действующие на те­ ло, имеют потенциал и, следовательно, их про­ екции на оси координат определяются формула-

дхл дх-л

циальная функция).

Дифференциальные уравнения равновесия (1.6.1) будут всегда удовлетворены, если компо­ ненты напряжения выразить через неизвестную функцию напряжения Дхь xi) и потенциальную функцию и(х\, xi) с помощью формул

(1.6.16) Если с помощью зависимостей закона Гука в уравнении сплошности (1.6.3) компоненты

деформации выразим через напряжения, а затем воспользуемся формулами (1.6.16), получим уравнение для определения функции напряже­ ния

Входящие в это уравнение коэффициенты 5/ принимают следующие значения.

П л о с к а я д е ф о р м а ц и я : ортотропныи материал:

трансверсально-изотропный и изотропный мате­ риалы:

изотропного материала при плоском напряжен­ ном состоянии.

1.6.6. ФУНКЦИЯ НАПРЯЖЕНИЯ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ

Пусть объемные силы, действующие на те­ ло, имеют потенциал

(ЩГу ф) - потенциальная функция). Дифференциальные уравнения равновесия

(1.6.11) будут удовлетворены, если принять:

где Дг, ф) - функция напряжения в полярных координатах.

Уравнение, определяющее функцию на­ пряжения, может быть получено, если восполь­ зоваться уравнением сплошности (1.6.13) и обобщенным законом Гука в полярных коорди­ натах:

Из уравнения (1.6.17) следует, что при от­ сутствии объемных сил или при постоянной их величине функция напряжения для изотропного материала как при плоской деформации, так и при плоском напряженном состоянии должна удовлетворять бигармоническому уравнению

(1.6.18) Этому же уравнению должна удовлетворять функция напряжения для трансверсально-

г дг

где коэффициенты Ô/ принимают значения: п л о с к а я д е ф о р м а ц и я :

ортотропныи материал:

2G

np

- — (^-^rz^Zr^''z<p)'>

изотропный материал:

1 - v ôj =Ô2 = § 3 = -

( l + v ) ( l - 2 v ) _ l - 2 v

5/l = Se = ô^ =

1.6.7. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ФУНЮЩИ НАПРЯЖЕНИЯ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ

В случае первой основной задачи гранич­ ные условия, которым должна удовлетворять функция напряжения, могут быть установлены с помощью зависимостей (1.6.4).

Подставляя в эти зависимости выражения для напряжений (1.6.16) (при отсутствии объем­ ных сил) и учитывая (см. рис. 1.6.2), что

(v, s - направление нормали и касательной в точке контура), получаем:

(1.6.22)

Интегрирование этих равенств вдоль гранииры тела (вдоль контура) приводит к формулам:

(1.6.23) где s - длина дуги контура, отсчитываемая от некоторой точки А против часовой стрелки (см. рис. 1.6.2); Cl, С2 - постоянные интегрирования.

Из формул (1.6.23) следует, что приращеПИЯ ÔF и ÔF при переходе от начальной точ-

В случае отсутствия объемных сил или при постоянной их величине функция напряжения для изотропного материала как для плоской деформации, так и цдя плоского напряженного состояния должна удовлетворять дифференци­

главного вектора усилий, приложенных к ука­ занному участку контура. В том случае, когда главный вектор усилий, приложенных к каждому контуру (для многосвязной области), равен ну­ лю, эти величины будут однозначными функци­ ями. Это условие всегда выполняется для односвязного тела, при этом постоянные с\, cj могут быть приняты равными нулю.

Формулы (1.6.23) позволяют определить функцию напряжения и ее производную по нормали к контуру в произвольной точке конту­ ра:

F[x^,X2)=Cj -+-^(^2 -X2J + C2\^X^ -Х^

ветственно начальной точке А и произвольной точки В контура; сз - постоянная интегрирова­

ния.

Формула (1.6.24) показывает, что с точнос­ тью до неопределенного слагаемого вида С3+С1Х2+С2Х1 функция напряжения в произволь­ ной точке В контура равна моменту внешних сил, приложенных на участке контура АВ, вы­ численному относительно т.В.

Функция напряжения однозначна, если главный момент усилий, приложенных к конту­ ру, равен нулю. Указанное условие выполняется всегда для односвязной области, при этом мож­ но принять сз=0.

Постоянные интегрирования с/ для много­ связных областей не могут назначаться произ­ вольно: если на одном из контуров принять их равными нулю, то на остальных контурах их необходимОч)пределить из условия однозначнос­ ти перемещений. Таким образом, за граничные условия для функции напряжения могут быть приняты значения самой функции и ее произ­ водной по нормали на контуре.

Из уравнений; определяющих функцию напряжения, и ее граничных условий следует, что для односвязных тел из изотропных матери­ алов при заданных усилиях на контуре функция напряжения не зависит от упругих постоянных, и, следовательно, в одинаково нагруженных те­ лах одной и той же формы, но изготовленных из материалов, имеющих различные упругие посто­ янные, напряжения будут равны (теорема М.Леви). Для многосвязных изотропных тел функция напряжения не будет зависеть от упру­ гих постоянных в том случае, когда главный вектор усилий, приложенных к каждому конту­ ру, равен нулю.

1.6.8. НЕКОТОРЫЕ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ

Задача удовлетворения граничным услови­ ям на контуре пластины существенно упрощает­ ся, если выбранная система координатных осей может быть совмещена с контуром пластины.

Ниже приведены решения отдельных задач в прямоугольной и полярной системах коорди­ нат.

Решение для орямоугольной пластины в по­ линомах. Если нормальные pixi) и касательные qix\) напряжения, действующие на длинные кромки вытянутой прямоугольной пластины (рис. 1.6.4), можно представить с помощью по­ линомов:

i

»|

Рис. 1.6.4. К решению для прямоугольной пластины в полиномах

где N равно наибольшему из чисел wi+2, W2+2, mi+1, m2+l.

Входящие в (1.6.26) неизвестные функции Ж^з) определяются системой дифференциальных уравнений:

/ f (xj) = - 2 ^ ( A : + 2 ) ( À : + 1 ) / ; ^ 2 ( ^ 2 ) -

А-г(^2) = -^—{^ - W - 2)/м-1Ы'

(для значений 0<k<N - 4);

S

/iV-2(^2) = -2^N{N - 1)/;{X2);

(1.6.27)

откуда после интегрирования

(1.6.28)

где ai^,bj^,Cj^,di^ - постоянные интегрирования;

V*(^2) - функции, получаемые при последова­ тельном интегрировании системы (1.6.27).

Для определения постоянных интегрирова­ ния следует воспользоваться граничными усло-

b

ВИЯМИ при X's = ± — :

2

и условиями на кромке xi=a.

Последние могут быть удовлетворены лишь в интегральном смысле и имеют вид

Ь/2 Ь/2

Ь/2

ГацХ2аЬс2 = М,

-ь/2

Решение для прямоугольной пластины в тригонометрических рядах. В том случае, когда

Ь

напряжения, приложенные к кромкам ^2 = ±—,

2 удовлетворяют условиям разложения в тригоно­ метрические ряды, решение уравнения (1.6.17) можно искать в тригонометрических рядах.

Преобразуя уравнение (1.6.17) к безразмер­ ному виду

где

функцию напряжения Д^, т|) можно принять в форме (решение Рибьера)

/1=1

Выбор той или иной формы решения зави­ сит от граничных условий на кромках пластины ^=0; ^=1.

При использовании решения (1.6.31) дол­ жны вьшолняться следующие условия при Ç=0;

^=1:

и средняя величина напряжений p^xi) на про­ дольных кромках пластины должна быть равна нулю, т. е.

]p^{x^)dx^^O, (/=1,2).

О

При использовании же решения (1.6.32) должны соблюдаться следующие условия при

и средняя величина напряжений qix\) на про­ дольных кромках пластины должна быть равна

а

нулю, т. е. \qi{x^)dx^ = О, (/ = 1,2).

О

Решение плоской задачи в тригонометри­ ческих рядах при произвольных граничных ус­ ловиях на кромках пластины рассмотрено П.Ф.Папковичем [32].

Входящие в решения (1.6.31) и (1.6.32)

функции/я(т|) равны: 1

если —~ < 1, то

Q

/л(л) = û^ch/wc5jT| + b^shfiKS^r] -\-c^chnnS2r\ +

+ f/^Sh«7LS2T|,

где

1 \ Ï Q^

если Д=1 (изотропная пластина), то

+ d^a^y\sha^y\, где о.п—ппЪ/а.

Постоянные интегрирования j„, 6«, c«, dn определяются из граничных условий на кромках

Тогда функции /„(л) должны удовлетворять усло­ виям:

В этих формулах тригонометрические функции, записанные сверху, относятся к решению Рибьера, а снизу - к решению Файлона - Белзецкого.

Перемещения и напряжения в пластине определяются формулами:

1 -^гА I

"1 = 2]—/n(n)+vi2an/n(^)

п=1

1'^

^12=—1Ул(п)^,

1.6.9.РЕДУКЦИОННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ

ПОЯСКОВ ШИРОКОПОЛЫХ БЛЛОК

По этой причине применение гипотезы плоских сечений, дающей равномерное распределение нормальных напряжений по ширине пояска, для балок с широкими поясками может привести при оценке величины нормальных напряжений к ошибке в опасную сторону.

При применении технической теории к изгибу широкополых балок принято заменять действительный поясок балки некоторым приве­ денным пояском, ширина которого s определя­ ется формулой

где Ь - действительная ширина пояска; \|/ - ре­ дукционный коэффициент; он показывает, ка­ кую долю действительной ширины пояска со­ ставляет его приведенная ширина.

Если обозначить линейную деформацию пояска в месте соединения со стенкой ец^? а действительные нормальные напряжения в пояс­ ке а и, то редукционный коэффициент

-Ь/2

пояске (ось Ох\ проходит посредине ширины пояска).

В общем случае редукционный коэффици­ ент является функцией координаты х\ и зависит от граничных условий при xi=0 и xi=âr (а - дли­ на балки).

Подробное исследование редукционных коэффициентов широкополых балок содержится

вработе [32].

1.6.10.РЕШЕНИЕ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ

[18, 32]

Функцию напряжения для ортотропной пластины с щшиндрической анизотропией, удовлетворяющей дифференциальному уравне­ нию (1.6.20) при C^=const (однородное уравне­ ние), можно искать в виде суммы частных реше­ ний

(1.6.38) модуль Е следует заменить на Е 1 г-, а 1 - v "

коэффициент Пуассона v на

1 - V

Сосредоточенная сила в неограниченной изотропной плоскости (рис. 1.6.6). Функция на­ пряжения

F(r,(p) = — 1пгсо8ф -ф8тф

я I 4

дящаяся на оси Ох\ на расстоянии / от начала координат, неподвижна.

Рис. 1.6.7. Полуплоскость, загруженная сосредоточенной силой, действующей перпендикулярно к кромке пластины

Компоненты напряжений и перемещения:

Рнс.1.б.б. Сосредоточенная сила, действующая в неограниченной изотропной пластине

Компоненты напряжений и перемещения: Р 3 + V

При этом предполагается, что точка, нахо-

+ Я С 0 8 ф - ^ 8 Ш ф -\^Сг,

(1.6.40) где Q Ну К - постоянные, определяемые из ус­ ловий закрепления полуплоскости.

Если, например, точка, расположенная на оси Oxi на расстоянии / от начала координат, неподвижна, то

Напряжения и перемещения в декартовых координатах: