Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

Параметр ш^ определяет поворот бесконеч­ но малого объемного элемента тела в окрестнос­ ти рассматриваемой точки во1фуг оси Qxi.

Если направление г совпадает с направле­ нием одной из осей координат (СЪг/), то относи­ тельное удлинение по этому направлению будет

Углы сдвига. Рассмотрим в недеформированном теле два взаимно перпендикулярных на­ правления ri и Г2У выходящих из данной точки тела M(xi, Х2, xj) и параллельных соответственно осям Oxi и Ох2. После деформации угол между этими направлениями изменится на величину

ти величин 8у, называем^ компонентами дефор­ мации, полностью определяет деформированное состояние окрестности рассматриваемой точки тела.

1.1.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ЭЛЕМЕНТА В ДЕФОРМИРОВАННОМ СОСТОЯНИИ ТЕЛА

1.1.2.1. Пусть положение заданного векто­ ра мк (направление г) в недеформированном состоянии тела по отношению к координатным осям Oxi определяется направляющими косину­ сами /„• =со8(гГЛ;/) (см. рис. 1.1.2).

Тогда положение этого вектора д деформи­ рованном состоянии тела (вектор M*N*, направ­ ление г) определяется по отношению к коорди­ натным осям Oxi следующими значениями на­

(1-> 2 -^ 3 -> 1).

Величины изменения первоначально прямых уг­ лов между направлениями, параллельными другим координатным осям, могут быть получе­ ны из формулы (1.1.14) путем циклической пе­ рестановки индексов. Углы ф^- называют углами сдвига. Их считают положительными, если про­ исходит уменьшение первоначально прямого угла между направлениями /•/ и /у.

Непосредственно из формул (1.1.13) и (1.1.14) можно понять смысл компонентов е^: компоненты е^ = ех»^22 - ^у>^зз - ^z характери­ зуют соответствующие • относительные удлине­ ния, а компоненты 8i2 =€хи»^13 ~^х?>^23 ~^yz ~ углы сдвига. Таким образом, совокупность шее

1.1.2.2. орты е^у е2у е^, проходящие в не­ деформированном состоянии тела через т.ЛГ и параллельные соответственно координатным осям Oxiy ОХ2У СЬСЗ, В деформированном состоя­ нии тела займут положение некоторых векторов ^1*»^2> ^3 (рис. 1.1.3). Направляющие косинусы

этих векторов по отношению к осям Oxj приве­ дены в табл. 1.1.1.

Хд»

Рис.1.1.3. Положение ортов е^ (/=1, 2, 3) в недеформнроввнном и деформированном состояниях теля

1.1.2.3. В деформированном состоянии тела через т.ЛГ параллельно осям Oxj проведены орты ij (/=1, 2, 3) (рис.1.1.4). Направляющие косину­ сы, определяющие положение этих ортов до деформации (орты /}) по отношению к осям Ох,-, приведены в табл. 1.1.2.

L

is\

У' ._

ч**П h

Тм

Ь ;yfij

^1

Рис.1.1.4. Положение ортов /у (/=1» 2, 3)

в недеформнровянном и деформированном состояниях тела

В таблЛ.1.2 использованы следующие до­ полнительные обозначения:

- относительное удлинение проходящего через т.М волокна, которое после деформации тела становится параллельным оси Ох(.

1.1.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПОНЕНТОВ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ПЕРЕХОДЕ ОТ ОДНИХ КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ

К ДРУГИМ. ГЛАВНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ. ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИИ И ЕГО ИНВАРИАНТЫ

Преобразование компонентов деформации. Компоненты деформации при повороте коорди­

где s/y - компоненты тензора деформаций в но­

1.1.3. Значения шшрявляммцнх косинусов осей

индексу, формулы (1.1.15) можно переписать в виде

(1.1.16)

Формула и(1.1.16) показывает, что компо­ ненты деформации Б^- ЯВЛЯЮТСЯ компонентами симметричного тензора второго ранга - тензора

деформации:

где Oi = (ЕП - е^)(822 - в/) - e^j; ^1 = «12823 -^ 81з(822 - в/);

^i = ^12813 - 8 2 3 ( 8 1 1 - 8 / ) ;

sf = af + bf + cf.

Если одна из главных деформаций равна нулю, деформированное состояние в точке назы­ вают плоским.

Максимальные деформации сдвига. В каж­ дой точке тела имеются взаимно перпендикуляр­ ные направления, для которых деформахщк сдвига 8^^ (/ ^j) имеют максимальные значения.

Эти направления являются биссектрисами между тремя парами главных направлений деформации.

Максимальные сдвиги между указанными направлениями находят по формулам:

В этом случае компоненты шарового тен­ зора вызывают изменение объема элемента тела, а компоненты девиатора деформации

изменение формы этого элемента.

Главные направления девиатора деформа­ ции и тензора деформахщи совпадают.

Инварианты девиатора деформации:

6"-

(1.1.28) при построении различных зависимостей теории упругости, теории пластичности используют иные формы записи второго инварианта IiiD^ •

(1.1.32)

Остальные четыре уравнения могут быть

ч и н а м и о д н о г о и т о г о ж е п о р я ­

(1->2->3->1)

Шесть уравнений (1.1.33) называют уравне­ ниями сплошности линейной теории упругости, или уравнениями Сен-Венана.

(1.1.34)

Зависимости для определения 1/2(^1, ^2, ^з) и 1/з(х1, Х2, хз) могут быть получены путем круго­ вой перестановки индексов. Выражения для перемещений (1.1.34) содержат девять постоян­ ных интегрирования - три линейных перемеще­ ния i/f, «2, и? начальной точки интегрирования

Mo(xf, xf, Х3) и по два угла поворота каждого из трех элементов àx\, dxi, dx^ в этой же тх)чке:

1.1.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПО ЗАДАННЫМ КОМПОНЕНТАМ ДЕФОРМАЦИИ [4,71

Компоненты деформации по формулам п.1.1.1 и 1.1.2, если известны перемещения, оп­ ределяют путем дифференцирования згрих пере­ мещений. Обратная задача: нахождение компо­ нентов перемещения по заданным компонентам деформации требует интегрирования геомехрических соотношений, которые связывают межцу собой компоненты деформации с компонентами перемещения. При этом интегрирование геомет­ рических соотнощений возможно лишь при удовлетворении компонентами деформаций ус­ ловиям сплошности.

Вобщем случае нелинейных геометриче­ ских соотношений [формулы (1.1.9)] их интегри­ рование оказывается весьма сложной задачей. Сравннгельно иросго поставленная задача реша­ ется для линейных геометрических соотноше­ ний (1.1.23).

Впоследнем случае для определения компонекгов перемехДения получим следующие вы­ ражения:

М ' {'М М ' {'-^^f^T ^Ы'

\дх,) ' \дх,) ' l^axjj ' UxJ ' U^sJ ' U^jJ •

Однако эти шес1ъ углов поворота при заданных деформациях связаны между собою уравнениями Коши (1.L23):

^-г) 'U-J ''''' U-3.

(s^)

и поэтому только три из них (по одному из каж­ дой пары) являются независимыми. Следова­ тельно, для однозначного определения переме­ щений необходимо задать в начальной точке М^ шесть параметров: три перемещения и три неза­ висимых угла поворота. Очевидно, что эти шесть параметров определяют условия прикрепления координатных осей к телу. Прикрепление коор­ динатных осей к телу должно устранять его пе­ ремещения как твердого тела и вместе с тем не должно препятствовать любой возможной в точ­ ке прикрепления деформации. Для многосвяз­ ных тел выполнение уравнений сплошности, будучи необходимым, перестает быть достаточ­ ным. В этом случае необходимо дополнительно выполнить условия непрерывности компонентов перемещения при обходе по любому замкнутому контуру (JT/), охватывающему каждую внутрен­ нюю полость и не пересекающему границы тела (рис.1.1.5).

Piic.1.1.5. Трехсвязное тело с двумя внутренними полостями

Условие выражается зависимостями:

i

(1.1.35) Для односвязных тел зависимости (1.1.35)

выполняются автоматически, если деформации удовлетворяют уравнениям сплошности.

1.1.8. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ОБЪЕМА

Относительное изменение бесконечно ма­ лого объема тела в процессе его деформирования определяют по формуле

в = dV dV -dV = (1 + ^1)а + ^2)(1 + ^ з ) - 1 , где dV* - рассматриваемый малый объем тела после деформации.

При малых по сравнению с единицей отно­ сительных линейных деформациях (Д « 1 )

Если далее дополнительно предположить малость по сравнению с единицей сдвигов и углов поворота (допущения линейной теории), то

в= ^11+^22+^33 = ^l+^+^З-

1.1.9.ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ТЕОРИИ ДЕФОРМАЦИЙ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ

[И, 19, 20, 25, 45, 52]

Для тел, ограниченных 1фиволинейными поверхностями, целесообразно при описании де­ формированного состояния применять криволи­ нейные координаты, специально выбранные, ис­ ходя из условий конкретной задачи.

0Рнс.1.1.б. Криволинейные координаты

Пусть положение точек недеформируемого тела определяется тремя параметрами а,- (/=1,2,3). Изменение одного из этих параметров при постоянстве значейий других описывает некоторую кривую линию (рис. 1.1.6). Парамет­ ры а/ называют криволинейными координатами, а

семейство полученных указанным образом кри­ вых - координатными линиями.

Длина элемента координатной линии dsi ~ Hi dai,

где Hi - коэффициент Ламе.

Вдальнейшем ограничимся рассмотрением

ииспользованием лишь ортогональных криво­ линейных координат, т.е. таких, у которых ко­ ординатные линии ai, а2, аз в каждой точке тела пересекаются под прямыми углами. Ортогональ­ ные единичные векторы (орты), совпадающие с касательными к координатным линиям, прохо­

векторов изменяются при переходе от одной точки тела к другой.

Относительное удлинение и углы сдвига. От­ носительное удлинение в некоторой точке тела в

îir =cos(r,2), (i = l, 2, 3).

Компоненты деформации BIJ В выражении для S;. определяют в зависимости от величин относи­ тельных деформаций и углов поворота по фор­ мулам (1.1.12), (1.1.22) или (1.1.23), а входящие в эти формулы параметры eij и о»/ выражают че­ рез компоненты вектора перемещения

и - Uiëi + И2?2 "^ ^3^3

Выражения для остальных параметров еу- и (О/ получаем круговой перестановкой индексов.

Углы сдвига между волокнами, имеющими до деформации направления ej, ^2, ^3, опреде­

ляют по формуле (1.1.14).

Приведенные вьппе форлсулы для опреде­ ления главных деформаций и сдвигов, главных направлений тензора деформаций и его инвари­ антов могут быть использованы без каких-либо изменений и в случае ортогональных криволи­ нейных координат.

Для цилиндрической и сферической систем координат приведем значения параметров Ламе

рис.1.1.7):

Я1=Яз=1; Я2=г; Û = щвх +и^е2 +1/^ез;

PHC.1.1.7. Цнлвцдрическая система координат

r.V.e)

Рис.1.1.8. Сферическая састема координат

С ф е р и ч е с к а я с и с т е м а к о о р - ( и н а т (ai=r, а2=ф, аз=в; J3i=l, ^2=rsm6, Нз=г, рис. 1.1.8):

dr r dip rsine

Глава 1.2

ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ

В главе приведены уравнения равновесия бесконечно малого объемного элемента сплош­ ной среды, находящегося под действием прихо­ дящихся на него внешних объемных сил, а также поверхностных усилий взаимодействия со сто­ роны прилегающей к рассматриваемому объем­ ному элементу оставшейся части сплошной сре­ ды. Все выводы основаны лишь на законах ста­ тики и геометрических построениях. Поэтому содержание настоящей главы справедливо для любых сплошных сред независимо от их механи­ ческих свойств.

1.2.1. ВНЕШНИЕ СИЛЫ. НАПРЯЖЕНИЯ

Внешние силы. Деформирование тела вызы­ вается действием на него различных факторов: усилий механического контактного взаимодей­ ствия с другими телами, сил тяжести и инерции, теплового, магнитного и других физических полей. Обобщенно действующие на тело вне­ шние факторы именуют внешними силами. Вне­ шние силы делятся на поверхностные и объем­ ные. Поверхностные силы действуют на некото­ рой части или по всей поверхности тела. Мерой этих сил является их интенсивность (удельная нагрузка).

A/'v

A5v (1.2.1)

• ^ 0

где A/'v - векгор поверхностной силы, прило­ женной к части поверхности площадью AS^ ; V - внешняя нормаль к рассматриваемой части поверхности теяа (рис. 1.2.1).

3) по степени их определенности - детер­ минированные и случайные силы.

Напряжения [11, 14, 15, 19, 20, 25]. В лю­ бом мысленно проведенном сечении внутри тела, находящегося в деформированном состоя­ нии, действуют внутренние силы упругости. Ин­ тенсивность внутренних сил (рис. 1.2.2)

где APv - векгор внутренних сил, действующих на сечение площадью АлУ^, называется полным напряжением в рассматриваемой точке по данно­ му сечению, положение которого определяется внешней нормалью v. Вектор д^ зависит от положения рассматриваемой точки и от ориен­ тации сечения, проходящего через эту точку.

Интенсивность поверхностных сил обычно выражают через ее проекции на оси координат

^v=^vl^l+^v2^2+^v3^3-

Объемные силы действуют по всему объему тела или некоторой его части. Их мерой является

интенсивность объемных сил

уА V

Х = Ит — , А К - > 0

-> где АХ - объемная сила, действующая на эле-

мектарный объем А V.

Выражение объемной силы через ее проек­ ции на оси координат:

X = X^ê^ -H А^2^2 "*• ^3^3

Внешние силы могут иметь дополнитель­ ную классификацию по ряду других признаков:

1)по характеру изменения силы в процессе

ееприложения - статические и динамические силы;

2)по продолжительности их воздействия на конструкцию - постоянные и временные си­ лы;

^;

Рис. 1.2.2. К определению полного напряжения а^, действующего в площадке с нормалью v

Ниже предполагается, что при приведении как объемных, так и поверхностных сил к неко­ торой точке, принадлежащей элементарному объему (элементу поверхности), моментами этих сил как величинами более высокого порядка

1.2.2. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЭЛЕМЕНТАРНОГО ТЕТРАЭДРА, ВЫДЕЛЕННОГО ИЗ ДЕФОРМИРОВАННОГО ТЕЛА

Бесконечно малый тетраэдр (рис. 1.2.4) вы­ резан из деформированного тела. Три его грани параллельны координатным плоскостям, а чет­ вертая имеет ориентацию, характеризуемую нор­ малью V, направляющие косинусы которой в си­ стеме координат xixjx-i суть /vi, ki, Къ-

Знание этих шести компонентов напря­ жения в точке тела позволяет определить с по­ мощью зависимостей (1.2.5) составляющие на­ пряжения, действующего на любой площадке, проходящей через эту точку.

1.2.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПОНЕНТОВ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ПЕРЕХОДЕ ОТ ОДНИХ КООРДИНАТНЬК ОСЕЙ К ДРУГИМ

Из равенства нулю суммы проекций всех сил, действующих на грани гетраэдра, соот­ ветственно на оси Ох\, 6Ьс2, Охг находим [25]

Остальные формулы ддя определения компонен­ тов a^^ç'2 '"^^3^3 '^41^3 '"^^2^3 определяются путем круговой перестановки нижних индексов

(1-^2->3->1).

Если воспользоваться соглашением о сум­ мировании по индексу, то формулы (1.2.7) при­ мут вид