Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

чает область смешанных разрушений. Для неко­ торых материалов в определенном диапазоне температур один из участков может отсутство­ вать.

1пб

где U[a(t),T(t)] - время до разрушения образца при постоянных CJ и Ту совпадающих с текущи ми значениями а(/) и 7\t), то в качестве крите­ рия длительной прочности при переменных во времени тепловых и механических воздействиях допусгимо принять

/•

Щ= jdt I /4а(0,Г(/)] < 1. (4.1.19)

Рис. 4.1.4. Диаграмма длительной прочности материала

Результаты испытаний материалов на длителън>'ю прочность, проводимых при различных, но постоянных во времени температурах Т, обычно обрабатывают в виде параметрических

в которой функцию Д а ) находят по результатам испытаний при какой-либо фиксированной тем­ пературе, а значение Cj подбирают путем обра­ ботки в координатах Ig/* и Т серии испытаний при заданном уровне а и различных температу­ рах. Для некоторых материалов значение Cj заметно меняется с изменением уровня а и луч­ шее совпадение с данными испытаний может дать зависимость Мэнсона-Хаферда

Зависимости вида (4.1.17) и (4.1.18) и друше такого типа позволяют не только игггерполировать экспериментальные данные для промежу­ точных значений а и 71 но и проводшъ доста­ точно надежную экстраполяцию результатов кратковременных испытаний при более высоких температурах на более длительные периоды нагружения материала при меньших температурах.

Анализ изменения эффективной площади поперечного сечения образца при различном характере его разрушения (78, 79] позволяет распространить гипотезу шснейного суммирова­ ния повреждений на обобщение данных по дли­ тельной прочности применительно к сложным программам нахружения. Если приращение сте­ пени повреждения //3 за период времени dt представить в виде [28]

dn^=dt/Ul<y(thT(t)l

О

Зависимость ^•[а(/),7'(/)] может быть получена из (4.1.17), (4.1.18) или какой-либо другой па­ раметрической зависимости, если ее явно разре­ шить относительно /•.

В случае сложного напряженного состоя­ ния в (4.1.19) вместо а(/) в качестве архумента следует использовать текущее значение интен­ сивности напряжений сГи(/). Для некоторых материалов оказывается существенным влияние на длительную прочность типа напряженного состояния, что удается учесть введением вместо Œj, некоторого эквивалентного напряжения аэкв (например, сГэкв=(<^и+сг1)/2 [20]).

При работе MaTCpHajïa теплонапряженных конструкций в условиях, когда его разрушение зависит от всех рассмотренных выше факторов, в качестве 1фитерия прочности можно использо­ вать условие

Я1Н-Л2-НЯз<1, (4.1.20) которое также следует из гипотезы линейного суммирования повреждений и позволяет учесть влияние сложной программы изменения тепло­ вых и механических воздействий на конструкци­ онный материал.

Глава 4.2

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕРМОМЕХАНИКИ

4.2-1. СООТНОШЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ МАТЕРИАЛА

С ВНУТРЕННИМИ ПАРАМЕТРАМИ СОСТОЯНИЯ

При исследовании поведения деформируе­ мого тела под действием окружающей среды его необходимо рассматривать как термодинамичес­ кую систему. Если термодинамическая система обменивается массой или энергией с окружаю­ щей средой, то такую термодинамическую сис­ тему называют открытой. В противном случае ее называют или закрытой, если отсутствует обмен энергией, или изолированной, если одновременно отсутствуют массо- и энергообмен с окружаю­ щей средой (36, 47, 74, 87].

Состояние термодинамической системы в любой момент времени характеризуется пара­ метрами термодинамического состояния, кото­ рые меняются вместе с изменением системы при

Для получения линеаризованных уравне­ ний термоупругости и термовязкоупругости по­ лагают малыми не только полные деформации,

энергия может быть представлена в виде

ot

(4.2.22) Если задать установившееся значение внут­ реннего параметра состояния в виде Х/ = ^/А:^А; и пренебречь слагаемьв* р{аЛ / дх-)д%^ / dt, имеющим более высокий порядок малости по сравнению с остальными, то уравнение тепло­

проводности (4.2.20) примет вид

^у=Суш(Ч1-^Ш^)' (4.2.19)

где Cyf^i - компоненты тензора модулей упругос­ ти, обладающего свойствами симметрии:

^ijkl""^klij^ ^ijkl'^^ijlk^ ^ijkl""^jikl ^ ^ закон

сохранения энергии согласно (4.2.16)

дТ

Далее необходимо конкретизировать выра­ жение для компонентов вектора плотности теп­ лового потока и внутреннего параметра состоя­ ния, приняв их, например, в виде

где Xy^, X ; - время релаксации и установившееся

значение внутреннего параметра состояния. Объединив эти соотношения, можно получить

единичного тензора четвертого ранга. Объединяя (4.2.24) и (4.2.23), можно получить

где с ••c^+. TcJà^Z^ /àT](déP /dT

J\ ij

удельная теплоемкость при постоянном напря­ жении, определяемая в теплофизических экспе­ риментах.

Если не учитывать связанность полей де­ формаций (или напряжений) и температуры, то процесс теплопроводности описывается уравне­ нием

где Щу Пр Щу njç - компоненты единичного век­ тора нормали к поверхности, разделяющей воз­ мущенную и невозмущенную части термоупру­ гой среды, и направленного в сторону невозму­ щенной части.

мое р(аЛ / ^х^,. Ц^,- /dt.

Задав кинетическое уравнение для опреде­ ления внутреннего параметра состояния Хи ^ виде

якие температурных деформаций на напряже­ ния.

Уравнение теплопроводности для линейной термовязкоупругой среды может быть получено на основе соотношений (4.2.35) и (4.2.21):

4.2.3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОСТИ

Динамические задачи термовязкоупругости - это задачи, возникающие при математическом моделировании отклика элементов конструкций из упругих или термовязкоупругих материалов на динамические воздействия. Под динамичес­ кими воздействиями при этом подразумеваются различные виды импульсных, ударных или быстроизменяющихся температурных и механичес­ ких нагружений. К более распространенным термовязкоупругим материалам в современном машиностроении относят полимеры, эластоме­ ры, композиты на полимерной основе, твердые ракетные топлива, а также некоторые другие материалы. Из полимерных материалов (в том числе наполненных) и эластомеров изготовляют разного рода элементы, абсорбирующие энергию удара, амортизаторы, виброизолирующие и шумопоглощающие устройства и др. Из компози­ ционных материалов (слоистых, дисперсно- и волокнисто-армированных) изготовляют, в част­ ности, различные несущие элементы конструк­ ций автомобильной и аэрокосмической техники.

Динамическое нагружение элементов кон­ струкций обусловлено воздействующими на них импульсньв4и или быстроизменяющимися поверхностньп^и и объемнь»«и силами, а также источниками тепла. При этом деформирование

материала под действием механических нагрузок сопровождается тепловыделением, обусловлен­ ным частичным рассеянием (диссипацией) меха­ нической энергии. Параметры диссипации энергии определяются микрострукгурными ме­ ханизмами деформирования материала, а про­ цесс переноса рассеянного тепла - его теплофизическими свойствами. В композиционных ма­ териалах дополнительный механизм диссипации энергии деформации быть связан с тепловьщелением вследствие трения при локальных относи­ тельных смещениях материалов разных фаз по поверхностям раздела, а также с прогрессирую­ щей повреждаемостью при циклическом нагру­ жений.

При термическом воздействии изменяются механические свойства материала и возникают температурные деформации. Таким образом, при решении динамических задач термоупругости и термовязкоупругости важное значение приобре­ тает учет термомеханической связанности (термомеханического сопряжения), отражающей взаимное влияние механических полей (т.е. по­ лей напряжений, перемещений и деформаций) и температурного поля. Задачи, в постановке ко­ торых учитывается взаимное влияние указанных полей, называют связанными.

Можно условно вьщелить два класса дина­ мических задач термоупругости и термовязкоуп­ ругости. Первый класс - это нестационарные задачи импульсного или ударного термомехани­ ческого нагружения элементов конструкций из упругих и термовязкоупругих материалов, в ко­ торых основное внимание уделяется исследова­ нию физико-механических явлений на фронтах волн, а также характеристик распространения волн, их асимптотического поведения и т.д. Рас­ пространение волн при этом трактуется как рас­ пространение поверхностей разрыва - ударных волн, волн ускорений, других сингулярных по­ верхностей. Второй класс - это задачи о вынуж­ денных колебаниях элементов конструкций на достаточно больших интервалах времени, в ко­ торых, в основном, изучаются амплитудночастотные характеристики колебаний, параметры диссипативного разогрева и виброползучести элементов.

Динамические задачи термовязкоупругости могут быть сформированы на основе общих со­ отношений термодинамики необратимых про­ цессов и механики сплошной среды (законов сохранения), записанных в интегральной или дифференциальной (локальной) форме. В общем виде основные соотношения, определяющие полевые величины в сплошной среде при неста­ ционарных термомеханических процессах, при­ ведены, например, в [110]. При решении конк­ ретных задач динамики термоупругого или термовязкоупругого тела к этой системе основных соотношений добавляют соответствующие на­ чальные и граничные условия.

Особенности указанной системы основных соотношений применительно к термовязкоупру-

гим материалам заключаются в принимаемых определяющих соотношениях. Изложение воп­ росов теории определяющих соотношений свя­ занной термовязкоупругости имеется, например,

в[47].

Вматематических постановках динамичес­ ких задач термовязкоупругости можно вьщетшть, как обычно, два основных источника нeJШнeйности, один из которых определяется учетом конечности деформации среды (так назьгваемая геометрическая нетшнейность), а дру1Х)й - нели­ нейностью определяющих соотношений (физи­ ческая нелинейность). При этом нелинейные определяющие соотношения могут быть приня­ ты и в рамках геометрически линейной задачи. Еще один источник нелинейности может быть связан с нелинейностью граничных условий.

Таким образом, динамические задачи тер­ мовязкоупругости сводятся к решению началь­ но-краевых задач цдя систем нелинейных диф­ ференциальных, интегральных и интегродифференциальных уравнений.

Если анализ конкретной динамической за­ дачи термовязкоупругости ограничивается рам­ ками малых (инфинитезимальных) деформаций, принимают линейные определяющие соотноше­ ния и, кроме того, на границе рассматриваемого тела задают линейные гpaни^шыe условия, то такую задачу называют линейной.

Различия линейных теорий термовязкоуп­ ругости состоят главным образом в используе­ мых определяющих соотношениях. Определяю­ щие соотнои^ения получают обычно постулиро­ ванием выражения для функционала свободной энергии, который каждой истории изменения полей перемещений и температур на промежутке времени [O^t] ставит в соответствие значение свободной энергии.

Приводимые ниже линейные определяю­ щие соотношения связанной термовязкоупругос­ ти заимствованы в качестве одного из возмож­ ных вариантов из работы [114]:

^у (О = Cyi„(0)s^,(t) - Ly (0)6(0 +

Здесь Cy)t/, Ly и с - функции наследственности (тензоры соответственно четвертого, второго и нулевого рангов), являющиеся характеристиками

материала, на которые накладываются некоторые ограничения. В соотношениях (4.2.42), (4.2.43) все величины, определяющие свойства материала и отклик тела, зависят от координат Xfç.

При формулировке конкретных динами­ ческих задач термовязкоупругости необходимо задать соответствующие начальные и граничные условия, которые в совокупности с уравнениями законов сохранения движения и энергии, а так­ же с (4.2.42) и (4.2.43) образуют полную систему соотношений рассматриваемой линейной на­ чально-краевой задачи.

Решение связанных динамических задач термовязкоупругости даже в наиболее простых случаях представляет значительные трудности и может быть осуществлено только на основе при­ менения приближенных и численных методов.

Наиболее часто употребляемый прием, по­ зволяющий получить приближенное решение, состоит в "развязывании" задачи, когда взаим­ ное влияние температурного и механических полей учитывают только частично или влияние, в рамках некоторых дополнительных предложе­ ний о характере термомеханического поведения, вообще не учитывают. Если, например, учиты­ вают влияние температурного поля на напря­ женно-деформированное состояние тела, но не учитывают обратное влияние, т.е. пренебрегают тепловьщелением при механическом нагружении, то такие задачи называют полусвязанными. Для динамических задач термовязкоупругости требуется тщательно обоснование такого допу­ щения.

Некоторые методы решения задач термо­ вязкоупругости рассматривались в [39, 49, 11, 99], где можно найти и дополнительную библио­ графию. Наиболее при решении связанных ди­ намических задач термовязкоупругости пред­ ставляется применение численных методов, ос­ нованных на конечно-разностной и конечноэлементной аппроксимации системы основных соотношений.

На начальном этапе исследования поведе­ ния элементов конструкций в условиях действия высокоинтенсивных термомеханических нагру­ зок целесообразно проанализировать влияние основных параметров нагружения и свойств ма­ териала конструкции на распределение темпера­ туры и напряжений. При этом возможно ис­ пользование простейшей расчетной схемы - уп­ ругого изотропического и однородного полупространсгва с заданными внешними нагрузками. Наибольшие градиенты температуры и напряже­ ния возникают в поверхностном слое конструк­ ции в первые моменты времени после нагруже­ ния, тогда же наиболее сильно проявляется вли­ яние инерционных членов уравнении движения и конечности скорости распространения теплоты на температурные поля и напряжения.

Анализ влияния конечной скорости рас­ пространения теплоты на температурные поля и напряжения при поверхностном нагреве может

q^(t) = m'^i"^ cxp(~mt) / (m -1) !,m > 1;

(T(0,F) = 0;

z -> ooe(z,/) -> 0, cr(z,/) -> 0,

(4.2.46)

ще 7 = / / /Q;/)^ = Ту. / /Q;/Q > 0 - координата

максимума подводимого теплового потока;

Рис. 4.2.1. Зависимость относительной температуры по1>ерхности полуограничеиного тела от времени для ряда значений параметров тя £^

Зависимость Р (отношение температуры поверхности, определенной по (4.2.47), к темпе­ ратуре, вычисленной при 1Я=0) от времени t для ряда значений m и Jfi показана на рис. 4.2.1. Из анализа приведенных кривых следует, что учитывать скорость распространения теплоты

целесообразно при D 2 > 0,(Ю1.

Рис. 4.2.2. Зависимость напр51жеиий в полуограниченном упругом теле от координаты z при 7Р//Я=0,1

Распределения напряжений в полупрост­ ранстве в момент времени / = 5, когда пракгически вся энергия поглощена телом, представле­ ны для /w=2 на рис. 4.2.2. Так как F^j > Vj, то