Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

можно получить решением системы линеаризо­ ванных уравнений (2.3.24):

{*.} = И^о)1- 1 .{Л}

Полученному решению соответствует точка 1 (см. рис. 2.3.2), распо.доженная на продолже­ нии начального линейного участка диаграммы деформирования.

В соответствии с методом переменных па­ раметров упругости для получения следующего прибагижения принимают, что решение задачи теории пластичности сводится к решению соот­ ветствующей задачи теории упругости с такими

значениями матрицы [ir(^)l, которые соответ­ ствуют достигнутому в предьщущем решении уровню узловых перемещений сетки конечньос элементов. Поэтому второе приближение, соот­ ветствующее точке 2 (см. рис. 2.3.2), получают следующим образом:

тела неизменной, решают вновь упругую задачу. На рис. 2.3.3 точка 2 соответствует второму упру1Х)му решению. Эту процедуру вычислений повторяют до получения достато^шо точного решения.

Согласно принципу суперпозиции полное решение линейно-упругой задачи можно найти, просуммировав решения отдельно от внешних и от дополнительных нагрузок. Поэтому целесооб­ разно определять напряженно-деформированное состояние конечных элементов лишь от действия дополнительных нагрузок. При этом полные узловые перемещения, деформации и напряже­ ния находят суммированием полученных вели­ чин с узловыми перемещениями, деформациями и напряжениями предыдущего решения. Напри­ мер, на втором шаге вычисляют поправки к ре­ шению!^Л по формуле

*7 7 *

PI И Г^ используют итерационную процедуру уточнения значения функции co^s^) и ее произ­ водных, входящих в (2.3.33), (2.3.34) (метод уп­ ругих решений Ильюшина [24]). В нулевом при­ ближении со = О, PI =0, FI = 0 и на основе уравнений (2.3.40), (2.3.35) решают линейную задачу. По найденным перемещениям вычисля­ ют деформации s^y по (2.3.3) и их интенсивность е^, а затем по диаграмме деформирования в соответствии с (2.3.28) определяют в каждой

Положительное направление обхода

XI

Рис. 2.3.6. Расчетная область метода граничных элементов

Входящие под интегралы в (2.3.35), (2.3.40) функции И Д Б ) И Pi{B\ в простейшем случае принимаются кусочно-постоянными и задаются на элементах границы S^ при помощи констант

«/Ю=«Г; /?/Ю=Л''- (2-3.42)

В соответствии с (2.3.41), (2.3.42) уравнение (2.3.35) приближенно можно записать в виде

л=1

N

•S и] j py{a,B„)dsJ

^п J

M

'^ m

+ JljUy{a,B„)p*j{B„)dS„. (2.3.43)

Соответственно дискретный аналог граничного интегрального уравнения (2.3.40) будет иметь вид

N

с,(^)«,(Л)«Х p"j jUy{A,B„)dS„

/1=1

N

-z

n=l

т=1у

N ^Zi^ij{^c^^n)p]{^n)^^n^

/,У = 1,2.

Соотношение (2.3.45) представ^тяет собой систе­

му 2N линейных алгебраических уравнений от-

п п п п ^

носительно неизвестных и^ ,U2,Pi,p2- В гра­ ничных условиях задачи для двумерного случая задаются две функции из четырех, следователь­ но, общее число неизвестных тоже 2N.

В общем случае, граничное интегральное уравнение (2.3.40), замененное дискретным ана­ логом (2.3.44), сводится к системе ЗЛ'^ линейных алгебраических уравнений с 3N неизвестными, которая имеет следующую матричную форму записи:

где [£"] - 3N x3N - единичная матрица; [ U\ и \F}-3N x3N - матрицы коэффициентов; (и\ - 3N X 1 - вектор-столбец граничных пере­ мещений; lp\-3N х\ - вектор-столбец гранич­

для смешанной задачи, когда на определенной части границы известны перемещения, на ос­ тальной - напряжения, имеет место общая фор­ ма (2.3.48). Матрица [А] во всех случаях получа­ ется полнозаполненной и несимметричной и, как правило, хорошо обусловленной.

Наряду с рассмотренным выше вариантом метода упругих решений могут бьгть использова­ ны и другие, например, метод дополнительных деформаций и т.п. [1, 4]. Также возможно и более сложное по сравнению с кусочнопостоянным представление функций W/ и pi в пределах граничных элементов [1, 4, 29].

При решении упруго-пластической задачи на основе определяющих уравнений теории те­ чения разрешающие интегральные уравнения формулируются аналошчно рассмотренным вы­ ше, но для приращений перемещений, прира­ щений напряжений и приращений внешних нагрузок. Решение при этом осуществляется шагами по параметру, характеризующему изме­ нение нагрузки или конкретного перемещения [1, 4].

Кроме изложенного вьппе прямого метода граничных элементов, весьма эффективными являются также непрямые методы [1, 4, 29].

Неопределенность в коэффициенте X раскрыва­ ется при решении конкретной краевой задачи для элемента тела путем учета стесняющего дей­ ствия соседних элементов, а для однородного напряженного состояния - независимым от на­ пряжений заданием кинематики.

HocKOJHïKy напряжения в теле ограничены по величине условием пластичности (2.4.1), при возрастании внешних нагрузок может возник­ нуть исчерпание способности тела сохранять равновесие. Такое состояние, при котором ис­ черпывается несущая способность тела, называют предельным. Соответствующие нахрузки являются предельными для данного тела или элеме1гга конструкции.

Если ставится задача определения только предельного состояния, можно пренебречь упру­ гими деформациями по сравнению с пластичес­ кими и принять схему жестко-идеально- пластического тела. Жесткому состоянию мате­ риала, при котором деформации невозможны,

отвечает условие /la^y 1 < а,^,. В рамках этой

модели возможны разрывы как напряжений, так и скоростей деформаций и перемещений [21, 28].

Глава 2.4

ПРВДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ

2.4.1. ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ

Ряд особенностей поведения реальных упругопластических тел и элементов конструкций могут бьгть эффективно исследованы на основе модели идеально пластической среды. Эту среду можно рассматривать как обладающую предель­ ными свойствами упрочняющегося материала при стремлении параметров, характеризующих упро^шение, к нулю. Для такой среды поверх­ ность пластичности фиксирована

Коэффициент пропорциональности dX в ассо­ циированном законе течения (2.2.2) становится неопределенным, а сам закон задает только на­ правление процесса приращения пластической деформации и его целесообразно записать для

. р

скоростей деформации 8

(2.4.2)

Пластическое деформирование возможно только при условии нейтрального нагружения

2.4.2. СТАТИЧЕСКАЯ И КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМЫ

При анализе предельного равновесия жест­ ко-идеально-пластического тела в качестве внут­ ренних параметров состояния принимают на­ пряжения Uy, скорости деформаций ^у и пере­ мещений v^-, а в качестве внешних - силы по­ верхностные JP/, объемные Fj и скорости пере­ мещения точек границы тела F/. Отдельно для статических и кинематических внутренних пара­ метров могут быть сформулированы экстремаль­ ные теоремы, которые позволяют развить эф­ фективные методы приближенного решения задач.

Для статически возможного поля напряжеПИЙ Gу, которое удовлетворяет в объеме тела Q

уравнениям равновесия и граничным условиям на поверхности iS^ и при этом не нарушает уело-

дующее неравенство [16, 21, 28]:

(2.4.4)

где р^, F^ - внешние силы, отвечающие а^..

Неравенство (2.4.4) выражает собой статическую теорему о нижней границе несущей способности тела: мощность внешних сил, соответствующих статически возможному полю напряжений, мак­ симальна для действительного значения сил.

Для кинематически возможного поля ско-

. к

ростеи перемещении v^. и связанного с ним

поля скоростей деформаций ^^-, удовлетворяю­ щего условию несжимаемости Ç^y = О и кинема­ тическим граничным условиям на поверхности тела, можно подобрать такое значение внешних

кк

сил /^ и JFJ , при которых выполняется равен­ ство мощности внешних сил на кинематически возможных скоростях перемещений мощности рассеяния внутренней энергии тела:

где а^. - поле напряжений, связанное с Ç-. ассо­

циированным законом течения; Sf - поверхность

Г ^1

разрыва скорости перемещения; v^. - величина разрыва; tij - компоненты единичной нормали к поверхности разрыва.

При этом имеет место следующее неравен­ ство [16, 28]:

Q

Неравенство (2.4.6) выражает собой кинемати­ ческую теорему о верхней границе несущей спо­ собности тела: мощность внешних сил, соответсгвующих кинематически возможному полю скоростей перемещений, минимальна для дей­ ствительного значения сил.

В рамках жестко-идеально-пластической модели способ нагружения тела до предельного состояния несущественен, поэтому можно счи­ тать, что внешние силы растут пропорционально общему параметру

где Pj ,F^ - некоторые фиксированные безо­ пасные нагрузки; m - параметр нагружения. Неравенства (2.4.4), (2.4.6) дают двустороннюю оценку этого параметра

Если на тело действует единственная нагрузка, то из (2.4.7) и (2.4.8) следует оценка предельного значения этой нагрузки

Р^>Р>Р\ (2.4.9) Статический параметр предельной нагрузки оп­ ределяют из граничных условий на поверхности тела

= m Р: .

Кинематический параметр определяют из (2.4.5):

m = J/^%f^^^J/^%> (2.4.11)

При анализе предельного равновесия элементов конструкций в качестве внутренних параметров состояния принимают обобщенные внутренние силовые факторы и скорости обобщенных пере­ мещений. Условие пластичности и ассоцииро­ ванный закон течения также формулируют в обобщенных факторах. Примеры использования статической и кинематической теорем приведе­ ны в работах [10, 26, 43].

2.4:3. ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТЬ

При повторных нагружениях упругоиде- ально-пластического тела нагрузками, меньшими предельных, возможно возникновение иных предельных состояний, вызванных появлением знакопеременных пластических деформаций или одностороннего накопления деформахщй, при­ водящих к разрушению или недопустимому формоизменению. В то же время существуют такие циклы изменения нагрузок, при которых пластические деформации возникают лишь в начале деформирования, а затем в дальнейшем тело деформируется упруго. В таком случае тело, получив пластические деформации, приспособи­ лось к повторному нагружению без возникнове­ ния новых пластических деформаций.

Теория приспособляемости является обоб­ щением теории предельного равновесия. Стати­ ческие методы анализа условий безопасного деформирования тела при повторных нагруже­ ниях опираются на статическую теорему приспо­ собляемости (теорема Мелана). Эта теорема со­ держит следующие утверждения [9, 26]:

приспособляемость наступит, когда можно найти такое не зависящее от времени поле оста-

выполняется неравенство (2.4.12). Кинематические методы анализа условий

безопасного деформирования тела при повтор­ ных нагружениях опираются на кинематическую теорему приспособляемости (теорема Койтера), которая содержит следующие утверждения [9, 26]:

приспособляемость отсутствует, если при

е

напряжениях а^, определенных в предположе­ нии идеальной упругости по внешним нагруз­ кам, которые изменяются в установленных пре­ делах, можно предложить какой-либо допусти­ мый цикл скоростей пластической деформации

^fjQ, при котором за время / будет справедливо неравенство

стрелке, направление Р - поворотом на угол л/4 против часовой стрелки. Угол наклона линии скольжения семейства а к оси х

Элемент тела, вьщеленныи линиями скольжения а, р, испытывает деформацию ^шстого сдвига. Компоненты (2.4.14) удовлетворяют следующим соотношениям:

уравнениям равновесия

условию пластичности Максвелла-Хубера

K-'^^f+4v=4t^; (2.4.19)

jchji^Gy-Gl^^lç^dQ<0, (2.4.13)

О П где а^у - напряжения, соответствующие кинема­

тически возможным скоростям деформаций ^UQ по закону течения;

приспособляемость наступит, если для на­ пряжений G^j при любых допустимых циклах ^^Q неравенство (2.4.13) не выполняется.

Статическая и кинематическая теоремы приспособляемости' позволяют соответственно определить нижние и верхние границы допусти­ мых изменений циклических нагрузок. Примеры применения статической и кинематической тео­ рем приспособляемости приведены в работах [7, 9, 26, 49].

2.4.4. ТЕОРИЯ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ

Плоская деформахщя возникает в длинных призматических телах при нагрузках, не завися­ щих от продольной координаты z-

Напряженно-деформированное состояние при плоской деформации характеризуется сле­ дующими отличными от нуля компонентами:

соотношениям ассоциированного закона течения

Соотношения (2.4.18) - (2.4.21) образуют систе- м>^ пяти уравнений для пяти неизвестных функ­ ций а^,а ,т , v^,v . Эту систему относят к

гиперболическому типу. Она имеет два двойных ортогональных семейства характеристик, совпа­ дающих с линиями скольжения а, р. Ее реше­

^Х = ^а ^^^Ф ~ ^р ^Шф; V^ = V^ 8Шф -I- Vp С08ф.

(2.4.23)

При этом вдоль линий скольжения выполняются следующие зависимости:

ти^геских направлениях равны нулю (как и в плоской деформации).

Характеристики уравнений плоского на­ пряженного состояния обладают рядом свойств, аналотчных свойствам линий скольжения урав­ нений плоской деформации [26, 46].

При CTQ = т^ систему относят к параболи­ ческому типу. Оба семейства характеристик сли­

Глава 2.5

ПОЛЗУЧЕСТЪ ПРИ ОДНООСНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ

2.5.1. ПОЛЗУЧЕСТЬ И РЕЛАКСАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ