Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

D* o o p p к / ^ о р p o ^

Рассмотрим различные частные зависимос­ ти для поверхности деформирования. Так, если поверхность деформирования имеет вид

при Cl = ai(jE'2,aB,A:„) > 0;а2 = Û2(^2>»>^a) - 0>

a уравнение поверхности нагружения представим следующим образом:

Рассмотрим частные случаи (4.5.26). Полагая в (4.5.26) ÛJ = Û2 =0» получим уравнение поверх­ ности пластического деформирования в неизо­ термической теории пластического течения с изотропньп^ упрочнением

Компоненты тензора а^. определяются из (4.5.26) и поэтому из (4.5.24) получаем

9 (^

^ijmn

4Ю аа,

(4.5.29)

3 &^ dal

^/Ла) 2а^ Эа^ ^А:^-^(/••

Условия активного нагружения в этом случае имеют вид

Выражения (4.5.29) и (4.5.30) совпадают с приведенньв4и в работе [9] зависимостями для неизотермической теории пластического течения с изотропным упрочнением.

ПоЛагая в (4.5.25) ^2 = О, получаем урав­ нение поверхности пластического деформирова­ ния

/ 2 •ha^E2 -2a^D^ - ст^ = 0;

Функция упрочнения в этом случае опре­ деляется соотношением

поненты векторов перемещений, объемных и поверхностных сил, действующих в объеме Q и на его поверхности -5*.

Задаваясь соотношением (4.5.3), связываю­ щим напряжения и деформации в деформаци­ онной теории пластичности, из (4.5.34) можно получить разрешающие уравнения задачи термо­ пластичности, которые нелинейны, так как пе­ ременные параметры упругости в (4.5.4) зависят от параметра пластичности v|/.

Рассмотрим два близких состояния в теле, которые характеризуются векторами перемеще­ ний w^(i) и и^(2), деформациями е^^^^^ и

^тп(2) и напряжениями a^^^j) и а^^^з)- Тогда нелинейные зависимости (4.5.3) и (4.5.4) будут линеаризованы в методе дополнительных де­ формаций следующим образом:

r ^u (tf

1 ^UU) j

/ ^ '

(p a const

4s^ K^ k^

Si/

_^ €urf '.

-J^m^S«^5^^=0, (4.5.38)

a разрешающие уравнения итерационного про­ цесса метода переменных параметров упруххзсти следуют из (4.5.34), которое с учетом (4.5.36) для ^-го приближения примет вид

J ^ijmn{k-l)^mnik)^^ij^ l^ijmnik-D'^^mn^ij^-

получить в качестве уравнений Эйлера уравне­ ния в перемещениях для разл№шых задач. Одна­ ко значение этих соотношений заключается в

для получения теоретических оценок сходимости методов.

Впервые доказательство сходимости метода упругих решений было выполнено И.И.Воровичем и Ю.П.Красовским [15] и базируется на оценке расстояний двух последовательных при­ ближений от точного решения задачи. Это рас­ стояние определяется в энергетической норме

VQ

Для метода упругих решений, метода до­ полнительных деформаций и метода переменных параметров ynpyrociTt получены оценки [15, 91, 95, 102]

ностью деформаций 8^^ и 8^^.

Для метода переменных параметров пара­ метр р имеет вид

Р = 1 - ^ -

*1

где Е^ ^^ максимальньш секущий модуль кри­

вой деформирования на интервале между точка-

J

a напряжения и деформации в двух последова­ тельных приближениях связаны зависимостями

где V|/Q - параметр ускорения сходимости.

Оценка скорости сходимости этого вариан­ та метода приводит к неравенству (4.5.40), в котором параметр сжатия

f(sl,T)-f(s\^,T)^

1

где и - вектор точного решения задачи, а «^ и и2 - векторы двух поачедовательных приближе­

ний.

Параметр сжатия р для метода упругих решений и метода дополнительных деформаций определяется зависимостью

V|/Q. Если в теле имеется упругая область с ц/^ = 1, то V|/Q < 2 .

Рассмотренные методы решения задач пла­ стичности имеют линейную скорость сходимости последовательных приближений [13,15,78,91,95]. Более высокой скоростью сходимости обладает метод Ньютона-Ка1ГГоровича, соотношения ко-

торого в вариационной постановке могут быть представлены в виде [94]

(4.5.42)

где

При таком итерационном процессе на каждом шаге рассматривается фиктивное анизотропное тело с дополнительными деформациями.

Скорость сходимости метода НьютонаКанторовича оценивается неравенством [94]

«2ИР и -и

где 1 < а < 2, а параметр р имеет вид

разно применять метод линеаризации уравнений пластичности, основанный на введении хордаль­ ного модуля кривой деформирования. При этом процесс нагружения разбивают на несколько этапов, расчет которых проводят методом пере­ менных параметров упругости. Начало первого этапа соответствует ненагруженному состоянию тела. Нагрузки на этапе определяются долей полной нагрузки, приложенной к телу. Пере­ менные параметры упругости определяются на участке единой кривой деформирования (рис.4.5.3), соответствующем этапу нагружения. Начало первого участка совпадает с началом координат. Начало второго участка находится в точке с деформацией 8j, = Л8дцл, определенной

на первом этапе. Начало третьего участка находится в точке с деформацией 8jj =A8jj/j4 +A8jj/2), соответствующей полной

деформации двух этапов нагружения. Полные значения напряжений, деформаций, перемеще­ ний определяются суммированием их прираще­ ний по всем этапам. На каждом этапе скорость сходимости метода хордального модуля соответ­ ствует скорости сходимости метода переменных параметров упругости. Однако близость началь­ ного приблюкения к точному решению задач на этапе сокращает число приближений и соответ­ ственно время решения задачи.

Методы решения задач теории пла­ стического течения. Для упругопластических материалов, свойства которых описываются уравнениями теории пластического течения, необходимо рассматривать процесс нагружения, считая, что нагрузки, перемещения, деформации и напряжения являются функциями параметра q (в частности, q определяет время протекания процесса). Рассмотрим два состояния процесса, соответствутрщие значениям qi и ^/+7- ^ этом случае из (4.5.34) при q~qi-\-i получим

Рис. 4.5.3. Итерационная схема метода линеаризации при введении хордального мод^гля кривой деформирования

Основным недостатком метода НьютонаКанторовича является то, что на каждом шаге необходимо решать задачу для анизотропного упругого тела. Поэтому в ряде случаев целесооб­

здесь 'mn^"AG^„,AF^,AF^-mn^^mS ' приращения дей­ ствующих напряжений и нагрузок на интервале [^/>^/+l]î Р/ - весовой множитель, значение которого выбирают из условия улучшения схо­ димости.

Напряжения и деформации в момент

Из (4.5.33) следует, что приращения на­ пряжений можно представить в виде

где

^ijmn - тензор, обратный тензору A^J^^ + С^^^.

онное соотношение для получения разрешающих уравнений в задачах неизотермического пласти­ ческого течения

- J A / ; L ^ W ^ ^ = P/J^mn^^mn^

V"

щий из двух итерационных процессов. На рис. 4.5.4 показаны поверхности текучести для двух последовательных этапов нагружения, соответ­ ствующих началу и концу интервала [^,-,^/^i]. Если для точки тела при активном нагружении началу интервала соответствует точка А на по­ верхности нагружения / u n , то вектор прираще­ ний напряжений задается вектором Ао"^^, на­ правление которого определяется точкой В на поверхности f\(2)- Первоначально положение

точки В неизвестно. Предположим, что она на­ ходится на продолжении вектора Аст^, пред­

жении при условии, что тензоры v|/^., \|/^- опре­ деляются в точке Л, а тензор Су^^ в (4.5.44)

является обратньп^ к тензору A^J^^ ^У^итп- Причем компоненты тензора Л^:^^ и тензора

Су^^ вычисляется в точке А. Параметр у опре­ деляется итерациями. Для этого запишем (4.5.44) в виде

Т

тей тепловых деформаций \^у и деформаций

Т

ползучести \\f^ должны быть определены в про­ межуточной точке интервала. Для этого необхо­ димо построить специальный алгоритм, состоя-

только изменяет его длину и позволяет опреде­

лить первое приближение поверхности /ц2)-

Для определения ее истинного положения при­ меним второй итерационный процесс. Предста­ вим временной интервал Ат в виде

Ах(С) = АхС, О < Ç < I.

Выберем Ç в точках интегрирования Гаус­ са Ç , где q=l,.,.,n, п - порядок точности квад­

ратурной формулы Гаусса.

Проведем серию итерационных процессов метода переменных параметров упругости дня интервалов Лт(С ). Найдем соответствующие им

приращения деформаций ^^гпп' напряжений

Лст^^, параметры »? и Ç^; по ним в каждом

Т с

случае вычислим тензоры Ч^//(л) > "^ijiq) '

грешности, вызванные погрешностями аппрок­ симации и округления при решении задач боль­ шой размерности на ЭВМ. Эти погрешности могут привести к нарушению устойчивости ша­ гового алгоритма и его расходимости [90, 92]. Введение в (4.5.45) весового множителя р^- по­ зволяет обеспечить коррекцию погрешностей и устойчивость алгоритма при условии О < р^ < 2,

если шаги по Т удовлетворяют условиям Куран­ та-Леви [90, 92]. Более подробно эти вопросы рассмотрены в п.4.6.2.

4.5.4.СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ ТЕРМОПЛАСТИЧНОСТИ

ИТЕРМОПОЛЗУЧЕСТИ

^Umn(a)' ^ затем средние значения тензоров на

шггервале Ат:

п

\^ijmn/~Zj ^q^ijmn{q)> q=:l

Рассмотренные в п.4.5.1 и 4.5.2 теории не­ упругого поведения материала в неизотерм№геских условиях не учитывают в явной форме его микроструктуру и микромеханизм процесса де­

формирования, т.е. являются феноменологически­

ми. Испо;и>зование современных физических представлений о структуре конструкционных материалов и микромеханизме неупругого де­ формирования позволяет построить соответ­

ствующие физические модели термопластичности

участок с зависящим от температуры Т модулем упругости Е(Т) и участок линейною упрочне­ ния с коэффициентом упрочнения Е'(Т), при­ чем Е(Т) и Е\Т) одинаковы для всех элемен­ тов. Диаграммы отличаются лишь пределами

тура, для которой определяется спектр распределения G (TQ) ПО структурным элементам. Этот спектр находят по экспериментальной диаграмме растяжения материала G = G(S,TQ) путем ее двойного дифференцирования:

(4.5.52)

В общем случае зависящие от Т коэффициенты

А{Т) и Л'{Т)у В(Т) и В'(Т) могут попарно

отличаться друг от друга. По физическому смыс­ лу А(Т) и А'(Т) связаны с энергиями актива­ ции соответственно процессов преодоления дис­ локации препятствий своему движению и про­ цессов переползания дислокаций в параллельные плоскости скольжения [28]. В первом прибли­ жении можно считать эти энергии одинаковыми и положить А(Т) - А\Т). Коэффициенты В{Т) и В\Т), связанные с соответствующими активационными объемами, также будем считать одинаковыми: В{Т) = В\Т) .

При этих условиях процесс ползучести, описываемый соотношениями (4.5.52) для а у = const, после неустановившейся стадии

к^=-^j(T) Uj(T)dj

Из уравнения (4.5.54) можно найти В(Т), а затем вычислить

А(Т) = §1 / ЦВ(Т)к^ / 2] = 4и / sh[B(Dk2 12].

а . меньше. Именно эти элементы модели будут

раньше выходить из строя, вызывая перераспре­ деление нагрузки между оставшимися элемента­ ми, пока все они последовательно не потеряют работоспособность.

Однако расширение возможностей струк­ турной модели связано с ее усложнением, что

а ст - от 7" и абсолютной величины накоплен­ ной пластической деформации q \

(4.5.58)