Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

никшие во времени, после разгрузки уменьша­ ются и с течением времени совсем исчезают (рис. 2.5.1,д); при пластической они в основном необратимы и после разгрузки уменьшаются во времени медленно и в незначительной степени (рис. 2.5.1,6). Уменьшение во времени деформа­ ций после разгрузки называют обратной ползу­ честью.

Рис. 2.5.1. Кривые с упругим (а) и пластическим (б) последействием

В случае релаксации, когда полная дефор­ мация образца во времени постоянна и напря­ жение в начальный момент времени ст(0) мень­ ше предела пропорциональности материала при температуре испыгания или эксплуатации, на­ пряжение будет изменяться согласно уравнению

где а и 8^ - напряжение и деформация ползучес­ ти в некоторый момент времени t, Е - модуль упругости материала. Это уравнение при сфор­ мулированных выше условиях является основ­ ным уравнением релаксации напряжений. Иной (дифференхщальный) вид этого уравнения:

dt

График зависимости напряжения от време­ ни при постоянной деформации называют кри­ вой релаксации (рис. 2.5.2).

2.5.2. ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ПРОЦЕССА ПОЛЗУЧЕСТИ ПРИ ОДНООСНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ

График зависимости деформации ползучес­ ти от времени при постоянной растягивающей силе (рис. 2.5.3) называют кривой ползучести. В первой стадии ползучести скорость деформахщи ползучести 4^ уменьшается, во второй стадии

она остается постоянной Ç = ^^^^ и в третьей вследствие развивающихся в образце трещин (хрупкое разрушение) или образования шейки (вязкое разрушение) она увеличивается до раз­ рушения образца. Иногда на кривой ползучести отсутствует первая или вторая стадия. С увели­ чением напряжения и температуры скорость деформации ползучести увеличивается, а время до разрушения уменьшается. На рис. 2.5.4,а представлены кривые ползучести при одинако­ вой температуре и различных напряжениях: Стщ > Стд > CTj, а на рис. 2.5.4,^ при одинако­ вых напряжениях и различных температурах:

Начальная деформация

Y1

Рис. 2.5.3. Кривая ползучести с тремя стадиями

Минимальная скорость деформации ползу­ чести является функцией напряжения и темпера­ туры \^ç^ = Ф(сг, Т') и обычно имеет вид

€^

hm

Sa У

^ ^ 1

О

я;

6^

/ frn

О)

Рис. 2.5.4. Кривые ползучести при различных напряжениях и температурах

где Q, Qi,Q2- функции напряжения; Q - функ­ ция времени; Ч/ - монотонно и быстро убываю­ щая функция времени; 0 - функция температу­ ры. Все эти функции определяют эксперимен­ тально. В качестве функции Q часто используют степенную функцию (2.5.4).

Для сопоставления сопротивления ползуче­ сти различных материалов введена условная ха­ рактеристика - предел ползучести.

Пределом ползучести QJ, называют напря­ жение, при котором деформация ползучести за заданный промежуток времени достигает значе­ ния, установленного техническими условиями.

Существует иное определение: пределом ползучести называют напряжение, при котором скорость деформации ползучести равна опреде­ ленной величине, установленной техническими условиями. Оно следует из аппроксимации кри-

с с

вой ползучести прямой линией: 8 = ^min^- Тог­ да по принятой деформации за определенный промежуток можно установить минимальную скорость деформации.

В расчетах на ползучесть обычно предпола­ гают, что механические свойства материалов при растяжении и сжатии одинаковы.

Для функции б(а) используют одну из следующих зависимостей:

В этих формулах к, л, а, Ь, Л, QQ, g, /, /w, TQ - постоянные материала. Некоторые из них, как, например, л, QQ, g, зависят от температуры. Из зависимостей (2.5.4) - (2.5.9) лучше других согласуется с результатами опьггов зависимость (2.5.7) [51]. В расчетах на ползучесть обычно используют зависимость (2.5.4).

Существующие зависимости деформации ползучести от напряжения, времени и темпера­ туры (уравнения кривых ползучести)

Глава 2.6

ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ

2.6.1.ПРОСТЕЙШИЕ ТЕОРИИ

Под теориями ползучести понимают такие соотношения, которые при переменных режимах достаточно хорошо описывают деформирование во времени реальных материалов, а при простой ползучести совпадают с аппроксимационньвш зависимостями, указанными выше.

В простейшем варианте для деформации ползучести и напряжения в случае одноосного напряженного состояния постулируется связь вида

где t - время ; Т - температура. Из соотношения (2.6.1) следует, что деформация ползучести в любой момент времени определяется текущими значениями напряжения, времени и температу­ ры. Естественно, что соотношение (2.6.1) удов­ летворяет исходному требованию о правильности описания кривых простой ползучести, если вре­ мя / отсчитывается с момента нагружения и оно

совпадает с выражением (2.5.10). Отличие (2.6.1) от аппроксимационного соотношения (2.5.10) состоит в том, что оно распространяется и на переменные а и J! Принятие последнего усло­ вия означает, что имеет место теория ползучес­ ти, которую называют теорией старения (иногда деформахщонной теорией старения).

Рис. 2.6.1. Поверхность ползучести по теории старения

На рис. 2.6.1 представлена поверхность, определяемая соотношением (2.6.1), с учетом мгаовенной деформации. Сечения этой поверх­ ности плоскостями, параллельньпм[и координат­ ным, позволяют получить основные кривые. Так, если проведем плоскости, параллельные плоскости tO& (соответствующие постоянному напряжению а), получим кривые ползучести AfDi (OiAf - мгновенные деформации).Сечения ^=const дадут изохронные 1фивые В^Е^. Наконец, сечения 8=const дадут кривые релаксации ^ Q .

Когда кривые ползучести подобны, а упру­ гими деформациями можно пренебречь, тогда для полных деформаций может бьпъ использо­ вано представление

Это соотношение очень удобно при определении напряжений и деформаций, когда известно ре­ шение не;шнейной упругой задачи. В этом слу­ чае Q(t) играет роль коэффтдиента пропорционагшности и t входит параметрически в извест­ ные решения.

Очевидно, что область применимости тео­ рии старения достаточно ограни^гена. Наилучшие результаты использования теории старения в

расчетах получают, когда априори известно, что напряжения в рассматриваемом элеме1гге конст­ рукции меняются незначительно (например, диск, вращающийся с постоянной угловой ско­ ростью, труба под давлением при малых измене­ ниях амплитуды давления). Преимуществом использования соотношения (2.6.1) является то обстоятельство, что в ряде случаев при расчетах могут быть использованы прямые эксперимен­ тальные кривые без их аппроксимации прибли­ женными аналитическими зависимостями.

Часто встречается следующий конкретный вид записи теории старения:

где первое слагаемое существенно при малых / и функция QX(G,T) определяется свойствами пер­ вой стадии ползучести (см. рис. 2.5.4), а функ­ ция Q2{o^T) - свойствами второй стадии ползу­

чести.

Согласно теории старения существенные отклонения от реального поведения материалов наблюдаются, когда происходит резкое измене­ ние напряженного состояния. Например, когда в опыге на прос1ую ползучесть образец в какойто момент времени разгружается, в реа;п>ных условиях деформация ползучести остается (за вычетом деформации обратгсого последствия). В то же время соотношения типа (2.6.3) приводят к условию 8^=0.

Свободно от указанного недостатка соот­

В котором постулируется, что скорость деформа­ ции ползучести является функцией напряжений, времени и температуры. Соотношение (2.6.4) носит название теории течения. Очевидно, что если обрабатьгеаются одни и те же кривые пол­ зучести, то выполняется соотношение

Функцию fi (а, 7) записывают в одном из видов (2.5.4) - (2.5.9). Для соотношения (2.6.7) харак­ терен тот недостаток, что весь процесс зависит от момента отсчета времени /. В теории течеггия может бьггь введено приведенное время т:

Соотношение (2,6.9) формально совпадает с выражением, используемым в теории упругого нелинейно-вязкого тела, для которого зависи­ мость скорости деформации от напряжения име­ ет вид

dt Е dt

Выражение (2.6.10) является физически непротиворечивым, однако оно описывает толь­ ко вторые участки кривых ползучести (см. рис. 2.5.4). Если конструкция эксплуатируется в ус­ ловиях, когда можно пренебречь эффектами, связанными с упрочнением на первом участке, и в то же время rfcT существенных признаков на­ копления поврежденности в материале (не дос­ тигнут 1ретий участок), то соотношение (2.6.10) наилучшим образом описывает процесс ползуче­ сти структурно устойчивых материалов.

В случае, когда необходим учет первой ста­ дии кривьЕХ ползучести для существенно пере­ менных режимов нагружения, используют тео­ рию упрочнения. В соотношеншгх теории уп­ рочнения изменение скорост деформации пол­ зучести в процессе деформирования при посто­ янном напряжении учитывают введением вместо явного времени / накопленной деформации пол­ зучести. Это соотношение можно записать в виде

Наиболее употребимые формы имеют вид

результатов экспериментов с теоретичесю1ми кривыми.

Отметим одну особенность уравнения (2.6.11) в случае, когда используются Л11нейные функциональные связи между напряжениями и деформациями (линейная вязкоупругость). В

Выражение (2.6.16) является частным случаем общего соотношения (2.6.11). В зависимости от параметра jET выражение (2.6.16) может представ­ лять поведение принципиально различных мате­ риалов. Так, при №=0 оно описывает неограни­ ченную во времени ползучес/гь, а при H =АО - ограни^юнную ползучесть. При этом в условиях постоянного напряжения GQ деформации меня­ ются от мгновенных упругих, равных CTQ/£', ДО длительных, которые тоже можно называть упру­ гими, только с модулем Н. Отсюда следует, что

должно вьшолшяться соотношение Н<Е. Очевидно, что, испотшзуя представления,

аналогичные (2.6.12) идя линейного случая связи напряжений и деформаций, можно и для общего типа зависимости получить вариант ограничен­ ной ползучести. Например, уравнение

в широком смысле обобщает как (2.6.16), так и (2.6.12).

В рамках соотношения (2.6.11) может так­ же быть описан и третей участок кривой ползу­ чести. Так, выражение

П2

ФхН а [Ф)] 0. (2.6.15) а-ь1 Ф1(сг)

Справедошвость каждой из приведенных простейших теорий ползучести проверяют опы­ тами на релаксацию и ступенчатое на1ружение. В этих слу^1аях нет необходимоста конкретизи­ ровать вводимые функции / и ф для сравнения

в котором первое слагаемое представляет собой мгновенную деформацию, эквивалентную де­ формации упрочнения.

Из всех введенных соотношений инвариан­ тными по отношению ко времени / являются только (2,6.10) и (2.6.11). Причем первое можно рассматривать как частный случай (2.6.11). По­ этому о (2.6.11) можно говорить как о некото­ ром простейшем законе реономного деформи­ рования материалов, и его называют механичес-

КИМ уравнением состояния. Большинство физи­ ческих теорий ползучести, в которых рассматри­ ваются структурные механизмы этого явления, сводятся к определению вида функции f^ в соот­ ношении (2.6.10) и к попыткам физического истолкования вводимых в это соотношение па­ раметров типа чувствительности к скорости де­ формации, энергии активации процесса и др.

В качестве примера применимости теорий ползучести рассмотрим задачу о релаксации на­ пряжений, когда практически мгновенно в об­ разце создается деформация SQ» которая в даль­ нейшем поддерживается неизменной. В резуль­ тате накопления деформаций ползучести на со­ ответствующую величину уменьшается упругая компонента полной деформации и в образце падает напряжение.

Найдем зависимость изменения напряже­ ний во времени по трем основным теориям пол­ зучести.

Согласно теории старения на основе соот­ ношения (2.6.1) напряжение как функция вре­ мени определится из конечного уравнения

которое интегрируется с учетом начального ус­ ловия

В качестве примера расчета рассмотрим единую исходную систему кривых ползучести, которую можно аппроксимировать зависимостью

И для теории упрочнения (2.6.12) согласно (2.6.14)

Для теории течения, интегрируя (2.6.21) с усло­ вием (2.6.22), имеем

Для теории упрочнения уравнение (2.6.23) с учетом (2.6.26), даже в таком простейшем слу­ чае, сводится только к квадратурам

0/(Уо

0,8 i

Рис. 2.6.2. Кривые релаксации по различным простейшим теориям

На рис. 2.6.2 представлены кривые релак­ сации, рассчитанные по (2.6.27) - (2.6.29), для /1=3 и Р=1/3. По горизонтальной оси отложено

приведенное время т = AEv^^ , по вертикаль­ ной оси - а/аоВерхняя кривая соответствует теории старения, средняя - теории упрочнения, нижняя - теории течения. Кривая релаксации по теории упрочнения всегда располагается между кривыми по теории старения и по теории тече­ ния. Расчеты показывают, что при Р->0 (резкое упрочнение) кривая по теории упрочнения при­ ближается к кривой по теории старения, а при Р-^1 (кривые ползучести стремятся к прямым) кривая по теории упрочнения совпадает с кри­ вой по теории течения.

2.6.2. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ СО СТРУКТУРНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ. КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Соотношения (2.6.1), (2.6.4) и (2.6.11), яв­ ляясь простейшими определяющими зависимос­ тями, выражающими функциональною связь между напряжениями и деформациями для од­ ноосного напряженного состояния, не могут достаточно точно количественно описать ряд наблюдаемых в эксперименте эффектов. Так, ни одно из указанных соотношений не описывает то'шо деформирование материала при испытаНИ51Х на ступенчатую догрузку или разгрузку (полную или неполную). Эксперименты демон­ стрируют резкое увеличение скорости ползучести образца после ступенчатой догрузки.

Кривые ползучести S\ при напряжении с\ и Si при напряжении Ст2 представлены на рис 2.6.3.

Согласно (2.6.42) и (2.6.43) следует, что умень­ шение ^^ при испытаниях с постоянным напря­ жением связано с ростом р. Увеличение р от нуля до некоторого максимального (для данного напряжения ст) значения рщах происходит на первой стадии ползучести. На второй стадии, где скорость ползучести постоянна, величина р оста­ ется неизменной.

Таким образом, по форме кривой ползуче­ сти можно определить закон изменения р. При ползучести, в отличие от мгновенной пластично­ сти, величина структурного параметра определя­ ется не только траекторией деформирования, а зависит также от времени. Значение р определя­ ется взаимодействием двух конкурирующих про­ цессов: атермического пластического упрочнения и термического разупрочнения. Подобное взаи­ модействие можно представить как частный слу­ чай уравнения (2.6.31):

ф = А[\о\,Т)ск' - /'(|4|p|,r)signpt//. (2.6.44) Функция Луо!,^) убывает с увеличением на-

прйжения и температуры. Однако при напряже­ ниях, меньших предела пропорциональности можно, в первом приближении, цринять

i^dal,!"] = Л(7'). Функция /'fla|,|p|,7') соответ­ ствует различным процессам разупрочнения: термическому и динамическому возврату, ре1фисталлизации и т.д. Разнообразие и сложность этих процессов исключают возможность исполь­ зования простой и универсальной аппроксима­ ции. В частности, можно принять

На второй стадии кривой ползучести при ф = О

1

Деформащш обратной ползучести в данном случае будет также пропорциональна предвари­ тельному напряжению, что согласуется с опыт­ ными данными. Скорость деформаций ползучес­ ти во второй стадии

^'^=B(T)k"cs". (2.6.47)

Показатель степени п определяют по эксперимешшшной зависимости Çj^^ от а. В формулах

(2.6.46) и (2.6.47) величина к<1. При к=1 пер­ вая стадия на кривой ползучести отсутствует. Закон изменения р при a=const

Показанная на рис. 2.6.3 деформация в точках Ai и А2, соответствующая асимптоте кривой ползу­ чести, согласно (2.6.46) и (2.6.48) может быть определена по формуле

могут быть найдены по экспериментальным гра­ фикам Ç^ = / ( а , Г , / ) .

Таким образом, все необходимые постоян­ ные материала для изложенного варианта теории можно определить по сетке экспериментальньсс кривых ползучести. Для прин5ггого условия

(2.6.48) и Л(|а|,Г) = Л(Т) согласно теории пол­ зучести с анизотропным упрочнением при сту­ пенчатом нагружении получают те же результа­ ты, которые показаны на рис. 2.6.3 и получены из уравнения (2.6.35). Если в уравнении (2.6.44) функцию i^ выразить в виде

а также учесть уменьшение величины Л(|о|,7'1 с

ростом напряжения, то результаты будут иными. Оперируя единственным структурным парамет­ ром р, теория ползучести с анизогропным уп­ рочнением обеспечивает достаточно широкие возможности для описания опытных данных при переменных нагрузках. Подробное сопоставле­ ние с экспериментом дано в работе [32].

2.6.4. ОБЩИЙ МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ДЕФОРМАЦИИ В ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ

Одним из эффективных методов построе­ ния определяющих уравнений в теории ползуче­ сти является представление полной деформации ползучести е^ в виде сутигмы отдельных компо-

с

нент 8у, каждую из которых можно описать

достаточно простым уравнением. В простейшем случае (2.6.35) деформация е^ разделена на два слагаемых. Однако, если необходим учет боль­ шого числа экспериментально наблюдаемых свойств, двух слагаемых может быть недостаточ­ но.

Рис. 2.6.4. Кривая прямой и обратной ползучести

На рис. 2.6.4 показано изменение дефор­ мации ползучести, наблюдаемое в ряде экспери­ ментов, когда к образцу вначале приложено по­ стоянное напряжение QQ, а затем в момент вре­ мени ti оно снимается. При этом для многих материалов обратимая часть деформации ползу-

'^П оказывается меньше величины 8

соответствующей неустановившейся ползучести (первая стадия). В этом случае деформацию s^ целесообразно разделить на три части:

где 82J - вязкоупругая (полностью обратимая)

с

деформация; е^2~ необратимая компонента де­ формации упрочнения; 82 - деформация чисто вязкого течения.

Деформация 8jj при действии напряжения

ао возрастает, а после разгрузки стремится к нулю (рис. 2.6.5,^. Такой характер деформиро-

с

вания соответствует поведению величины е^ в

(2.6.35). Поэтому для e^j можно использовать уравнение вида

4n=x[M/(a) - 8iiJ, (2.6.52)

которое при постоянном а приводит к выраже­ нию

Однако с помощью одного экспоненциаль­ ного слагаемого первая стадия ползучести опи­ сывается плохо и по сравнению с (2.6.53) луч­

Рис. 2.6.5. Кривые ползучести при нестационарном ширужении

На рис. 2.6.5 показано, как при действии переменного напряжения (рис. 2.6.5,л) изменя­ ются деформации (рис. 2.6.5,^-г).

Аналогично предыдущему возможно разби-

с

ение 8j2 на несколько слагаемых.

Изменение деформации чистого вязкого течения 82 при переменном напряжении пока­ зано на рис. 2.6.5,г. Оно соответствует уравнеПИЮ для величины 82 в (2.6.35) и поэтому пола­ гаем

Набор введенных уравнений оказывается достаточным для описания процесса ползучести многих материалов. Тем не менее известны эф­ фекты, которые не укладываются в рамки этих уравнений.

Например, существуют так называемые аномальные материалы, которые после снятия нагрузки постепенно "забывают" об истории деформирования. В такой ситуации уравнения вязкопластической деформации должны быть видоизменены.

Другая нередко встречающаяся особенность материалов - их нестабильность. В этом случае целесообразно ввести необратимую нестабиль­ ную деформацию согласно соотношению

Уравнение (2.6.57) является вариантом теории упрочнения (2.6.11), распространенной на слу­ чай стареющих материалов (правая часть явно зависит от времени). На рис. 2.6.6 схематически показан случай, когда введение деформации q является необходимым: в зависимости от того, когда приложено напряжение QQ (при /=0 или при /=/Ь)> получаются неодинаковые кривые ползучести (линии 1 и 2).

Рис. 2.6.6. Неинвариантные кривые ползучести

Приведенные уравнения являются некоторьв«и элементами, из которых можно собирать уравнения деформирования очень многих мате­ риалов. Методика расчета по результатам испы­ таний констант и функций, входящих в запи­ санные уравнения, изложена в работе [42j .

Рассмотренные уравнения описывают толь­ ко первую и вторую стадии ползучести. Однако они могут быть распространены на третью ста­ дию, если принять принцип накопления по­ вреждений.

Глава 2.7

ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРИЙ ПОЛЗУЧЕСТИ НА СЛУЧАЙ НЕОДНООСНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

2.7.1. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРИЙ С ИЗОТРОПНЫМ УПРОЧНЕНИЕМ

Напряженное состояние элементов конст­ рукций, как правило, является неодноосным (плоским или пространственньвс). Число экспе­ риментальных исследований ползучести в усло­ виях сложного напряженного состояния сравни­ тельно невелико, и эти исследования относятся почти целиком к плоскому напряженному со­ стоянию (испытания тонкостенных трубчатых

образцов, нагруженных продольной силой, кру­ тящим моментом и внутренним давлением).

В то же время способы обобщения теорий ползучести на случай неодноосного напряженно­ го состояния отличаются многообразием воз­ можностей, а принимаемые при этом гипотезы нуждаются в надежном экспериментальном обо­ сновании. Поэтому ограничимся рассмотрением лишь наиболее простых обобщений, базирую­ щихся на использовании ряда гипотез, прове­ ренных экспериментально на конкретных клас­ сах материалов. К ним относят:

1. В условиях ползучести материал считают несжимаемым, т.е.

8^ + 8^ + г1 =0; С + ^у + 4 =0- (2-7.1)

Эта шпотеза с высокой точностью выполняется, например, для непористых металлических мате­ риалов. Соотношение (2.7.1) означает, что тен­ зор деформаций ползучести и тензор скоростей являются девиаторами. Поэтому в соотношени51х между деформациями ползучести и напряжени­ ями для таких материалов не учитывают первый инвариант тензора напряжений.

2.Третьи инварианты тензоров напряже­ ний и деформаций ползучести не оказывают существенного влияния на процесс деформиро­ вания. Таким образом, из всех инвариантов тен­ зоров в простейших вариантах считают суще­ ственными только вторые инварианты тензоров напряжений и приращений деформаций ползу­ чести, которые пропорциональны квадратам эквивалентного напряжения (интенсивности напряжений) (2.2.12) и эквивалентному прира­ щению деформации (интенсивность приращений деформаций) ползучести (2.2.15).

3.Для теорий ползучести деформационно­ го типа (когда фиксируется связь между напря­ жениями и деформациями ползучести) тензор деформаций ползучести считают подобным девиатору ^ напряжений.

Для теорий ползучести типа течения (когда устанавливают связь между напряжениями и скоростями деформаций ползучести) тензор ско­ ростей деформаций ползучести считают подобньЕ^ девиатору напряжений.

Таким образом, теории деформационного типа вследствие подобия и ранее введенных ги­ потез сводятся к соотношениям вида

а теории, базирующиеся на подобии описываются выражениями вида

где q - napaMeip Удквиста (2.2.9).

В равенствах (2.7.2), (2.7.3) g\ ^ g2 - скалярные

функции четырех переменных.

Принятие гипотезы 3 означает отказ от учета анизотропии материала, накапливающейся