Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин
.pdf90 |
Глава 2.2. ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ |
Уравнения теории малых упругопластических деформаций могут быть использованы и при нагружениях, отличных от простого, если напряженное состояние отвечает конической точке поверхности пластичности, а угол откло нения вектора напряжения от траектории про стого нагружения не превосходит величины
ч (2.2.16)
Щ+ЕР'
где Щ^е) секущий модуль, определяемый из диаграммы ^е = ^тФ[^
2.2.3. ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ АНИЗОТРОПНОГО УПРОЧНЕНИЯ
Экспериментально установлено, что перво начально изотропный материал носле пласти ческого деформирования приобретает анизотро пию пластических свойств. Проявление анизот ропии заключается в том, что деформированный материал имеет различные значения предела текучести в различных направлениях, а также при прямом и обратном нагружениях (эффект Баушингера).
Для описания упрочнения и связанной с ним деформационной пластической анизотро пии вводят наряду с действительными напряже ниями Gy добавочные напряжения р,у, которые зависят от истории изменения пластических
деформаций г^ и постоянны при фиксирован ных Zy. В этом случае функция пластичности Максвелла-Хубера (2.2.8) принимает вид
-a2/r2jêfj = 0. |
(2.2.17) |
Добавочные напряжения могуг быть представле ны различным образом [37]. В простейшем слу-
'у=^[^еУу' (2.2.18)
Функции F и g характеризуют пластичес кие свойства материала и определяются экспе риментально в опытах по выявлению деформа ционной пластической анизотропии, в частности эффекта Баушингера. В случае определения эф фекта Баушингера при одноосном напряженном состоянии
4')=^;4')=^^«-19)
Здесь еР - пластическая деформация предвари тельного растяжения;Стр,| QC | - новые значения
пределов текучести при повторном после раз грузки растяжении и сжатии.
Согласно ассохдаированному закону тече ния приращения пластических деформаций с учетом (2.2.17) выражаются следующим образом:
А AViJ •^O^ij |
• р / у )' |
(2.2.20) |
|
^^К'^е
где
^^ = J - K -^oôy -Pij)(^ij-^o^ij -Pij)
(2.2.21) - интенсивность активных напряжений; Ej^ - касательный модуль диаграммы деформирова
ния: а^ -G^FIZ^ 1. В случае идеального эф
фекта Баушингера, когда Gp-(Jc=2Gj и диаграм ма растяжения материала имеет линейное уп
рочнение с постоянным модулем Ej,
FU > . . ( . ' ) . . 2 ЕЕ^ - с . (2.2.22)
Ъ Е-Е^
Тогда уравнения (2.2.20) с учетом (2.2.4) могут быть представлены в следующей девиаторной форме:
и2CG. {'и -'^fjX'^kl ~С8^/)^^/.(2.2.23)
Вариант теории, отвечающий (2.2.22), (2.2.23),
называют теорией трансляционного упрочнения,
так как поверхность пластичности (2.2.17) при этом испытывает в пространстве напряжений перемещение, не меняя своих размеров. Соглас но (2.2.19), (2.2.20) поверхность пластичности смещается и одновременно расширяется. Такой вид упрочнения называют трансляционно-
изотропным.
Изложенные выше теории анизотропного упрочнения более точно описывают реальное поведение материала, чем теории изотропного упрочнения.
2.2.4. ТЕОРИЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Изменения напряженно-деформированного состояния в некоторой точке тела при его де формировании допускают геометрическую ин терпретацию. При этом можно сформулировать теорию пластичности, не используя концепцию предельных поверхностей и разделения процес сов на активные и пассивные.
Поскольку связь между шаровыми частями тензоров деформаций ъфу и напряжений ао5,у считают известной и подчиняющейся закону Тука, то отыскивают связь между девиаторами ^{Г^у-^Фу и •У;у~ст/-сгооу. При этом принимают, что материал первоначально изотропный и вли яние третьего инварианта девиаторов несуще-
ТЕОРИЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКРОС ПРОЦЕССОВ |
91 |
ственно. Так как компоненты девиаторов линей но зависимы ^/г=0, 5'//=0, вместо шести компо нент каждого девиатора вводят по пять линейно независимых между собой компонент:
1
^1 =i|-^ll> ^2 =>^1
(2.2.24)
- [^ |
- ^ / |
\ |
|
|
•^1 -•! ~*^11' |
^2 - |
1-^22 "'^33/' |
(2.2.25) |
|
V2 |
|
2 |
|
|
5з =72^12; |
^4 =>/2^23^ |
«^5 =^^•5-31. |
|
Компоненты Эу^ (ÀF=1,...,5) МОЖНО рас
сматривать как проекции вектора деформации э~ на ортогональные оси пятимерного эвклидова пространства деформаций. Аналогично компо ненты S]ç (AF=1,...,5) - проекции вектора напря жения J на ортогональные оси пятимерного эвклидова пространства напряжений. Оба про странства эквивалентны, и рассмотрение векто ров э" и 7 удобно вести в одном-пространстве, за которое принимают пространство деформа ций.
Процессу изменения деформированного состояния в точке тела соответствует в простран стве деформахщй некоторая траектория, которую описывает конец вектора э". В качестве незави симого параметра прослеживания процесса при нимают длину дуги траектории деформации /:
\Щ^^аэ^аэ^ =dl', э=э[1). (2.2.26)
s^Aj^Pj^ =|5|cosp^/>^.A: = 1,2..,5, |
(2.2.27) |
где 5 = Ï2 ДО модуль вектора напряжения;
^к(0 - углы между вектором J и осями естест венной системы координат. Функционал | J \ описывает скалярные, а пять функционалов Pj^ (из которых только четыре являются независи мыми) - векторные свойства материалов. Пост роение этих функционалов и их аппроксимация на основе экспериментов в случае произвольных траекторий деформации представляют собой весьма трудную и еще не завершенную пробле му.
В случае траекторий малого кручения (когда ее можно считать плоской) и произволь ной кривизны соотношение (2.2.27) приводится к виду
|
Ç//9 |
(2.2.28) |
ds=Nd5 + |
[P-N)--^s, |
где |
|
kl |
|
|
|
sinPi \dl |
) |
dl cosPi |
|
|
(2.2.29) |
Определяющее уравнение (2.2.28) в тензор |
||
ной форме имеет вид |
|
|
dsy = Ndey +{P-N)^^^sy |
. (2.2.30) |
|
|
2 |
а. |
При траекториях |
средней |
кривизны, когда |
as,= (0,U0,3)-'' |
установлено, что пракгичес- |
Траекторию деформации с построенными в каждой ее точке векторами напряжения J и заданными значениями QQ называют образом процесса нагружения. А. А. Ильюшиным сформу лирован подтвержденный экспериментально постулат изотропии [25]: образ процесса нагру жения в пятимерном пространстве деформаций полностью определяется только внутренней гео метрией траектории деформаций.
Внутренняя геометрия траектории дефор маций описывается движением по ней пятигран ника Френе, представляющего собой естест венную систему координат. Пять взаимно орто гональных единичных векторов Pj^ этой системы
координат выражаются через пять производных
к— / |
к |
вектора по длине дуги d э/ dl |
и четыре пара |
метра кривизны и кручения ae^t траектории («5=0).
В соответствии с постулатом изотропии векюр напряжений в каждой точке траектории деформации можно представить в виде
ки для всех конструкционных металлов и спла вов
7V = 1,36G; Р ^П-е) |
(2.2.31) |
dz^ |
|
где G - модуль сдвига; F{z^ - уравнение единой кривой деформирования материала.
Дпя траекторий |
малой |
кривизны когда |
»1< ( 0 , 1 4 - 0 , 3 ) ^ , |
A^=2G, |
P = ^ = Ej^ и |
Еds^
уравнение (2.2.28) переходит в уравнение (2.2.11) теории течения с изотропным упрочнением. При прямолинейной траектории деформирования (простое нагружение) уравнения (2.2.28) совпа дают с уравнением (2.2.14) теории малых упругопластических деформаций.
92 |
Глава 2.2. ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ |
2.2.5. ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ УПРОЧНЯЮЩЕГОСЯ ОРТОТРОПНОГО ТЕЛА
Ряд материалов имеет ярко выраженную анизотропию пластических свойств в исходном состоянии. Как показывают эксперименты [10, 50], при деформировании характер анизотропии практически сохраняется, а пределы текучести в различных направлениях вследствие упрочнения материала увеличиваются в равной степени.
Для ортотропного несжимаемого тела, ког да в каждой точке существуют три взаимно ор тогональные плоскости симметрии механических свойств, функция пластичности, записанная в осях координат, совпадающих с главными осями анизотропии материала х, у, z, имеет вид
cki
Щ^О +^оЩ +^0^0
X — ( Я о + / Ь + ^ о ) Яп1 Fode4-Oode'y)'
^F,(G,dBl -H,de{^^G,[H,dB{ |
-F,d.',J |
^{HQFQ^GOHQ+FÇ^GO)\ |
|
2 |
|
2 / - Яо(а;, |
- Оу^ + /о(ст^ - а^) |
+ |
+ 2Мот^ |
- Ф^(^) = О, |
(2232) |
где Ло, /о> ^0? ^0» ^0> ^ 0 - параметры анизот ропии материала, которые выражаются через значения пределов текучести в исходном состоя нии при растяжении вдоль главных осей анизот ропии ^jx^^jyy^Tz ^ "Р** сдвиге между этими осями '^Txyy'^Tyz^'^Tzx ^^^ формулам (2.1.1!^).
В отличие от изотропного тела использова ние в качестве параметра упрочнения q работы пластической деформации АР или параметра
Одквиста I dè§ приводит для ортотропного тела
к разным формулировкам теории и к разным результатам расчетов. Лучшее соответствие экс периментам дает теория энергетического упроч нения, предложенная Р. Хиллом, в которой
q - Л^ - Xaijdzfj. В этом случае множитель dX,
входящий в ассоциированный закон течения, равен приращению работы пластической дефор мации
dX = dA^ |
= |
ст |
ds^ , |
(2.2.33) |
^^^ ^экв и ûfe |
|
экв |
экв |
|
- |
эквивалентное |
напряжение |
и эквивалентное приращение пластической де формации, выражаемые формулами:
IHQIG - а ) +
àf^ |
di^ |
âi^ |
2 ^ к |
(2235) |
'лу |
|
M,0 |
||
N,0 |
^0 |
|
||
Для изотропного тела |
|
|||
|
|
|
Zo |
MQ |
HQ = FQ = GQ = —^ = -^ |
= — ^ I эквива |
лентное напряжение аэкв совпадает с интенсив ностью напряжений а^ , а эквивалентное при
ращение пластической деформации deэкв - с интенсивностью приращений пластической де
формации dë^ .
Функцию пластичности (2.2.32) можно представить в виде
а de^ \(2.2.36)
что равносильно функциональнол й зависимости
^экв = ф ( | ^ < к в ) |
(2.2.37) |
|
Функция Ф определяется экспериментально, в частности по диаграмме растяжения в одном из направлений симметрии и трем пределам теку чести в эт-их направлениях. График этой функ ции называют диаграммой деформирования ма териала.
При одноосном растяжении в направлении
оси X
= аст ; de |
1 |
|
(2.2.38) |
- < , |
|
||
где |
а |
|
|
|
|
|
|
^{Rx+Щ |
R = ^^ |
R |
- ^ ^ |
p[R^^R^Ry+Ry)' |
"" GQ' |
У |
Fo' |
Аналогичные результаты будут при растяжении в направлении оси у
1 |
]; |
(2.234) |
+2NQX^ +2MQXI^ +2LQXI^ |
ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ УПЛОТНЯЕМЫХ ПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ |
93 |
где
^M^x+i)
Р = .
и в направлении оси Z
Тзкв=7СТ,; < ^ = - ^ f , |
(2.2.40) |
где
JRx + Ry)
У = . 2(R, + R,Ry + R^y
причем a 2 + P2 +y 2 = 3 .
Зависимости приращений пластических дефор маций от напряжений в соответствии с ассоции рованным законом течения имеют вид
dcj..
(к
<ki^ |
des г. |
|
(kt |
2(Яо+/•(,+с?о) |
(2.2.41) |
|
f:^^ |
|
|
[^оК-'^.х) + ^о(<^г |
-Су)]; |
|
rf«i. |
" 7 jcy |
•ху' |
Яо Ч'/'о +Go £:^стзкв |
ний деформаций при растяжении вдоль осей х и
У- |
|
|
*'11 |
|
|
1 |
1 |
1-- 2 |
(2.2.42) |
||
|
|||||
|
|
|
V
2.2.6.0ПРЕДЕЛЯЮ1ЦИЕ СООТНОШЕНИЯ УПЛОТНЯЕМЫХ ПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Уплотняемые тела (пористые, порошковые, порошки) относят к структурно-неоднородным. В пористых и порошковых телах элементом струкгуры является пора, в порошковых - части ца порошка. При применении методов механики сплошной среды к таким телам принимают, что рассматриваемое тело можно разбить на элемен тарные микрообъемы, характерные размеры ко торых, с одной стороны, много меньше харак терных размеров тела, а с другой, - много боль ше характерных размеров структурных элемен тов. Тогда структурно-неоднородное тело при ближенно можно рассматривать как сплошное, т.е. считать, что материальные объекты, из кото рых оно состоит, непрерывно распределены в занимаемом ими объеме.
В теории пластичности предполагается, что рассматриваемое уплотняемое тело можно счи тать сплошным. При разгрузке частица тела со храняет все деформации, которые она имела в момент начала разгрузки.
Свойства уплотняемых материалов опреде ляются некоторым набором параметров, важ нейшим из которых является плотность р. Здесь и в дальнейшем под плотностью понимают от носительную плотность - отношение размерной макроплотности к плотности твердой фазы, сле довательно, р<1. Относительная плотность вы ражается через пористость 0 , равную отноше нию объема пор в микроэлементе к объему этого элемента: р=1 - 0 .
Упрочнение твердой фазы учитывается па раметром упрочнения X, за который в уплотняе мых телах принимают работу, совершенную над единицей массы. Соответствующее кинетическое уравнение имеет вид
"'к |
3in |
'^«^экв |
|
Но +FQ + GQ |
EIC^^ |
||
|
|||
фР = |
3^0 |
^«^3 |
где Ej^y |
касательный модуль диаграммы |
'(^экв) - |
деформирования (2.2.37). Эти уравнения явля ются основными при расчетах пластического деформирования ортотропных тел.
Если тело имеет форму тонкого листа, то для определения предела текучести по толщине (ось Z) удобно использовать результаты измере
àl |
1 |
(2.2.43) |
— |
= -^ij^' |
|
dt |
p |
отража |
Можно ввести |
другие параметры, |
ющие влияние формы и положения пор на ме ханические свойства материала.
Пластическое течение в некоторой точке тела возможно, если напряжение в этой точке
удовлетворяет |
условию |
пластичности |
ф(^//»р>х)-1- |
Условие пластичности Грина |
|
имеет вид |
|
|
Ф = (G^+C) + —^ = 1 |
(2.2.44) |
зг
94 |
Глава 2.2. ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ |
где GQ = стиôи. / 3 - среднее нормальное напряжение; д^- - символ Кронекера: 0^-. = 1 при / = /
ду= |
|
1/2 |
эквивален- |
О при / 4^j; Qg = [h^SySy^^ |
|||
THoe |
напряжение или |
интенсивность напряже- |
|
НИИ; |
Sy = <Jy - Gç^by |
- компоненты |
девиатора |
напряжении.
Величины а, Ь, с являются параметрами материала. Если с=0, тогда величины а, b вы ражаются через предел текучести при чистом сдвиге Ту и предел текучести при всестороннем
равномерном сжатии pji ci=pj; ZF=XJ.
Для металлических порошков зависимость этих величин от плотности можно представить в виде [52]
Рт =-угГ'^тОР^{1-р) |
т^ = х^оР |
(2.2.45) |
Здесь x^Q - предел текучести при чистом сдвиге материала твердой фазы. Зависимость этой вели чины от параметра упрочнения и температуры определяется так же, как и ддя неуплотняемых материалов.
Соотношения (2.2.44), (2.2.45) не учитыва ют приобретенную анизотропию, вызванную изменением формы и ориентацией пор при де формации.
Обзор других зависимостей пределов теку чести от плотности можно найти в [53].
Закон течения, ассоциированный с услови ем пластичности (2.2.2), выражается соотноше нием
ц = ц |
|
2 |
|
У |
(2.2.46) |
,3 |
а |
|
Ô/; + - |
||
|
|
|
|
||
где А,>0 при Ф=1; Ф = О |
и |
X - О при Ф<1, а |
также при Ф= 1 и Ф < О, где Ф = йЙ> / û^/; ^^y -
компоненты скоростей деформаций.
Условие Х=0 при Ф<1 указывает на отсут ствие деформации в случае, когда напряжения не достигли уровня, определяемого условием пластичности. Деформация отсутствует также в момент начала разгрузки: ^у = О при Ф=1 и
Ф = 0 , где точка наверху означает полную про изводную по времени:
Ф = - 2с^0^0 ^ 2 ^ А
аЗЬ"
Кроме того, Х=0 при нейтральном нагружении.
Величина X равна половине удельной ско рости диссипации энергии (пластической мощ ности):
где ^Q = ^ij^ij - скорость объемной деформации;
4g = д/2г1//Л» / ^ - эквивалентная скорость де формации или интенсивность скоростей дефор маций; Цу = ^у - ô^y^Q - компоненты девиатора
скоростей деформаций; ô^y = 1 при j — i и Ьу = 0 при 7 Ф].
В случае нейтрального нагружения а2 ^ 2 ^
Этому равенству на поверхности текучести соответствует некоторая кривая, при нагружении вдоль которой материал ведет себя как идеально пластический. При этом Х>0, т.е. при нейтраль ном нагружении вдоль этой кривой Ъ^у = 0.
Если условие текучести зависит только от плот ности, предельная кривая представляет собой окружность, лежащую в девиаторнои плоскости, т.е. является экватором поверхности текучести. При нагружении вдоль нее материал испытывает чистый сдвиг.
Из уравнения закона течения (2.2.2) выте кают соотношения для шаровой и девиаторнои частей:
4о |
2Ха,О |
UJ |
_ ^^ij |
_2XG, |
|
а |
b^ |
ЪЬ^ |
|||
|
|
Эти соотношения показьшают, что чисто объемная деформация возможна только в точках пересечения эллипсоида текучести с гидростати ческой осью. Напротив, чисто сдвиговая дефор мация имеет место только на экваторе эллипсо ида.
В других точках эллипсоида текучести мгновенные характеристики сдвиговой и объем ной деформации связаны соотношением, кото рое называют дилатансационным:
:)0 3Z>^a,О а 2 а .
Поэтому уравнение закона течения при нагружении можно записать в виде
а\1+Ъь\] |
2Ь2 ' |
(2.2.47) |
|
Условие текучести (2.2.44) является след ствием этих уравнений.
Величина X может быть выражена также через х Д =0,5рх.
Пластическое течение может происходить только при нагружении. Геометрически это оз начает, что вектор приращений напряжений должен быть направлен за поверхность текучес ти. Ддя условия пластичности (2.2.44) условие нагружения может быть выражено неравенством
Глава 2.3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ |
95 |
а 2 5Ф < р 2QQ ^ . |
(2.2.48) |
^Ф
Это неравенство выражает также условие устойчивости материала, подчиняющегося эл липтическому условию текучести. Материал счи тают устойчивым, если при нагружении его со противление возрастает.
В процессе деформации пористые материа лы могут как упрочняться, так и разупрочняться. Упрочнение всегда имеет место при уплотнении. Напротив, при разуплотнении с ростом пор мо жет происходить разупрочнение. Если твердая фаза - неупрочняющаяся, то при разуплотнении всегда происходит разупрочнение. Если же мате риалы твердой фазы упрочняются вследствие деформации, то разупрочнение при разуплотне нии может отсутствовать.
Глава 2.3
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
2.3.1. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ТЕОРИИ МАЛЫХ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ
Интегрирование системы дифференциаль ных уравнений теории пласшчности связано со значительными математическими трудностями. Поэтому большое значение имеют вариационные принципы, открывающие путь построения эффекгавных прямых приближенных методов, минуя интегрирование дифференциальных урав нений.
Пусть тело, находящееся в равновесии, за нимает объем, ограниченный поверхностью S, на одной части поверхности заданы поверхност ные силы Х^^^ а на другой части поверхности -
перемещения W/.
Согласно принципу возможных перемеще ний для деформируемого тела необходимьп^! и достаточным условием равновесия является ра венство работ внешних и внутренних сил на возможных перемещениях
\x,bu,dV^\x^^bu,dS |
=Ja..Ô8^.ûfF, (2.3.1) |
||
V |
S |
V |
|
где Ъи-^ и |
08^- - |
возможные |
перемещения и |
деформации, связанные между собой зависимос тями Коши; Xi - внешние массовые силы; а^-- -
напряжения.
Уравнение (2.3.1) является основой для разработки различных вариационных методов, в том числе метода конечных элементов, примени тельно к решению упруго-пластических задач по теории малых упруго-пластических деформаций. Если расчет ведется по теории течения, то в этом случае следует ЛГ^, Х^^-, а^-.-, 8^., w^ заменить на их
приращения и расчет вести шагами по нагрузке, использовав в пределах каждого шага методы последовательных приближений, изложенные ниже.
Второй интеграл в левой части (2.3.1) бе рется только по той части поверхности, на кото рой заданы поверхностные силы.
Компоненты тензора напряжений опреде ляются формулой [31]
ап
У |
, |
(2.3.2) |
а,.. = |
ае,(/. |
|
где |
|
n ^ - i ^o + \^г^% - |
(2.3.3) |
О
потенциал деформаций; здесь К - объемный модуль упругости; ео - средняя линейная дефор мация; а^ и Se - эквивалентные соответственно напряжение и деформация.
Первое слагаемое в правой части (2.3.3) представляет собой удельную потенциальную энергию изменения объема, а второе - удельную работу изменения формы. Второе слагаемое можно интерпретировать площадью, ограничен ной диаграммой деформирования материала. На рис. 2.3.1 эта площадь заштрихована вертикаль ными линиями.
бе
Рис. 2.3.1. Диаграмма деформирования материала
|
Если обозначить работу внешних сил на |
||
возможных |
перемещениях через bW, |
то уравне |
|
ние (2.3.1) принимает вид |
|
||
|
|
ОЭ=0, |
(2.3.4) |
где |
3=t\-W |
- полная энергия |
системы; |
П = |
I Y\dV |
- потенциал деформации всего тела. |
Для функционала Э [26] Ъ^Э>^, т.е. дей ствительная форма равновесия тела отличается от всех возможных форм тем, что для нее полная энергия принимает минимальное значение. Эта формулировка определяет принцип минимума
полной энергии.
96 |
Глава 2.3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ |
Пусть действительные напряженные состо яния в различных точках тела характеризуются компоне}ггами аг;у, а близкие напряженные со стояния характеризуются компонентами G^l +ôay., удовлетворяющими дифференциа]п»- ным уравнениям равновесия и храничным усло виям на поверхности. Поскольку а^- и внешние
силы Xj и Xvi также удовлетворяют указанным условиям, то вариации напряжений ба^.- и вари ации внешних сил ЬХ^ и àX^^ образуют урав новешенную систему. Принимая за возможные перемещения действительные, имеем в соответ ствии с принципом возможных перемещений равенство
jbX^u^dV |
+ jbX^^u^dS |
= jbGyS,jdV, |
(2.3.5) |
V |
S |
V |
|
Компоненты тензора деформаций опреде ляются формулой [31]
дЯ
(2.3.6)
да,,
где
(2.3.7)
1 1" J |
|
2К |
О |
|
дополнительная работа; GQ - среднее нормальное напряжение.
Формула (2.3.6) аналотчна широко ис пользуемой в теории ynpyixjcTH формуле Кастиjuiano.
Первое слагаемое в правой части (2.3.7) представляет собой удельную потенциальную энергию изменения объема, а второе - определя ется площадью, заштрихованной горизонталь ными линиями на рис. 2.3.1.
Интетрал
Я = {яаУ |
(2.3.8) |
V
называют дополнительной работой для всего тела.
Уравнение (2.3.5) с учетом (2.3.6) и (2.3.8) преобразуется к виду
jbX^u^dV + iàX^-u^dS = ЬЯ. (2.3.9)
^. S
Уравнение (2.3.9) является математической формулировкой принципа возможных измене ний напряженного состояния тела, согласно которому сумма работ приращений всех вне шних сил на перемещениях точек приложения этих сил равна приращению дополнительной работы всего тела.
В частном С1[учае, когда Xf=0, на части по верхности заданы поверхностные силы и , следовате;п>но, дХ^^ -О, а на другой части поверхно
сти и^- = О, из (2.3.9) следует: |
|
6 ^ = 0, |
(2.3Л0) |
причем ô2jR>0, поэтому из всех статически воз можных напряженных состояний только для истинного напряженного состояния дополни тельная работа для всего тела принимает мини мальное значение. В этом состоит принцип мини мума дополнительной работы.
Принцип минимума полной энергии (2.3.4) является основой для разработки метода перемещений, в котором варьируются переме щения, а принцип минимума дополнительной работы (2.3.10) является основой метода сил, в котором варьируются усилия. Решение задачи этими методами дает возможность установить верхнюю и нижнюю границы решения, т.е. по лучить дополнительную информацию о свой ствах получаемых решений.
2.3.2. МЕТОДЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
Существует несколько вариантов метода последовательных приближений решения упру-
гопластических |
задач. |
В основе |
метода переменных параметров |
упругости [31J лежит представление зависимос тей деформахшй от напряжений по теории ма лых упругопластических деформаций в форме обобщенного закона Гука, в котором параметры упругости зависят от напряженного состояния i поэтому различны для различных точек тела.
Зависимость вектора-столбца напряжени {G} ОТ вектора-столбца деформаций {s} имее вид
Н=№](НЧ^«})Ч^н}. (2.3.11)
где {G^} - вектор-столбец начальных напряже
ний |
(например, |
остаточных |
или |
монтажных); |
{г^} |
- вектор-столбец начальных |
деформаций |
||
(например, обусловленных |
предварительным |
|||
деформированием, |
воздействием температурных, |
электрических и других полей, усадкой, крис таллизацией и т.д.); [/^(е)] матрица податливо сти;
№]= ( l . v - ) ( . - 2 v - )
1-v |
|
|
|
SYM |
|
|
|
|
|
V |
V |
|
|
|
1-v |
1-v |
|
l~2v' |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|||
0 |
0 |
0 |
0 |
l - 2 v |
|
||||
0 |
0 |
0 |
0 |
l - 2 v ' |
|
< - • )
МЕТОДЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИГ>ЛИЖЕНИЙ |
97 |
где £" и V - так называемые переменные параметры упругости [31];
^'-K/e.)/[l + (l-2v)a,/(3&,)];
V = |
^ |
'—^-^ |
^ , (2.3.12) |
l+ ( l - 2 v ) a , / ( 3 & , )
а£' и V - соответственно модуль упругости и коэффициент поперечной деформации.
Для несжимаемого материала, у которого
v=0,5, имеем Е = ^е/^е ^ ^ = ^»5? т.е. переменный модуль упругости совпадает с секу щим модулем диаграммы деформирования, а переменный коэффициент поперечной деформа ции равен половине. .
С целью решения упругопластической за дачи по методу переменных параметров упругос ти используют процесс последовательных при ближений, заключающийся в следующем.
б(Г |
7 |
|
^"з
/У
У;
^
мы деформирования, соответствующей получен ной величине е^^ (ордината точки /' на рис. 2.3.2). Последующие приближения (точки 2 м 3 на рис. 2.3.2) определяют аналогично. Расчеты продолжают до тех пор, пока результаты вычис лений в некотором приближении не будут близ ки к соответствующим результатам в предьщущем. Обычно это имеет место уже }1Л^ второго приближения, т.е. процесс сходится достаточно быстро. При этом точка, соответствующая рас четным величинам а^ и е^, приближается к
диаграмме деформирования.
Недостатком метода переменных парамет ров упругости является необходимосаъ изменять матрицу [Z) (Е)] в тех точках, для которых эквивале1ггное напряжение больше предела теку^хести материала при каждом приближении, что увели чивает объем вьршслений. К методам, свобод ным от указанного недостатка, относят методы начальных напряжений (упругих решений [24]) и начальных деформаций [4].
Согласно методу начальных напряжений на каждой итерации определяют разность между напряжениями в упруго-пластическом теле и напряжениями, найденными из упругого реше ния при соответствующих деформациях. Эту разность учитывают в (2.3.11) в виде слагаемого
|а^^|, что позволяет постепенно в процессе пос ледовательных приближений привести упругие решения в соответствие с искомым упругопластическим решением.
|
|
1 |
1 |
H |
|
|
f |
ь |
|
г* |
£ег |
«е |
|
|
|
» • |
/ i Г |
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.3.2. Схема расчета по методу переменных параметров упругости
Считают, что до приложения нагрузок из вестна матрица \D (s)], совпадающая с матрицей
упругости, т.е. принимают Е |
- Е и v = v. |
Тогда начальное приближение |
итерационного |
процесса получают путем решения упругой зада чи. Этому решению в каждой точке деформиру емого тела соответствует точка / (рис. 2.3.2), не принадлежащая диахрамме деформирования материала и расположенная на продолжении начального линейного участка. Для получения
следующего приближения коэффициенты Е и
V корректируют по формулам (2.3.12), в кото рых эквивалентную деформацию считают равной Egj (абсцисса точки 1 на рис. 2.3.2), а эквивален тное напряжение - равным а^^ в то^псе диаграм
"è
il
|
|
f |
' ' |
|
0 |
|
' |
|
|
\// |
«" |
Ce\ |
||
|
||||
|
|
|
^\ г V
»4 \
Рис. 2.3.3. Схема расчета по методу начальных напряжений
Итерационный процесс строят следующим образом. В начальном приближении принимают
|а^^| = 0. Тогда,, считая, что Е = Е и v = v,
98 |
|
|
|
|
Глава 2.3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ |
|
|
||||||||||||
находят напряжения и деформации начального |
|
Последовательность вычислений по методу |
|||||||||||||||||
линейного решения (точка 1 на рис. 2.3.3). Затем |
начальных деформаций |
аналогична изложенной |
|||||||||||||||||
в каждой точке деформируемого тела определя |
выше процедуре для метода начальных напряже |
||||||||||||||||||
ют нача1П)Ные напряжения |
|
|
ний. |
В |
начальном |
приближении |
считают |
||||||||||||
|
|
|
К } = Ь}-{^1}. |
(2.3.13) |
= Е, |
V |
= V и |
(г^} |
-^' |
Решая |
упругую |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задачу, определяют напряжения и деформахщи |
||||||||||
где |
{^Л |
- |
напряжения |
в |
упругопластическом |
начального приближения. Последним на плоско |
|||||||||||||
теле, |
соответствующие эквивалентной деформа |
сти |
8g - |
Qg |
соответствует |
точка 1 (рис. 2.3.4). |
|||||||||||||
Затем в тех точках деформируемого тела, для |
|||||||||||||||||||
ции |
8gj |
и |
эквивалентному |
напряжению а^^, |
|||||||||||||||
которых эквивалентное напряжение больше пре |
|||||||||||||||||||
подсчитанному по заданной кривой деформиро |
дела текучести материала, определяют вектор- |
||||||||||||||||||
вания; |сгЛ |
- напряжения, определенные в уп |
столбец начальных деформахщи |
|
^"•'^' |
|||||||||||||||
|
В следующем приближении считают, что в |
|
|
|
|
K} = h}-{4 |
|
||||||||||||
ругом решении. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
каждой точке деформируемого тела имеют место |
где |sj I |
- векгор-столбец деформаций в упруго- |
|||||||||||||||||
начальные напряжения {сг^,} предьщущего ре |
пластическом теле |
при |
напряжениях, |
достигну |
|||||||||||||||
шения, |
входящие |
в (2.3.11). Полагая матрицу |
тых в упругом решении, 1гЛ - вектор-столбец |
||||||||||||||||
D{z) неизменной, решают вновь упругую задачу. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
На рис. 2.3.3 точка 2 соответствует второму уп |
деформаций, полученных в упругом решении. |
||||||||||||||||||
ругому решению. Здесь же показан процесс вы |
|
Последующий расчет проводят так же, как |
|||||||||||||||||
числений по методу начальных напряжений. |
по методу начальных напряжений. Однако вы |
||||||||||||||||||
Точка 2 лежит на линии, параллельной началь |
числяют начальные деформации при достигну |
||||||||||||||||||
ному упругому участку, но сдвинутой вниз на |
том уровне напряжений, а не начальные напря |
||||||||||||||||||
величину приращения эквивалентного напряже |
жения при достигнутых деформациях. Процесс |
||||||||||||||||||
ния |
Aa^^j предыдущего решения. Аналогично |
вычислений |
по методу |
начальных |
деформаций |
||||||||||||||
показан |
на |
рис. |
2.3.4 |
цифрами |
без |
штрихов. |
|||||||||||||
отыскивают |
все |
последующие приближения |
|||||||||||||||||
Точка |
2 лежит на линии, |
параллельной началь |
|||||||||||||||||
(точка 3 на рис. 2.3.3 и т.д.). |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
ному упругому участку, но сдвинутой по оси |
|||||||||||||||||
|
Согласно |
методу |
начатьньгх |
деформаций |
|||||||||||||||
|
абсцисс на величину приращения эквивалентной |
||||||||||||||||||
после каждого упругого решения определяют |
начальной деформации первого расчета. После |
||||||||||||||||||
учитываемые |
в |
(2.3.11) |
начальные |
деформагщи |
определения точки 2 строят следующее прибли |
||||||||||||||
| 8 ^ | , необходимые для приведения |
напряжений |
жение по изложенной методике (точка 3 и т.д.). |
упругого расчета к напряжениям в упругопластическом теле.
Ос
i |
^ V ^ ^ |
|
f / |
/ |
/ |
|
Рис. 2.3.5. Схема для сравнения расчетов по методам |
0 |
|
€^f |
e« |
начальных напряжений и начальных деформаций |
.^ |
|
|
> |
Различие методов начальных напряжений и |
|
|
начальньгх деформаций можно проследить с |
|
помощью рис. 2.3.5. Пусть точка 1 соответствует |
|
|
начальному приближению. Тогда, вычисляя по |
|
|
правку к этому решению по пути 1-1', приходим |
|
Рис. 2.3.4. Схема расчета по методу начальных |
к рассмотренному методу начальных деформа |
|
ций, а вычисляя поправку по пути 1-Г\ прихо- |
||
деформаций |
||
|
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ |
99 |
|
ДИМ к методу начальных напряжений. Очевидно, чю для диаграмм деформирования, близких к линейным, различие двух методов невелико. Однако в случае существенной физической не-
.чинейности выбирать метод следует в зависимос ти от вида кривой а^ =GJe\ Метод началь ных деформаций в изложенной постановке наи более эффективен при исследовании материалов типа резины (штриховая линия на рис. 2.3.5). Для металлов, однако, характерна зависимость, представленная сплошной линией. В этом случае эффективнее использовать метод начальных на пряжений. К тому же изложенный метод начшшных деформаций совершенно не применим при рассмотрении металлов, диаграмма дефор мирования которых имеет горизонтальный учас ток, так как в этом случае начальные деформа ции нельзя определить однозначно.
По отмеченным причинам целесообразно использовать метод начальных деформаций в другой постановке. Согласно этому методу при ращение эквивалентной начальной деформации на первом расчете считают равной не аг^^, а
равной Ae^j^j (см. рис. 2.3.4). Решения, полу ченные аналогично изложенному выше методу начальных деформаций, изображены на рис.2.3.4 цифрами со штрихами.
2.3.3. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Метод конечных элементов (МКЭ) основан на представлении деформируемого тела в виде системы конечных элементов. Например, в об щем случае трехмерной задачи таким элементом может быть тетраэдр. Перемещение любой точки внутри конечного элемента определяется тремя компонентами и^,и ,и^ в направлениях осей
координат соответственно х, у и Z- Так, для пе ремещения в направлении оси х имеем
+ а^х + а^у + а. |
(2.3.15) |
зУ- |
|
где a j , а 2 , а з , а^ - постоянные коэффицие1ггы, определяемые четырьмя условиями в узлах;
и^ = aj +а2Х^ +OLjyi + a^Z/, (2.3.16) где W . - перемещения в направлении оси х
узловых точек; л:^.,у^ И Zi |
соответствующие |
узловые координаты. |
|
С помощью коэффициентов а^,.. а^ мож но получить зависимость Ux от координат точки внутри каждого конечного элемента [19]. Анало гично получают и зависимости перемещений Uy и и^ от этих координат. Деформации определя ют с помощью соотношений Коши:
dUf |
du. |
(2.3.17) |
L-i- |
L |
2 ôx, ôx,-
Следовательно, вектор деформаций {8}=[i?]{?}, (2.3.18)
где [В] - матрица, определяемая аппроксимаци ей перемещений по объему выбранного конеч ного элемента [19]; |^} - векгор-столбец узло вых перемещений, имеющий вид
M;c4,W^4,«^4| ,
где T - значок транспонирования.
Если принять, что соотношения (2.3.18) выполняются на всем пути деформирования тела, т.е. задача является геометрически линей ной, то соотношения (2.3.11) и (2.3.18) позволя ют установить матрицу жесткости конечного элемента. С этой целью принцип возможных перемещений (2.3.1) применяют к конечному элементу, находящемуся в равновесии, т.е.
jb{zY{c}dV=b{qY[R], (2.3.19)
К
где д(г\ - вектор-столбец возможных деформа ций; ^{я} - вектор-столбец возможных узловых
перемещений; 1Я} - вектор-столбец узловых усилий конечного элемента, откуда следует:
где
Ш = 1М[ЩР¥^ - (2.3.21)
У.
матрица жесткости конечного элемента;
ft =\тЩ]Ы^^- (2-3-22)
узловые |
У. |
обусловленные |
начальными |
усилия, |
|||
деформациями; |
|
|
|
|
[Щ^ |
=-JB^{G^}dV- |
(2.3.23) |
узловые |
усилия, |
К |
начальными |
обусловленные |
|||
напряжениями. |
|
|
В результате применения принципа воз можных перемещений (2.3.1) к системе конеч ных элементов получается уравнение, аналогич ное (2.3.20), но для всего тела
№ ] M = W + We„ +W<,„' (2-3.24)
где {q} - векгор-столбец узловых перемещений сетки конечных алементов; |i?},|jRj ,|7?J
векторы-столбцы соответственно внешних узло вых усилий сетки конечных элементов, усилий, обусловленных начальными деформациями, и