Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

УЗз =Ц2Многие конструктивные элементы пред­

ставляют собой тела вращения, причем тепловое и механическое воздействия на эти элементы также являются симметричными относш^льно оси вращения. В таком случае параметры на­ пряженно-деформированного состояния зависят (как и в плоской задаче) от двух координат, а именно: от осевой Х2 и радиальной Хх и не зави­ сят от окружной координаты ХзЗадачу термо­ упругости по определению этих параметров на­ зывают осесимметричной.

Соотношения между деформациями и пе­

и для изотропного материала закон Гука можно записать в форме

^22 =К2-^(^11 +стзз)]/^+«А7^;

Уп =Y21 = ^ 1 2 / ^ = ^21/^^-

Решая эти соотношения относительно напряже­ ний, получают матричное выражение, в котором

{аУ ={cJ22>^lP^33'^12}'

W ==Г22'^11'^33'^12}' {zf = { а А Г , а А Г , а Л Г , 0 } ,

а [/)] - симметричная матрица (4x4) коэффици­ ентов упругости с компонентами

( l + v ) ( l - 2 v )

D^=^; / ) i 4 = / ) 2 4 = 2)34=0 . Вариационная формулировка осесиммет­

ричной задачи термоупругости будет содержать функционал

F

(4.4.39) F - площадь осевого сечения рассматриваемого тела; Г' - часть контура этого сечения, на кото­ рой заданы поверхностные распределенные силы

с составляющими />j и /?2 • Функционал (4.4.38) допустимо рассматривать на непрерывных рас­ пределениях составляющих перемещения Wj и «2) удовлетворяющих кинематическим гранич­ ным условиям на части контура Г :

от соответствующих выражений (4.4.26) для плоской задачи термоупругости лишь наличием множителя Xi в подынтегральных выражениях, поэтому если осевое сечение тела представигь совокупностью треугольных конечных элемен­ тов, размеры каждого из которых малы по срав­ нению с его средним радиусом Xjg, то нетрудно перейти от приведенных ранее соотношений МКЭ для плоской задачи к соотношениям для осесимметричной. Действительно, вместо фор­ мул (4.4.28) для элемента с номером е, площа­

Х21 и Xj^ - координаты узла с номером /. Для остальных значений формулы получают цикли­

в направлении его обхода против часовой стрел­ ки.

матрица (4x1) (вектор-столбец) <8 > будет иметь

компоненты

( е)^ ( е е е е \

матрица (6x1) (вектор-столбец) {w J -

a матрицу (4x6) [i?^] можно, по-прежнему,

разбить на три подматрицы согласно выражению (4.4.30), но^теперь в первом приближении

Для вкладов элемента e в глобальную мат­ рицу жесткости [К\ и вектор нагрузки {Р} будут справедливы формулы соответственно (4.4.32) и (4.4.33), если их правые части умножить на Xi^,

а в выражениях для {/?.• [ и |/ ) } Xj заменить

на Х2, а Х2 - на Xj. В итоге после суммирования вкладов по всем элементам ддя определения узловых значений перемещений «2/ ^ Щ] полу­ чится матричное уравнение вида (4.4.29), кото­ рое перед решением должно быть (как и в случае плоской задачи) преобразовано с учетом гранич­ ных условий (4.4.40). После определения неизве­ стных узловых значений перемещений деформа­ ции и напряжения в каждом элементе находят по формулам (4.4.31) и (4.4.33).

В случае ортотропного материала, для ко­ торого в каждой точке тела оси ортотропии со­ впадают с направлениями Х2, Х\ и Хз, с учетом температурных деформаций и осевой симметрии

(Y23~Y31~^ И УЗ2~У13~^) можно записать:

^22 =^22 / ^ 2 -^12^11 / ^ 1 -^32^33 / ^ 3 -^ <^2^Т ^11 =-^22^21 / ^ 2 +^11 / ^ 1 -^31^33 / ^ 3 +«1^'^

Y21 ^21 / > ^ 2 1 -

Если определить из этих соотношений на­ пряжения, то получится матричное выражение (4.4.25), в котором вектор начальной деформа­ ции

^33 = ^3(1 -^12^21) / -^; А2 = ^гЫ +^13^32) / Z'

(4.4.41) Если материал трансверсально-изотропен относительно окружного направления, вместо

соотношений (4.4.41) получим

A l =^22 = ( ^ 1 - - ^ 3 ^ 2 ) / ' ^ 1 ;

А2 = ( V i + V 2 ) / ' ^ i ;

A 3 = ^ 2 3 = ^ 3 V 2 { l + V i ) / Z i ; ^ 4 4 = ^ ^ i = ( ^ i / 2 ) ( l + v,);

/ ) l 4 = ^ 24 D,,=0,

а ддя вектора начальной деформации

{zç^Y ={a^AT,a^AT,a^ATfll

В осесимметричньЕХ элементах конструк­ ции не все оси ортотропии материала могут со­ впадать с направлениями Xi, Х2, х^. Чтобы зада­ ча термоупругости в этом случае сохранила осе­ вую симметрию, необходимо совпадение одной из осей ортотропии с направлением окружной координаты ХзЕсли две остальные оси ортотро­ пии материала повернуаы в плоскости осевого сечения тела на угол р относительно направле­ ний Х2, Xi, то в уравнении (4.4.25) следует ис­ пользовать преобразованную ма-хрицу (4x4) ко­ эффициентов упрзпгости [/) I с компонентами, определяемыми по формулам вида:

Г^ =1\^ sin^ Р-^(А4 +2Z^)sin^ Poœ^ Р+А2 ^ ft

А з ' = % A4'= A4+(Ai+А2-2А2 - A4)s^^2P;

z\2'= А?+(Ai +А2-2А2 - Aijsiïi^P^^^P;

(4.4.42)

Аз = Аз ^^^ P "^ ^23 ^"^ P>

A/=[i)22Sin^P-2)liCos^P^(l/2)(Z)44+2i)i2)x

xcos2p sin2P;

A4'=[^22««^P - AlSm^P - (l/2)(/)44+2/)i2)x

m = 1,2,.,.,TVp; | ^ ' | - матрица 2Л^г^1 (векторстолбец), компоненты которой 52(»-1И*=/[//"(Л/)«1*'(Л/,ЛГ„) +

учитывают влияние на контурные узловые точки

27Vrx27Vr с компонентами соответственно

координатных осей (например, Х|) с нормалью к этому участку имеем

При N^ е Г*". При произвольном расположе­ нии координатных осей Х/, /=1,2, относительно участка Г , на котором вьщелены Ny гранич­ ных элеме}ггов, к (4.4.46) необходимо для 1^аждой узловой точки добавить уравнения

«ДЛГ„)«,(Л^„)=0; / = 1,2

где через N^ обозначен п-й граничный узел, а через Т^ - длина граничного элемента с номе­ ром т.

При п=т в подынтегральных выражениях возникают особенности и требуются специаль­ ные приемы интегрирования в окрестности уз­ ловой точки AI-го граничного элемента, когда r(N,Nn)->0, NeTn- Для прямолинейного эле­ мента несобственные интегралы нетрудно вьиисjonb аналитически. Криволинейный граничный элемент в окрестности узловой точки NeT„ МОЖНО приближенно представить прямолиней­ ным участком rjj, для которого интегралы нахо­ дят аналитически, а на остальной части элемен­ та, где особенности в подинтегральных выраже­ ниях отсутствуют, интегрирование проводят чис­ ленно. Так как (4.4.46) справедливо и для част­ ного случая перемещения тела как жесткого це­ лого, для каждой строки матрицы \Н] сумма

компонентов должна быть равна нулю. Поэтому диагональные компоненты этой матрицы можно также найти из равенства

Таким образом, (4.4.46) связьшает между собой узловые значения перемещений и распре­ деленных поверхностных нагрузок на контуре поперечного сечения тела. Согласно заданным граничным условиям в каждой узловой точке в каждом из направлений Х/, /=1,2, будем считать известными значения либо перемещения, либо распределенной нагрузки.

Если контур поперечного сечения тела со­ держит участок Г", то при совпадении одной из

Тогда (4.4.46) в сочетании с (4.4.49) будет содер­ жать 2NY неизвестных, которые можно опреде­ лить из матричного уравнения

Ap,=-Gps-GpMNm)/n,(.N„);.

^P =^'p^^pqPq-t^pr^r'^

/=1,2; /w=l,2,...,7Vr- ^то позволит из (4.4.45) при Q(MQ) = 2'K найти перемещения Uj^{Mç^) (А:=1,2) в любой внутренней точке Л/Q е F поперечного сечения тела:

F

Ятя определения напряжений можно воспользо­ ваться (4.4.25)

0:ЛМс.)=-\1 2 1 + V t.^^(Mo)-38^^4M, 3 1 - 2v

+^^

/,ЛА:-1,2; Мое/' .

(4.4.52)

Объединяя (4.4.51) и (4.4.52), получают

N

F

-2(x, - x?)(x; - x^) / r2(M,Л/о)] / [ 7t(l. - V) X

жг^(М,Л/о)] = [5^.-2(x,.-xf)x

x ( x y - x ; ) / r ^ M , M o ) ^ ( l + v ) / [ 7 t ( l - v ^ ) x

хг^Л/,Л/о)]

Если принять, что в пределах каждого гра­ ничного элемента с номером е зависимости Ui(N) и p^(N), N е 1\ изменяются по ли­ нейному закону, то узловые точки целесообразно расположить на стыке соседних элементов. Пусть узлы m и т-\-\ принадлежат элементу е. Тогда

(б)(в)

vv^^jTV = О, когда TV совпадает с узлом m, а при совпадении А^ с узлом т+\ w^(е)N -О и

(4.4.53)

где

Z)j,.,(W,Mo) = {(1 -2v)[(x,. -х,")5д +(x,. -x»)8;, -

x(jc^ - x;^) / г\м,Мо)] I [4«(1 - v)r^(M,M{,)];

V ( ^ ' ^ o ) = ^^{2(l - 2v)[(x, - xfXxy - x^")5^ +

+8Д(** - 4 )(*/ - */*)] + 2v[(x,. - x])8д (x, - xj*) +

+5,.,(Xy - x]){x^ - лг") + 8,vfc(Xy - x")(x, - x") +

+(x,. -x]){x^ -x^)ôy/j-8(x,. -xf)(xy -Xy)x

x{x4 -x;^)(x, -x)')/r^Ar,Mo)+[(l-2v)(5,^5a +

+S,.,Ô^) - (1 - 4v)S^.Ô^/p (iV,Mo)j / [2it(l - v) X

x/(7V,Mo)];

Теперь в (4.4.46) компоненты матриц \Н] и [G] следует вьиислять по формулам

г,.,+г.

^(2я-2+*:)(2га-2+/) \ul''\N,N„)wJN)dr(N),

нальных компонентов матрицы [^1 справедливо (4.4.48), а для компонентов вектора {В'\ -

(4.4.47).

Переход от матричного уравнения (4.4.46) к (4.4.50) остается прежним, но после решения (4.4.50) перемещения и напряжения во внутрен­ них точках поперечного сечения тела вместо (4.4.51) и (4.4.53) вычисляют по формулам:

Изложение метода граничных элементов применительно к решению разнообразных задач с подробным изложением теоретических основ и особенностей его реализации на ЭВМ содержит­ ся в [12, 50, 65, 101] и др.

Метод конечных разностей также может быть применен для расчета упругих температур­ ных напряжений в элементах конструкций, но он обладает меньшей общностью по сравнению с рассмотренными. Особенности его применения к решению ряда конкретных задач содержатся, например, в [65, 75].

Некоторые другие численные методы рас­ смотрены в [75].

Глава 4.5

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОПЛАСТИЧНОСТИ И ТЕРМОПОЛЗУЧЕСТИ

Для определения неупругого напряженнодеформированного состояния теплонапряженных конструкций при изменяющихся во времени температурах и нагрузках необходимо решать нелинейные задачи термопластичности и термоползучести. Если предполагать малость дефор­ маций, то нелинейность является следствием соотношений, связывающих между собой на­ пряжения и деформации в конструкционном материале и составляющих математическую модель этого материала. Необходимость приме­ нения той или иной модели материала обуслов­ лена в основном характером действующих на конструкцию нагрузок и ее температурным со­ стоянием.

Для большинства конструкций, работаю­ щих в условиях неизотермического нагружения, можно выделить режимы с постоянньв1И нагруз­ ками и температурами и этапы перехода с одно­ го режима на другой. В этом случае целесооб­ разно отдельно рассматривать этапы пластичес­ кого деформирования при действии высоких температур и задачи ползучести в периоды рабо­ ты конструкции при постоянных или мало ме­ няющихся нагрузках и температурах. Однако в общем случае разделить во времени период по­ явления только пластических деформаций и только деформаций ползучести затруднительно. Это характерно для машин, работающих на ре­ жимах с переменными нагрузками и температу­ рами (маневренные двигатели, энергосиловые установки, ядерные реакторы и химическое обо­ рудование в периоды пуска и остановки), для которых необходимо рассматривать неизотерми­ ческое неупругое деформирование, одновремен­ но учитывая явления пластичности и ползучести.

В зависимости от условий нагружения и нагрева задачи термопрочности можно подразде­ лить на несколько типов. Если нагрузки и тем­ пературы изменяются таким образом, что можно предположить активное нагружение материала

(монотонный рост пластических деформаций и отсутствие разгрузки), то для определения на­ пряжений и деформаций приемлемы модели материала, основанные на деформационной тео­ рии (например, теории малых упругопластических деформаций, причем ползучесть может быть учтена на основе теории старения) (см.п. 4.5.1). Если же режимы нагрева и нагру­ жения чередуются с режимами охлаждения и разгрузки, то необходимо применять более сложные модели материала, учитывающие воз­ можность смен этапов активного нагружения и этапов разгрузки (например, модели, базирую­ щиеся на теории течения, и структурные модели)

(см.пп. 4.5.2, 4.5.4 и 4.5.5).

4.5.1. ДЕФОРМАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ТЕРМОПЛАСТИЧНОСТИ ИЗОТРОПНЫХ И АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ

Эта теория базируется на предположении о простом (пропорциональном) нагружении [100] и для изотропных материалов предполагает су­ ществование единой зависимости интенсивности напряжений а„ от И}ггенсивности деформации 8и и температуры 71

Зависимость (4.5.1) задает в координатах ^и» Т', Qj, (рис. 4.5.1) семейство обобщенных кривых деформирования для различных темпе­ ратур, образующее ^термомеханическую поверх­ ность материала [100].

Рис. 4.5.1. Термомеханическая поверхность материала

Если принять, что:

1) компоненты 8^.- тензора полной дефор-

{е) (р)

мации равны сумме компонентов 8^. , 8^. и

(т) Ç

8 о^у тензоров упругой, пластической и темпе­ ратурной деформаций

где 8(т) - деформация, вызванная температур­ ным расширением материала; ду - компоненты единичного тензора (символ Кронекера);

{Т)

8*. = ayz

(4.5.7)

обобщенные интенсивности напряжений

4.5.2. ТЕОРИЯ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ С ИЗОТРОПНЫМ И АНИЗОТРОПНЫМ УПРОЧНЕНИЕМ

Математические модели на основе соотно­ шений теории пластического течения позволяют получить решения задач, для которых суще­ ственны эффекты действия нагрузок во времени.

ций ску представляется суммой тензоров при­ ращений упругих d&J , пластических ску де­ формаций и приращений деформаций ползучес­ ти de^i :

(4.5.15)

Процесс активного иафужения свяжем с поверхностью пластического деформирования, уравнение которой представим в виде [23, 35, 86]

/(Gij,efj,k^,Bg,œ^,^^)=0, (4.5.16)

щие анизотропию, приобретенную в процессе пластического деформирования.

Примем, *по скалярные структурные пара­ метры аэр и структурные тензоры ^^ изменяют­ ся при изменении пластических деформаций (при изменении компонент тензора Ву).

Если представить приращения скалярных структурных параметров аэ» в виде

(4.5.17) то при Н'^ = Gу, Gj = о получим, что скаляр­ ный структурный параметр ав| представляет ра-

боту пластической деформации, а при Ну2 = О,

6^2 = 1 полушм, что скалярный структурный параметр аэ2 представляет длину траектории пластического деформирования - параметр Удк-

виста.

Введение таких скалярных параметров в уравнения пластического течения необходимо для того, чтобы описатъ изменение свойств ма­ териала, таюсх, как модуль упрушсти, эффект Баущингера и закон упрочнения при активном нагружении. Однако полностью описать измене­ ние этих параметров с помощью скалярной ме­ ры "истории" деформирования невозможно. Поэтому введем структурные тензоры

где V = 1,2;

/4р - функции, определяемые экспериментально.

Поверхность деформирования зависит от инвариантов тензоров, входящих в (4.5.16) [23]. Для тензоров напряжений и деформаций рас­ смотрим систему инвариантов:

(4.5.19)

AT

где

'ij=^ij 1-Ilhj-

Отсюда следует, что (4.5.16) примет ввд

(4.5.20)

где л=1,2,3; /и=2,3; /=1,2,3; д=1,2; v=l,2. Изменение пластических свойств материала

происходит при изменении напряжений и физи­ ческих параметров к^. Будем считать, что на­ пряжения Gу и физические параметры к^ обра­ зуют пространство нагружения, в котором рас­ смотрим гиперповерхность нагружения

const

разделяющую области упругого и пласп1ческого деформирования и являющуюся подповсрхностью гиперповерхности пластического деформи­ рования при фиксированных значениях компо­ нент пластической деформации, структурных параметров гвп и структурных тензоров ^^.

Примем, что если выполняется условие / | < О, то точка, отображающая процесс дефор­ мирования, находится внутри гиперповерхности нагружения, и деформации являются упругими. Если отображающая точка переходит с поверх­ ности / | в область пространства, ограниченную этой поверхностью, то происходит разгрузка. Если же отображающая точка в процессе дефор­ мирования движется по поверхности /^, то про­ исходит процесс нейтрашэного нагружения. При этом функция / j должна удовлетворять следую­ щим условиям:

(/i <ont//i<o)U(/i<on#i>o) -

разгрузка и нагрузка в упругой области, / | = О П 4^1 = О - нейтральное нагружение.

Таким образом, процесс аю-ивного нагру­

dk> О - активное нагружение; dk = 0 - разгруз­ ка, нагрузка в упругой области или нейтральное

тензор активных напряжении