Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

ти от упругого или неупругого поведения мате­ риала конструкции. Если материал работает в упругой области и энергия его деформирования составляет малую долю внутренней энергии (см.п. 4.2.2), то расчет напряженнодеформированного состояния теплонапряженных конструкционных элементов сводится, по суще­ ству, к решению задачи по определению термо­ упругих напряжений при заданном температур­ ном состоянии этих элементов.

4.4.1.ТИПОВЫЕ РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫ И ПОСТАНОВКА ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ

ТЕРМОУПРУГИХ НАПРЯЖЕНИЙ

Для элементов сравнительно простой кон­ фигурации в большинстве важных для инженер­ ной практики случаев искомые параметры на­ пряженно-деформированного состояния удается непосредственно связать с температурным состо­ янием конструкции, действующими на нее на­ грузками и условиями ее закрепления. Приме­ ром подобных элементов конструкций являются стержневые элементы, под которыми будем по­ нимать достаточно протяженные в одном на­ правлении элементы конструкций. Для оценки работоспособности таких элементов допустимо учитывать влияние лишь однородного нормаль­ ного напряжения в их поперечном сечении, т.е. считать, что их материал находится в одноосном напряженном состоянии. К такой расчетной схеме с учетом тех или иных допущений удается свести довольно большую группу реальных теп­ лонапряженных конструктивных элементов.

Простейшим примером этой расчетной схемы является стержень длиной / с постоянной площадью F поперечного сечения и жестко зак­ репленного торцами. Если стержень был закреп­ лен при температуре TQ и в его поперечном се­ чении при этом возншсло однородное относи­ тельное удлинение 8о, то последующие измене­ ния температуры Т не приведут к изменению

s=8o=const. Это условие дает возможность оп­ ределить нормальное напряжение а в попереч­ ном сечении стержня при любой заданной про­ грамме изменения температуры.

В случае линейно упругой работы материа­ ла стержня и однородного изменения температу­ ры до значения Т имеем

E(T)[i о (4.4.1)

/

ще Е(Т) - модуль упругости материала при тем­ пературе Т; 8^^ - температурная деформация, отсчитываемая от температуры TQ. Очевидно, что QQ = E(TQ)eQ представляет собой начальное напряжение в стержне.

Если площадь поперечного сечения стерж­ ня F(x) и температура Т(х) переменны по длине стержня и зависят от продольной координаты х.

то вместо (4.4.1) при SQ=SQ(X) ИЗ условия за­ крепления торцов

/

получим

/

jls^^\x)-e^(x)]dx

^^""^ jdx/{ElT(x)]F(x)}

О

(4.4.3) где F - постоянное по длине стержня нормаль­ ное усилие в его поперечном сечении.

Перед анализом работоспособности стерж­ ня в общем случае может потребоваться предва­ рительно найти SQ(X) и соответствующее ему распределение UQ(X) в момент закрепления тор­ цов стержня при заданном распределении на­ чальной температуры. Если перед закреплением торцов стержень бьш нагружен силой PQ» ТО

Если же при закреплении один торец стержня получил перемещение относительно другого торца, то из условия

а затем при помощи (4.4.4) - распределение 8о(х).

Пусть два стережня одинаковой длины /, выполненных из различных материалов, жестко скреплены между собой при температуре TQ так, что при закреплении первый стержень предвари­ тельно был удлинен на величину «о, и их торцы свободны и имеют равные перемещения, а сами стержни не изгибаются и не вьптучиваются. При изменении температуры первого стержня до Ti, а второго - до 72 в их поперечных сечениях возникают нормальные напряжения [81]

Е, F И е(^ - модуль упругости, площадь попе­ речного сечения и отсчитываемая от состояния при температуре TQ температурная деформация, индексы 1 и 2 относятся соответственно к пер­ вому и второму стержням. Ясно, что при

UQ =(г\(Т) -^2(Т) )^ ^^ формулы (4.4.8) следует

к=0 и напряжения в стержнях отсутствуют. Если стержни скреплены по всей длине аб­

солютно жесткими болтами (или заклепками), поставленными в отверстия без зазоров, то сре­ зывающие силы P=aiFi=-G2F2 воспринимают лишь крайние болты (или заклепки). Для подат­ ливых болтовых (или заклепочных) соединений срезывающие силы перераспределяются, однако наиболее нагруженными остаются крайние болты (или заклепки) [81].

Пусть д^шнный стержень имеет произволь­ ное по форме, но неизменное по длине попе­ речное сечение площадью F, распределение тем­ пературы в котором определяется зависимостью T~f[y,z)f где >^ и Z - центральные оси этого по­ перечного сечения. Температуру Т отсчитывают от значения TQ, при котором напряжения в стержне отсутствовали. Тогда в любом попереч­ ном сечейии, достаточно удаленном от свобод­ ных торцов стержня, возникнет распределение нормальных напряжений [17]

К-^.гЖ^^+

«^/z yz

Здесь модуль упругости Е имеет постоянное значение, / ^ и / - моменты инерции сечения

относительно осей у и Z; Jу^ - центробежный

момент инерции. Если закрепление торцов стержня препятствует его изгибу, но допускает их перемещения в продольном направлении, то в формуле (4.4.9) следует отбросить слагаемое с фигурными скобками. В случае закрепления торцов, запрещающего их продольные переме­ щения, но допускающего его изгиб, следует опу­ стить второе слагаемое в правой части формулы (4.4,9), которая становится справедливой для

всех поперечных сечений стержня. Если же зап­ рещены и изгиб стержня, и продольные пере­ мещения торцов, то в правой части формулы (4.4.9) остается лишь первое слагаемое. Анало­ гичным образом могут быть определены термо­ упругие напряжения в криволинейных стержнях

ико;П)Цах [81].

Вслучае неравномерно нагретой по тол­

щине h свободной пластины с постоянным зна­ чением модуля упругости ^ имеем [17]

1

ST),

где 8^^ ^ (z) - переменная по толщине пластины температурная деформация, отсчитываемая от состояния при температуре TQ, В котором на­ пряжения отсутствовали; z - координата, отсчи­ тываемая от среднего сгюя пласгины по нормали к ее поверхности; х и у - ортогональные оси, лежащие в плоскости среднего слоя пластины; v - коэффициент Пуассона. Формула (4.4.10) вер­ на для точек пластины, достаточно удаленных от ее краев. Если закрепление краев препятствует изгибу пластины, но допускает их перемещения параллельно ее плоскости, то в правой части этой формулы следует отбросить третье слагае­ мое. Когда запрещены перемещения краев плас­ тины параллель}{о ее плоскости, но допус1сается изгиб пластины, следует отбросить второе слага­ емое в правой части формухп»! (4.4.9), которая при этом становится справедливой для всех то­ чек пластины. Наконец, при запрещении и пе­ ремещений краев и изгиба пластины в правой части формулы (4.4.10) остается лишь первое

слагаемое.

4.4.2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕСВЯЗАННОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ

Задачи несвязанной теории упругих темпе­ ратурных напряжений в случае зависящих от температуры свойств материала относят к классу задач теории упругости неоднородных тел. При неоднородном распределении тем11ерат>'ры T'=T{X]ç^t) коэффициенты Ляме Х=А.(Т), |Л=|л(7) и уравнения движения (4.2.4) для малых деформаций принимают вид [54]

на поверхности 5^,; Uiixfc,t)=(pi(xk,t) на поверх­ ности 5f^, где 5р, Su - части граничной поверх­ ности тела, на которых заданы соответственно компоненты вектора внешней нагрузки Pi{Xk,t) и перемещения (^^Xk,t).

Уравнения движения (4.4.11) и граничные условия (4.4.12) на поверхности Sp можно пред­ ставить в виде [54]

Pi =Pi + ( З Х + 2Ц)Е'(Т)^ij^j,

т.е. рассматриваемая задача совпадает с задачей теории упругости неоднородных тел с модифи­ цированными выражениями для векторов массо­ вой Ь'^ и поверхностной нагрузки р'^. Если не

учитывать зависимость свойств от температуры, то в выражениях (4.4.11) и (4.4.12) пропадают третье и четвертое слагаемые в левой части В дальнейшем будут рассматриваться методы ре­ шения задач теории температурных упругих на­ пряжений применительно к квазистатическим задачам, когда распределение температуры зави­ сит от времени, но не будут учитьгваться инер­ ционные члены в уравнениях движения.

К основным методам решения квазистати­ ческих трехмерных задач теории упругих темпе­ ратурных напряжений относят методы, основан­

ные на использовании термоупругого потенциала

перемещений, вариационных принципов, а также

методы возмущении, Майзеля и др. [43, 54, 57, 68,

73]. Для решения плоских задач могут быть ис­

пользованы функция напряжения, методы теории

функций комплексного переменного [43, 54, 57, 68,

73]. Наряду с указанными методами для реше­ ния конкретных задач используют также тради­ ционные методы математической физики.

При решении задач!* об упругих темпера­ турных напряжениях в случае независимости свойств материала от температуры и отсутствия инерционных сил в уравнениях движения (4.4.13) компоненты вектора перемещений пред­ ставляют в виде суммы

где г - радиус-вектор рассматриваемой точки; В^ BQ - гармонические вектор и скаляр, т.е. V^B=0, V^BQ=0. Если объемные силы имеют потенциал П, т.е. b=gradn/p, то частное решение y(/)=gradO(^, где скалярная функция ф ( ^ удовлетворяет уравнению Пуассона

vV^>= — (4.4.16) Х-ь2ц

Частное решение ïi(^=grad Ф, ще скаляр­ ная функция Ф является решением уравнения Пуассона

Л,+2ц носит название термоупругого потенциала пере­ мещений.

Последовательность решения задачи долж­ на быть следующей: сначала при известном рас­ пределении температуры определяют термоупру­ гий потенциал перемещений Ф, затем и^^. Да­ лее вьршсляют отвечающие частным решениям для перемещений температурные напряжения. Затем на это решение накладывают решение соответствующей краевой задачи теории упругос­ ти, содержащее необходимое число постоянных интегрирования для удовлетворения граничных условий из (4.4.12).

Вариационные принципы Лагранжа, Кастилиано, Хеллингена-Рейсснера и др. [14], учи­ тывающие температурные деформации (см. п.4.2.5), также могут быть использованы при аналитическом решении - задач теории упругих температурных напряжений.

В соответствии с вариационным принци­ пом Лагранжа среди всех геометрически воз­ можных положений равновесия в действительно­ сти осуществляется только то, для которого фун­ кционал

достигает минимума, т.е. бФ^ =0(0 Ф^ > 0). При вычислении первой вариации функционапа (4.4.18) полагают, что массовые и поверхностные силы и температура не изменяются, а рассматри­ ваемое тело односвязно, так как только в односвязном теле заведомо обеспечена однозначность поля перемещений [71].

При использовании вариахщонного прин1щпа (4.4.18) приближенно задают вектор пере­ мещений, удовлетворяющий условиям совмест­ ности деформахщй и главным краевым условиям (заданным перемещениям на граничной поверх­ ности Su),

(4.4.19)

Далее, (4.4.19) подставляют в функционал Лагранжа Фе(и1) и отыскивают его минимум из условий

(Л

Х^,(«,)/а<^=о.

У=1

Решение получающейся в результате этой процедуры системы линейных аш?ебраических

уравнений относительно коэффициентов а^ дает возможность определить компоненты век­ тора перемещений г/Дх^), а затем деформаций

и напряжений. Функции (р/ (х^) (J = 1,...,AI) называют координатными, они должны удовлет­ ворять следующим условиям [64]: при любом натуральном п и при любых численных значени­ ях коэффициентов а^ функция и^ (х^) дол­ жна принадлежать к классу допустимых; какова

ваемое приближенно поле тензора напряжений аналогично (4.4.19) должно удовлетворять урав­

нениям равновесия.

Аналитическое решение динамических за­ дач теории температурных напряжений может быть получено при помощи принципа Гамиль­ тона [71].

При изложении метода возмущений пред­ полагают, что модуль упругости Е=Е(Т)у темпе­ ратурная деформация 8^^= 8(^(7), а коэффи­ циент Пуассона v=const и bf=0. Уравнения равновесия в этом случае имеют вид

к которым должны быть присоединены соответ­ ствующие краевые условия.

Решение уравнений (4.4.21) с краевыми ус­ ловиями из (4.4.12) на поверхности -5^ ищут в виде степенного ряда [54]

л=1

т.е. получают последовательность краевых задач: для и)(0)/(х^ )\

бы ни была допустимая функция и^ (Xj^), можно выбрать натуральное число п и числен­ ные коэффициенты а^- так, чтобы и^ (х^) достаточно мало отличались от функции и^ (х^ ). Последнее требование носит название условия

полноты.

В соответствии с вариационным принци­ пом Кастилиано среди всех статически допусти­ мых состояний равновесия в действительности осуществляется только то, для которого функци­ онал

яния при независящих от температуры свойствах материала функцию напряжений F вводят по формулам [43, 57]:

Уравнения равновесия при использовании соот­ ношений (4.4.23) удовлетворяются тождественно. Из одного (для обобщенного плоского напря­ женно-деформированного состояния) условия совместности деформаций следует бигармоническое уравнение для функции напряжений

температуры и определенных условиях закрепле­ ния или нагружения торцов цилиндрического тела полагают, что оси Xi и Х2 прямоугольной системы координат лежат в плоскости попереч­ ного сечения тела и совпадают с осями ортотропии материала. Кроме того, осевая деформация £33~^о^^^ **» следовательно, перемещение вдоль образующей цилиндрического тела «3=^33^3- В частном случае неподвижно закрепленных тор­ цов 833=0 и «3=^0, а в общем случае 833 опреде­ ляют из условий за1фепления или нагружения торцов.

Так как поперечные сечения тела остаются после деформирования плоскими, перемещения Ui и U2 зависят лишь от Xj и Х2 и деформации сдвига

yj3 = ди^ I дх^ + ди^ I дх^ =0;

У23 = ^«3 / ^-^2 "'" ^^2 / ^^3 ~ ^• Для линейно-упругого ортотропного материала в этом случае

ще E\y E2, £3 - модули упругости в направле­ ниях осей ортотропии; vij, V21 - коэффициенты Пуассона, характеризующие уменьшение попе­ речного сечения образца в одном направлении ортотропии (второй индекс) при растяжении в другом направлении ортотропии (первый ин­ декс); а | , а 2 , а з - температурные коэффициен­ ты линейного расширения в направлениях осей

сдвига в плоскости Xi, Х2. Тогда связь между напряжениями и деформациями можно записать в следующей матричной форме:

ще

|8 I -{^ll?S22'Yi2}>

Ы' ={(«1+^з1«з)д^-^зЛз»

(а2+^32«з)Д^-^32^3зМ'

[D] - симметричная матрица (3x3) коэффициен­ тов упругости

с компонентами

A l = А ( 1 - ^ 2 3 ^ 3 2 ) / ^ ; 2 ) 2 2 = ^ 2 ( 1 - ^ 3 ^ 3 1 ) / ^ ^

^ 2 = ^1(^21 -^ ^23^3l) /Z = ^2(^12 + ^13^32) / ^i ^ = 1 - V2ivi2 - V23V32 - V13V31 - 2V12V23V31 ;

2)33 =^12Вариационная формулировка данной зада­

чи будет содержать функционал

F

гае

^ F

F,T - площадь поперечного сечения тела и часть контура этого сечения, на которых заданы соответственно объемные распределенные силы с

составляющими /^ и /2 и поверхностные рас- 0 О пределенные силы с составляющими р^ ^ Р2-

Функционал (4.4.26) допустимо рассматривать на непрерывных распределениях составляющих перемещения Wi и «2, удовлетворяющих кинема­

тическим граничным условиям на части контура

Г:

и^(х^,Х2) = и^(х^,Х2); U2(x^,X2) = U2(x^,X2);

В простейшем варианте МКЭ поперечное сечение тела представляют совокупностью треу­ гольных элементов с линейными в пределах каждого элемента с номером е и площадью F^

распределениями перемещений и^ и «2, одно­ значно выражаемыми через значения «jy и «2^ соответствующих перемещений в узлах элемента (вершинах треугольника):

где l, m, п - номера узлов (вершин) элемента е;

Wf (х^,Х2) - линейная функция формы треу­ гольного элемента, зависящая от положения точки с координатами Xfç относительно узла с номером /.

Из условия минимума ф>т1кционала (4.4.26) с учетом соотношений (4.4.28) получают систему линейных алгебраических уравнений дФ^ I ди^^ = 0; дФ^ I du^j = 0; 7 = 1,2,..., ЛГ,,

где Ni - число узлов конечно-элементной сетки в поперечном сечении тела, для которых значе­ ния Wjy и «2/ являются искомыми. Эту систему можно представить в матричной форме

dw\ I дх^ = g/ / (2/;) = (х,„ - х,„) / (2/;),

если вершины I, т, п в элементе с номером е расположены в направлении обхода против ча­ совой стрелки. По координатам Хц и Х2/ вершин треугольника находят его площадь

Таким образом,

(4.4.31)

с учетом формул (4.4.26) и (4.4.31) для симметричной матриххы (6x6) жесткости элемен­ та с номером е получают

Однако для формирования матрицы [К\ и вектора-столбца {F} удобнее считать сначала число неизвестных перемещений Щ: и «2,- рав­ ным 2N, где N - общее число узлов сетки ко­ нечных элементов. Тогда в уравнении (4.4.29) {и} - матрица (2Nxl) (вектор-столбец) узловых значений перемещений Щ: и «2/» У'=1»2,...^Л^;

[К] и {Р} - квадратная симметричная матрица (2Nx2N) жесткости и матрица (2iVxl) (векторстолбец) нагрузок, компоненты которых получа­ ют суммированием вкладов отдельных элемен­ тов.

Для элемента с номером е и номерами вершин /, т, п узловые значения перемещений представляют в виде вектора-столбца {и^} с ком­ понентами

а деформация - вектором-столбцом {г^} с ком­ понентами

В рассматриваемом варианте МКЭ компо­ ненты матрищ»! [В^] постоянны в пределах эле­ мента, а зависящие от температуры компоненты матрицы [D^] определяют по средней для эле­ мента температуре

Те={Т,+Т„+Т„)/Ъ,

поэтому

Матрицу жесткости элемента с узлами /, т, п можно представить также в виде

где каждая из подматриц (2x2)

j e ' j ={еп,Б22,Уп}-

Поскольку 8л = дщ I дх^, z^^ - ^^i I ^^2» Yj2 = àu^ I дХ2 +àu2 I àx^, связь между {e^} и {u^} можно установить при помощи матрицы (3x6) [ ^ ] , компоненты которой нетрудно найти с учетом формул (4.4.28):

причем ЩА^'А-Такое представление более

удобно для вычислений, поскольку позволяет непосредственно провести суммирование вкла­ дов всех соседних элементов, содержащих узел i,

в глобальную матрицу [К\

ы-ъЩ

атакже вкладов элементов, содержащих сторону

сузлами / и у. Ы=ЕН]

впоследнем случае таких элементов не бо­ лее двух, а если узлы / и j лежат на контуре по­ перечного сечения тела, то сторона между ними принадлежит лишь одному элементу.

Компоне}пы глобальной матрицы жесткос­ ти [К\^ расположенные на главной диагонали, должны быть положительны, а с>т^ма компонен­ тов в строке - равной нулю. Компоненты матри­ цы [К\^ соответствующие номерам пар узлов, не принадлежащих одному элементу, равны нулю, поэтому она имеет ленточную структуру, причем ширина ленты, включающей ненулевые компо­ ненты матрицы, зависит от способа нумерации узлов и в каждом конкретном случае может быть сведена к минимуму. Это позволяет экономить память ЭВМ, расходуя ее для хранения не всей матрицы, а лишь элементов ленты.

Вклад элемента в вектор нагрузки {Р) со­ гласно формулам (4.4.26), (4.4.28) и (4.4.31) бу­ дет

/ может одновременно принадлежать двум сто­ ронам Tiffi и Г/„ треугольного элемента е, кото­ рые прилегают к части контура Г' с заданными распределенными поверхностньп^и силами. В этом частном случае

{^;f={(/'?/+/'!«/2)г,,/з+

{ри + Pin I 2)Г,„ / 3,(^2"/ + Р1Ш I 2)Г,„ / 3 +

+(/'2/+/'2«/2)Г/„/з}.

Очевидно, что вклад всех соседних элемен­ тов, содержащих узел /, в вектор нагрузки опре­ деляется суммированием

узел / принадлежит стороне Ту граничного эле­ мента е, на которой заданы распределенные

ОО

поверхностные силы р^ ^ Pj- Тогда

В том случае, когда на контуре поперечно­ го сечения тела имеется участок Г и он лежит в плоскости симметрии тела, параллельной его образующей, или же примыкает к жесткой пря­ молинейной преграде, исключающей перемеще­ ния точек контура в направлении нормали к контуру, но не препятствующей их перемеще­ нию вдоль нее, граничные условия на участке Г*' целесообразно рассматривать как естествен­ ные, поскольку интеграл

\{Р\^\ +Р2^2)^=^^

Г

не давая вклада в потенциальную энергию тела, не входит в функционал (4.4.26). Если же одна из координатных осей (например, Xi) совпадает

снаправлением нормали к Г"", то целесообразно

вточках Xj^ е Г*^ задать

Wj (Хр ^2 ) = О и Р2 (Xj, ^2 ) = 0 . Решение преобразованного матричного

уравнения (4.4.29) можно реализовать на ЭВМ, используя стандартные программы. По найденньв« узловым значениям перемещений в пределах каждого элемента согласно соотношению (4.4.31) нетрудно найти компоненты деформации, а затем по формуле (4.4.25) - компоненты напряжений. На границах между алементами расчетные значения напряжений будут разрыв-

Для трансверсально-изотропного относительно оси Хз материала несколько упростятся выражения для компонентов матрицы [Z>], по-

сально-изотропен относительно оси, лежащей в плоскости поперечного сечения (например, относительно оси Х2), то в принятых обозначениях

В случае плоского напряженного состояния (сг^з = ^2Ъ ~ ^33 ~ ^) ^^^ приведенные соотношения МКЭ остаются в силе, но необходимо внести изменения в компоненты матрицы [D\ и векгора начальной деформации. Для изотропного материала в соотношении (4.4.36) следует

оставив значение ц неизменным. Тогда получим

aj2 =l^i2Tl2' ^нова получим матричное выра-

Если тело, находящееся в плоском напряженном состоянии, выполнено из трансверсаль-

"о-^^отр^пного относительно оси Хз материала,

2(1 -ь vi)

Если же материал трансверсально изотро-

"^ " относительно оси Х2, то

={а