Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

этом направлении можно считать одинаковой (расчетная схема термически тонкого тела). Тог­ да граничные условия, заданные по этому на­ правлению, объединяются с дифференциальным уравнением теплопроводности в одно выраже­ ние, причем оно не содержит производных от температуры в указанном направлении. Напри­ мер, дифференциагшное уравнение нестационар­ ной теплопроводности в круглой трубе (рис. 4.3.4) при вьшолнении в любой точке ее внеш­

Z направлена по оси трубы.

Рис. 4.3.4. К постановке задачи теплопроводности для круглой трубы

Уравнение (4.3.20) отличается от уравнения

т.е. при h/R<0,l отличие не превышает 0,5 %. При этом отличие коэффициентов R2/R и Ri/R от единит»! несколько больше, но лежит в пре­ делах ±5 %. Таким образом, при h/R<0,\ для расчета температурного поля в стенке трубы с одинаковой по толщине температурой допусти­ мо использовать расчетную схему пластины, но

при вычислении приведенных характеристик р ,

г и Т следует учитывать отличие площадей внешней и внутренней поверхностей трубы. Рас­ четная схема пластины применима и в более общем случае стенки, ограниченной поверхнос­

где R и R - главные радиусы кривизны сре­ динной поверхности стенки. Этот вывод спра­ ведлив и при изменении температуры по то/пцине стенки.

Когда тело имеет малое термическое со­ противление во всех направлениях, его темпера­ туру Т можно считать одинаковой по всему объему. Тогда отдельные участки внутренней поверхности тела S' (см.рис. 4.3.2) будут нахо­ диться в состоянии температурного равновесия и

^jj =8aQ(7^j^) . Это равенство справедтшво, если среда в полости тела диатермична (не по­ глощает излучения) и внутренние источники излучения отсутствуют. В этом случае теплооб­ мен излучением в полости тела не оказывает влияния на его температурное состояние. Участ­ ки произвольной по форме внешней поверхнос­ ти тела обмениваются между собой потоками

излучения. Поэтому потоки ^^ и 8'aQ(7'^) можно рассматривать независимо друг от друга, только для выпуклой внешней поверхности.

Ô = f / f c p и N^ =еср^о^ср/Рср - Если в некоторый момент времени, принимаемый за начальный (^=0), температура тела TQ ^Т, то

зависимость Т'от /следует из уравнения (4.3.21) в виде

.(4.3.22)

'"У/р,р(Г,р-Г)-в,раоГ'

При независимых от /'величинах Cj, Д^р, Т'ср и 8ср интеграл выражается в элементарных функ­ циях [27]. Этот интеграл можно вычислить при­ ближенно, преобразовав выражение (4.3.22) к виду

=ехр[-(1+47\^Я^^)(^-'^1)Ь _

=exp[-(l + 47V„^^)T].

В случае охлаждения тела (^Q > ^) кривую на рис. 4.3.5 можно приближенно заменить се­ кущей (штрихпункгирная линия), проходящей через точки с абсциссами ^ / ^ = 1 и ^ Q / ^ . Тогда из вьфажения (4.3.23) следует [27]

(s-s)/(ao -S)=od-t-^ff(»^ +»^Х9+»оН

В случае отсутствия конвективного тепло­ обмена (Рср~0) вместо уравнения (4.3.21) имеем

где (2г - мощность энерговыделения в объеме тела, и решение в виде [27]

о )

причемдля|с|<1 AithÇ = (l/2)ln[(l + 0/(l - C)] -

Если тело лишь излучает тепло со своей поверх­ ности и Г = 0 , то вместо формулы (4.3.23 а) получим [27]

Г / 7 ' о = ( 1 + З е , р а о У Г о ' / / С г ) - ' / ' .

Наоборот, если собственным излучением с по­ верхности тела можно пренебречь, то из (4.3.21) получается наиболее простое уравнение

s' dt ^ср v^ ср Т\ решением которого будет

(f,р -T){f,^ -То)= ехр[^ер^У /Cj^] = oxpl^l

Когда Crp,p^p,Tçp и 8^р зависят от Т,

где индексом к-1 отмечены значения перемен­ ных величин в момент времени /^_i . Из уравне­ ния (4.3.24) получается явная формула относи­ тельно искомой температуры

Tk=T„_,+f^_,^t,^. (4.3.25)

Если же dT / dt определить по условиям теплообмена и температурному состоянию тела в конце интервала, то соответствующее конечноразностное уравнение

проведении проектировочных расчетов и опти­ мизации конструкции.

Возможности точных аналитических мето­ дов ограничены, как правило, решением линей­ ных задач теплопроводности, когда теплофизические характеристики материала не зависят от температуры, а граничные условия выражаются линейной комбинацией температуры и ее гради­ ента на поверхности конструкции. Если в мате­ риале действуют внутренние источники теплоты, мощность которых является функцией темпера­ туры, то эта функция также должна быть линей­ ной.

Сферу применения точных анатагпгческих методов удается расширить путем линеаризации нелинейных задач. Простейший способ линеари­ зации нелинейного уравнения теплопроводности (4.3.10) состоит в замене переменных величин теплофизических характеристик их постоянньп^и значениями при некоторой определяющей тем­ пературе. Выбор определяющей температуры должен базироваться на предварительном каче­ ственном анализе [45], который учитывает харак­ тер процесса теплопроводности (нагрев или ох­ лаждение) и поведение заменяемых параметров в ожидаемом диапазоне изменения температуры материала.

Анализ показывает, что не всегда целесооб­ разно в качестве определяющей выбирать в этом диапазоне среднюю температуру или же заме­ нять переменные величины их средними значе­ ниями. Возникающую при этом способе линеа­ ризации погрешность количественно можно оценить либо сравнением полученного решения при постоянных теплофизических характеристи­ ках с результатами расчета, проведенного на основе учета их реальных зависимостей от тем­ пературы, либо путем параметрического анализа в рамках полученного решения, сравнивая между собой результаты расчета при различных сочета­ ниях предельных значений характеристик в рас­ сматриваемом диапазоне температуры.

Точное аналитическое решение линейной или предварительно линеаризованной много­ мерной задачи нестационарной теплопроводнос­ ти удается получить лишь для элементов конст­ рукций сравнительно простой геометрической формы, ограниченных координатными поверх­ ностями в какой-либо одной системе ортого­ нальных координат. Для большинства таких тел известна и табулирована [42, 56] система соб­ ственных функций и спектр собственных значе­ ний соответствующей однородной задачи. По­ этому для подобных тел удобно использовать достаточно универсальный метод конечных ин­ тегральных преобразований. При однородных граничных условиях и одинаковой во всех точ­ ках тела начальной хемпературе решение много­ мерной задачи для тел простой формы удается представить в виде произведения решений соот­ ветствующих одномерных задач [42, 55].

Но собственные функции и собственные

значения можно найти приближенно для линей­ ной задачи теплопроводности в теле любой фор­ мы и на их основе построить приближенное аналитическое решение. Рассмотрим путь пост­ роения такого решения для процесса нестацио­ нарной теплопроводности в неоднородном теле объемом V с зависящими от координат точки Me V удельной объемной теплоемкостью с(М) и коэффициентом теплопроводности Я(М). Пусть распределение температуры T(M,t) описывается уравнением

и/2(TV,/) - заданные функции, зависящие еще

иот времени /; n(N) - направление внешней нормали в точке 7V е ^ 2 .

xlu(M)f\dV + jp(N)[u(N)fdS

должен рассматриваться на непрерывных функ­ циях u(Af), удовлетворяющих первому из гра­ ничных условий (4.3.31). Условиями стационар­ ности этого функционала будут уравнение (4.3.30) и второе из соотношений (4.3.31), при­ чем в стационарной точке достигается минимум,

со

T(M,s) = JT(M,t)&xp[-st)dt,

о

которое приводит соотношения (4.3.26)-(4.3.29) к уравнению для изображения T(M,s)

div[X(M)grad Т(М, s)] - [c(M)s + b(M)] x

хГ(Л/, s) + C(M)TQ (M) + qy (M, 5) = 0, M e F

(4.3.35)

с граничными условиями

dn(N)

N eSj,

(4.3.36)

численное обращение изображений [5]. В итоге вместо (4.3.38) получают приближенное решение

(4.3.40) При iV* -^ 00 и выборе в качестве >v„(^f) пол­ ной системы собственных функций соответству­ ющей однородной задачи (4.3.30), (4.3.31) фор­ мула (4.3.40) дает истинное решение рассматри­ ваемой задачи нестационарной теплопроводнос­ ти.

Рассмотрим также способ приближенного решения данной задачи на основе ее формули­ ровки через интеграл взвешенной невязки вида [28]

формулировке задачи (4.3.35), (4.3.36) в изобра­ жениях соответствует функционал [28]

который следует рассматривать на допустимых функциях T(M,s)y непрерывных и удовлетворя­ ющих первому граничному условию (4.3.36). Если принять

(4.3.38) где функция Т (М\ s) является допустимой, а

то при любых Bn(s) (4.3.38) также будет догсустимой функцией.

В качестве w„(A/) удобно выбрать соб­ ственные функции соответствующей однородной задачи, если они известны или их нетрудно най­ ти. Коэффициенты Bn(s) после подстановки

(4.3.41) Здесь w{M) - непрерывная функция, которая обращается в HOJH, В точках N&S\, Применим один из методов взвешенных невязок - метод Бубнова-Галеркина. Искомую зависимость T{Myt) примем в форме (4.3.40), где T^{M,t) удовлетворяет условию (4.3.28), а w„ - (4.3.39). После подстановки (4.3.40) в (4 3.41) и выбора w(A/)=w„(Â/) получим систему обьпшовенных линейных дифференциальных уравнений для определения Bn{t). При N*<2 такую систему нетрудно решить аналитически и в итоге полу­ чить приближенное аналитическое решение в виде (4.3.40) для искомой зависимости ДМ,/). Для N*>2 подобную систему уравнений рацио­ нально решать численно (например, методами типа Рунге-Кутга) [104]. С увеличением N* при удачном выборе функций. w„(A/), в качестве которых и в данном случае целесообразно выби­ рать собственные функции соответствующей однородной задачи (4.3.30), (4.3.31) (если они известны), таким путем можно получить доста­ точно хорошее приближение к истинному реше­ нию. Для тел сложной формы эффективным

может оказаться способ построения функций Wn(M) методами алгебры логики [82].

Методами взвешенных невязок удается ре­ шать и нелинейные задачи нестационарной теплопроводноети, но при этом для определения B„(t) в формуле (4.3.40) получается система не­ линейных обыкновенных дифференциагшных уравнений, которую в общем случае приходится интегрировать численно. Таким образом, темпе­ ратурное поле в теле в фиксированный момент времени описывается аналитической зависимос­ тью, но переход от одного момента времени к другому связан с определением значений B^it) численным интегрированием. Переход к конеч­ ным интервалам времени ^/у^ позволяет исполь­ зовать вариационную формулировку нелинейных задач [27], представляя анализ процесса нестаци­ онарной теплопроводности как последователь­ ность решений ряда задач стационарной тепло­ проводности.

Математическая формулировка линейной задачи стационарной теплопроводности отлича­ ется от нестационарной равенством нулю правой

части уравнения (4.3.26), так как 7'(Af,/) = 0,

T{M)^Y u^'^hM)jqy(M)u^''\M)dV

л=1

i dn(N)

(4.3.44) при Me V необходима непрерывность зависимости ду(М) от координат точки М, а равномерная сходимость при Л^б tS требует одно­ родности граничных условий (4.3.43) [42]. Схо­ димость при NGS МОЖНО улучшить, если в ре­ шении (4.3.44) в замкнутом виде вьщелить част­ ное решение задачи, удовлетворяющее неодно­ родным граничным условиям.

Введем обозначение

т.е.

diy[X(M)gradT(M)] - b(M)T(M) +ду{М) = О,

MeV,

(4.3.42)

отсутствием начального условия (4.3.27) и пере­ ходом к граничным условиям

dn(N)

(4.3.43)

и, изменяя в (4.3.44) очередность суммирования и интегрирования, запишем решение в форме

- f / , ( 7 N ^ ) X ( 7 V ) ^ ^ ^ ^ - ^ o ) ^ ^ .

^jf2(N)G(N,MQ)dS, (4.3.46)

T^b^n)-\T{M)u^''\M)dV,

V

которое в итоге дает решение задачи (4.3.42), (4.3.43) в виде

причем 5(M,MQ) - функция Дирака, всюду

равная нулю, а при совпадении точек M и MQ стремящаяся к бесконечности. Таким образом, формула (4.3.45) устанавливает связь функции Грина и полной системы собственной функций.

Если в (4.3.42) qvy а в (4.3.43)^ нелинейно зависят от температуры Т{М), Me V, то (4.3.46) можно использовать для решения нелинейной задачи последовательными приближениями. Связь между у-M и последующим У+1-м прибли­ жениями устанавливается в этом случае соотно­ шением [28]

г ^^••''^ (Mo) =^\qv {M, T^J^ (M)G(M, Mo )dV -

-jf2(Ny^\N))G(N,Mo)dSi dn(N) .

Когда полная система собственных функ­ ций неизвестна {n<N*) и они вместе с собствен­ ными значениями определены приближенно, бесконечные суммы в (4.3.44) и (4.3.45) заменя­ ют конечными, состоящими из N* слагаемых, каждое из которых может быть вычислено с не­ которой погрешностью. Тогда (4.3.44) и (4.3.46) дают лишь приближенно аналитическое реше­ ние рассматриваемой задачи стационарной теп­ лопроводности. Среднюю квадратическую по­ грешность такого решения можно оценить на основе вариационного подхода [27].

Приближенное аналитическое решение данной задачи можно также получить на основе ее вариационной формулировки, содержащей функционал [28]

или формулировки через интеграл взвешенной невязки [28]

J{X(M)gradr(M)gradw(M) +[^{М)Т{М) -

V

-^(M)]w(M)}dV + j\P(N)T(N) -f2{N)MN)dS = 0.

(4.3.48) Если выбрать искомую зависимость Т(М) в

л=1

где Т^{М) и >v„(A/) - непрерывные функции, удовлетворяющие соответственно первому гра­ ничному условию (4.3.43) и (4.3.39), то коэффи­

циенты Bfi можно найти либо из условия мини­ мума функционала (4.3.47), либо из (4.3.48), полагая >v(A/)=W;,(Af). И в том, и в другом слу­ чае пдя определения В^ получится система из Л^* линейных аш^браических уравнений. При 7V*<3 нетрудно получить для В^ аналитические выра­ жения, которые в качестве аргументов вюпочают теплофизические характеристики материала тела, его размеры и параметры условий теплообмена. Для Л^*>4 такие выражения становятся слишком громоздкими и систему алгебраических уравне­ ний целесообразно решать численно. При этом формула (4.3.49) по-прежнему дает приближен­ ное аналитическое выражение для распределения температуры Т{М) в теле, однако функциональ­ ная зависимость коэффициентов В^ от опреде­ ляющих параметров утрачивается.

В нелинейных задачах стационарной теп­ лопроводности для определения коэффициентов Вп используют нелинейную систему алгебраи­ ческих уравнений, которую решают обьгшо чис­ ленными методами с использованием ЭВМ

[104].

4.3.4.ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

При приближенном решении задач тепло­ проводности функции Wfi{M) в формуле (4.3.40) или (4.3.49) не всегда удается задать в виде не­ прерывной зависимости от координат точки M во всем объеме V рассматриваемого тела. Но математические формулировки задач теплопро­ водности в интегральном виде (4.3.41), (4.3.47), (4.3.48) допускают представление искомого рас­ пределения температуры через кусочнонепрерывные функции, определенные не во всем объеме тела, а лишь в пределах его отдельных конечных областей. В этом состоит основная идея применения метода конечных элементов (МКЭ) для приближенного решения задач теп­ лопроводности [85].

Так как под знаки интегралов по объему и поверхности тела в различных вариантах интег­ ральной формулировки задачи теплопроводности входит искомое распределение температуры и компоненты его градиента, достаточно в про­ стейшем варианте МКЭ в качестве кусочнонепрерывных функций >v„(^^ рассматривать линейные функции от координат точки Afe Vy в пределах каждого конечного элемента объемом Vy^ имеющего номер у- Тогда в случае трехмер­ ной задачи распределение температуры в преде­ лах конечного элемента однозначно выражается через четыре значения температуры в точках, которые будут соответствовать вершинам тетра­ эдра, в случае двумерной задачи - через три зна­ чения в вершинах треугольника, а для одномер­ ной задачи - через два значения на концах эле­ мента в виде отрезка прямой.

Вместо (4.3.40) или (4.3.49) можно напи­ сать соответственно

n=l

где N* - общее число вершин (или узлов) конеч­ ных элементов, на которые условно разбивают рассматриваемое тело; 7), - неизвестные значе­ ния температуры в узлах.

Очевидно, что функщш w„(A/) должна быть определена в пределах конечных элементов

с объемами К , имеющих общий узел с номе- ром /1, т.е. для точек M eV^, где V^ - /У^ (п)

Для одномерной задачи Wj^iM) является треу­ гольной функцией, равной единице в узле с номером п и нулю в узлах с номерами л-1 и л+1. Для двумерной задачи ^«(Л/) - пирами­ дальная функция, равная нулю во всех узлах элементов, имеющих общий узел с номером /г, за исключением этого узла, где она равна едини­ це. Аналогичным образом строят функцию w„(A/) в случае трехмерной задачи.

В случае задачи нестационарной теплопро­ водности подставим первую формулу (4.3.50) в

(4.3.41), приняв у^{М) = w^(Âf), /и=1,2,...,/^*. Тогда получим систему обыкновенных диффе­ ренциальных уравнений первого порядка отно­ сительно узловых значений /';,(/), которую мож­ но представить в матричной форме

(векторы) значений температуры в узлах и их производных по времени; {QJ - матрицастолбец yV* X 1 (вектор) тепловых потоков, по­ ступающих к узлам вследствие внутреннего тепловьщеления и теплообмена с 01фужающей сре­ дой, причем для узла с номером m

/^\N)dS (4.3.52)

[ C] и [Л] - квадратные симметричные матрицы N* X TV* теплоемкоста и теплопроводности с

компонентами соответственно

Стп=^ \c(M)w^^\M)w^(y)(M)dV у vy

i-jb(Ad)w^;j^(M)w^\AfyiF^ jp(N)J;j^(N)J;j\M)ds\

4"

где »>2y - участок поверхности элемента с но-

бых допустимых функций Wfn,

Если на части границы тела заданы условия I рода, то в матричном уравнении (4.3.51) не­ трудно исключить строки, соответствующие тем

узлам, в которых известны значения Т и Т. После формирования матриц [С], [Л] и вектора {Q} в (4.3.51) это матричное уравнение может быть решено относительно {7} численньгм ин­ тегрированием подобно тому, как решается уравнение для тела с однородной по объему температурой (см. 4.3.2). Пометим индексами к-1 и к матрицы и векторы, компоненты кото­ рых относятся соответственно к началу и концу интервала времени At/^ . Тогда вместо (4.3.51) можно записать конечно-разностное уравнение [28,32]

и его решение в матричной форме

{П, = ( [ С ] / Д . , +n[A],)"'([C]{r},_j /At, -

-0-«.-.m.-i4i-i){e}k-l

(4.3.54)

где параметр Т| выбирают в диапазоне 0<Г|<1, а индекс матрицы [Л] указывает на возможность учесть изменение во времени коэффициентов в уравнении (4.3.26) и Р в граничном условии (4.3.29). Наиболее точные результаты формула (4.3.54) дает при г|=1/2.

Когда все или часть из величин с, X, Ь, qy и р зависят от температуры, в (4.3.51) все или некоторые матрицы будут функциями компонен­ тов {7}, т.е. матричное уравнение (4.3.51) станет