Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

Методы составления дифференциальных уравнений колебаний упругих систем. Они изло­ жены в разделе 1 данного тома. При выводе уравнений динамики надо согласно принципу Даламбера к действующим силам добавить рас­ пределенные силы инерции. В случаях, когда упругая система взаимодействует с упругоподвешенными сосредоточенными массами, целесооб­ разно применять метод уравнений Лагранжа П рода. С этой целью надо составить выражения для кинетической энергии системы, потенциаль­ ной энергии деформаций и выражения для обобщенных сил, затем с помощью уравнений Лагранжа П рода получить дифференциальные уравнения колебаний. Метод уравнений Лагран­ жа удобен цдя получения дифференциальных уравнений вынужденных колебаний, когда фор­ мы свободных колебаний известны.

Поперечные колебания струны. Струна - тонкое упругое одномерное тело с пренебрежимо малой жесткостью на изгиб. Плоские колебания струны длины /, растянутой силой N и закреп­ ленной по концам, выражаются уравнением

дх дх

где W - отклонение струны в направлении, пер­ пендикулярном к оси СЬс; р - плотность матери­ ала струны; F - площадь поперечного сечения; q- интенсивность нахрузки, действующей в плоскости колебаний.

Краевые (граничные) условия w(O,0=w(/,0=O. (6.2.2)

При /=0 должны выполняться начальные усло­ вия

dw

w(xfi)=/(x); — (х,0) = v(x). (6.2.3)

ôt

Продольные колебания прямого стержня.

Под стержнем понимают упругое тело, у которо­ го два размера малы по сравнению с третьим. Пусть координатная ось Ох направлена вдоль оси стержня. На основании гипотезы плоских сечений все точки, лежащие в поперечном сече­ нии, перпеьщикулярном к оси стержня, имеют одинаковые перемещения u~u(Xyt). Выражения для потенциальной энергии деформаций и кине­ тической энергии имеют вид

(6.2.4) где EF(x) - жесткость на растяжение-сжатие; р - плотность материала.

Уравнение продольных колебаний стержня приводится к виду

Различные краевые условия представлены в табл.6.2.1. Начальные условия записываются аналогично (6.2.3).

Крутильные колебания прямого призмати­ ческого стержня. Потенциальную и кинетичес­ кую энергию определяют по формулам

I

ae

2j и dx; Т '-,! ôtj dx.

(6.2.6)

Уравнение крутильных колебаний имеет вид

дх дх

где GJy^ - жесткость стержня на кручение; /о(х) - погонный момент инерции относительно про­ дольной оси стержня; \Ji(x,t) - интенсивность внешней }1агрузки; Q(x,f) - угол закручивания.

Основные типы граничных условий сведе­ ны в табл. 6.2.2.

Поперечные колебания прямого призмати­

ческого стержня.Плоскость колебаний Oxz, ось Ох направлена вдоль стержня и проходит через центры тяжести поперечных сечений, оси Оу и Oz - главные. Принимается гипотеза плоских сечений - поперечные сечения при деформации остаются плоскими и перпендикулярными к деформированной оси стержня; нормальные напряжения на площадках, параллельньЕХ оси Ох, пренебрежимо малы. Растяжением оси пре­ небрегают. Потенциальная энергия деформации и кинетическая энергия связаны с прогибом стержня W следующим образом:

(6.2.8) где J{x) = IZ dF - момент инерции сечения

(Л относительно Оу.

Поперечные колебания стержня выражают­ ся уравнением

Основные типы граничных условий пред­ ставлены в табл. 6.2.3. Начальные условия анадогичны (6.2.3).

Поперечные колебания при наличии про­ дольных сил. Если стержень сжимается продоль­ ной силой N(x), то дифференциальное уравне­ ние поперечных колебаний вместо (6.2.9) будет следующим:

(6.2.10)

Учет поперечных сдвигов и инерции попе­ речных сечений. Когда длина волны поперечных колебаний соизмерима с размерами поперечного сечения стержня, применяют уточненные урав­ нения, в которых учтены поперечные сдвиги и инерция поворота сечений. В уточненной теории Тимошенко введено предположение: поперечные сечения остаются плоскими, но не перпендику­ лярными к деформированной оси стержня. По­ тенциальная энергия деформации

2j дх' дх

(6.2.11) Здесь р - средний угол сдвига; ае - коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения; G - модуль сдвига. Кинетическая энергия

Граничные условия можно представить в

виде

-aèGF=Q или w=0.

Между функциями р и w существует связь

а (seG/p) = р / ' -а w

которая позволяет из уравнений исключить р. Тогда уравнение колебаний стержня постоянного поперечного сечения можно привести к виду

которое известно как уравнение Тимошенко.

Балка на упругом основании. Допускаем, что массой упругого основания можно пренеб­ речь. Дифференциальное уравнение поперечных колебаний однородной балки, лежашей на упру­

Изгибные колебания пластины. При опре­ делении кинетической энергии у^штывают толь­ ко скорости, нормальные к срединной поверх­ ности пластины, поэтому уравнения колебаний можно получить из уравнений статического рав­ новесия деформируемой пластины, добавив в

них распределенные силы инерции рЛ-а w Так,

dt

для однородной пластины толщиной h уравне­ ние изгибных колебаний имеет вид

а w

Граничные условия для защемленной по контуру пластины

Аналогично добавлением распределенных сил инерции в уравнения статического изгиба оболо­ чек можно получить уравнения колебаний обо­ лочек.

Уравнение форм свободных колебаний

фи(х)=81п^иХ

i^n(x)={s\\knl-^smknî)(chknX-ç.osknX)-

-(chk„l-cosk„l)(shk„x-sink„x)

^7-

Фй(л:)=(sin/rw^-shÀ:;^/) (chÀ:„x-cosA;«x)- - (chk„I-cosknI)(shknX-s'mknX)

(pn(x)=(shk„l+sinknI){chknX-cosknX)-^ +(chk„l+cosknf)(shk„x-s'mknX)

ф.1(х)=1;

sinA:/=0. Следовательно, собственные значения кп=п%/1, /1=1, 2,...

Из системы алгебраических уравнений на­ ходим: С2=0, Сз=0, С4=0, Ci^. Примем С\=\. Каждому собственному значению соответ­

ipn(x)=smkfpc=sm(nK/ 1)х, называемая формой свободных колебаний, и частота свободных ко­ лебаний

(6.2.22)

£Р(х)ф^(х) = -ю' ]pF{x)^\x)ck^cX

q=-jpЛx)фf\x)^;

-X. (6.2.23)

Уравнения для определения собственных значе­ ний, собственные значения, частоты и соответ­ ствующие им формы свободных колебаний для прямых однородньгх стержней приведены в табл. 6.2.4.

Балка на упругом основании. Уравнение для

определения форм свободных колебаний

В случае балки со свободно опертыми концами

Метод последовательных приближений. Ме­

тод заключается в построении последовательнос­ ти функций, сходящихся к одной из форм сво­ бодных колебаний, при этом для каждой най­ денной формы определяется и частота свобод­ ных колебаний. Начальная функция может быть достаточно произвольной, но чем ближе она будет к искомой форме свободных колебаний, тем меньшее число приближений придется вы­ полнить. Итерационный процесс без наложения дополнительных условий всегда сходится к фор­ ме свободных колебаний первого тона. Для на­ хождения форм свободных колебаний второго и более высоких тонов необходимо при получении каждого следующего приближения вводить ортогоналйзацию функций ко всем ранее определен­ ным формам свободных колебаний.

Схему метода проиллюстрируем на приме­ ре продольных колебаний прямого стержня. Дифференциальное уравнение имеет вид

[EF{x)iç\x)\ +со р/'(х)ф(х) = 0. (6.2.26)

Обозначив

^?'(х) = - J ^ — |р/'(д:)(р*,'"(х)Л +С,хdx. o^^^Vo

ФГ\/).

3. Находим второе приближение, приняв в качестве исходной функцию первого приближе-

4. В практических расчетах после каждого приближения по сходимости форм и частот можно определять, когда следует остановиться, чтобы иметь форму и частоту с заданной степе­ нью точности. Например, после к-то приближе­ ния

которую находим из условия ортогональности с уже известной ^-^{х). В дифференциальное уравнение (6.2.26) подставляем

Коэффициент Ц21 находим из уравнения

ния коэффициента Ц21 ' принимая в выражении (6.2.29) вместо Ф2(^) полученную в первом приближении функцию ф2 (х) . Квадрат часто­ ты и форму свободньЕх колебаний определяем по (6.2.28).

7. Для третьего тона колебаний будем

иметь

о

Сходимость приближений ухудшается при близ­ ких частотах свободных колебаний.

Метод начального параметра. Приближен­ ный метод, удобный для определения форм и частот свободных колебаний неоднородных стержней. Сущность метода заключается в сле­ дующем: 1) длину стержня разбивают на участки,

однородного стержня; 3) для каждого /-го участ­ ка известно аналитическое решение уравнения (6.2.26)

Фт (^/ ) = ^ 1 / с^^^ Ki^l + ^2 / ^in к^;Х-^, (*)

Одну произвольную постоянную решения jijisi первого участка определяют из граничного усло­ вия на левом конце стержня (при Xi=0), другая остается пока неизвестной; 4) из двух условий сопряжения на границах первого и второго учас­

тков ф„1(/1) = ф„2(^)' ^^1Фп1(0 = ^^2Ф«2(^) находят произвольные постоянные С\2 и С22 через оставшуюся пока неизвестной постоянную первого участка. Так проходят все участки; 5) для определения оставшейся произвольной по­ стоянной используют граничное условие на пра­ вом конце стержня. Если бы частота со„ бьша выбрана точно, то в силу ненулевого решения коэффициент при постоянной бьш бы равен нулю. На самом деле А1(а)„);гЮ; 6) расчет повто­ ряют для нового значения со„, в результате кото­ рого также Ь^2^^п)^' Как только t^]Ss^n) ^ Л^-|-l(co^) будут иметь разные знаки, то искомое значение о),^ , при котором А(оз„)=0, будет на­ ходиться на отрезке (СО„)А:-(<^Л)А;+1- Дальнейшие приближения очевидны; 7) зная CÛ„, вычисляют

^ш ~^n\P^i I ^^i ' "Р ^ известных /:„/, Q / , С2/ форму свободных колебаний строят по ана­ литическим выражениям (*).

Последовательность приближений для ре­ шения задачи о поперечных колебаниях стержня аналогична изложенной. Отличие заключается лишь в том, что аналитическое решение (6.2.21) имеет четыре произвольные постоянные; из ipaничньгх условий при Xj^O определяют две по­ стоянные первого y^iacTKa, через оставшиеся две находят все постоянные всех участков на осно­ вании условий сопряжения на их границах:

Фш(^/) = ФшЧ!^^)^ Фш(^/) = ФшЧ1Ф);

£ / - Ф ; . ( / , ) = ^ / , Ч 1 Ф Ш Ч 1 ( 0 ) ;

^ / , Ф ; ' , ( / , ) = £ / , ^ 1 Ф; . ^1(0) .

Для определения оставшихся двух постоянньгх используют два граничных условия на правом конце последнего у^шстка; получают два однородных алгебраических уравнения относи­ тельно неизвестных постоянньгх. Находят опре­ делитель системы А(со„) из коэффициентов при этих неизвестных; ji^\si произвольно выбранного со„А(со„);4). Подбором со„ находят А(со„)=0; зная со^, вычисляют кщ^ Сц, С2/, Сз/, С4/ и строят форму свободных колебаний, по виду которой определяют номер тона.

Методом начального параметра можно оп­ ределить часто1у и форму свободных колебаний любого тона без решения задачи для предше­ ствующих тонов. В случае решения задачи щы высоких тонов поперечных колебаний стержня могут накапливаться ошибки [26].

Метод Ритца. Основан на вариационном принципе: среди форм движения истинными формами свободных колебаний будут те, кото­

Toif)

где /7о(ф) - максимальное во времени значение потенциальной энергии упругой деформации системы, совершающей гармонические колеба­ ния; 7()(ф) - максимальное во времени значение кинетической энергии, вычисленное с точностью до множителя со^.

Согласно методу Ритца решение уравнений типа (6.2.26) представляется в виде ряда функ­ ций

к=\

причем координатные функции v|/yt(x) должны бьггь линейно независимыми и удовлетворить по крайней мере кинематическим граничным усло­ виям.

Задаются координатными функциями \\ffc(x), вьмисляют /7о(ф«), 7о(ф„), подставляют их в выражение (6.2.34) и получают систему алгебраических уравнений для обобщенных ко­ ординат/„у^:

i;(^..-«4>^y«>.=o(«=i,2,...,yv).

к=\

(6.2.36) Для существования ненулевого решения опреде­ литель системы (6.2.36) должен бьггь равен нулю. Это условие дает уравнение частот

^- 1 = 0, /:,А2 = 1,2,...,Л^. (6.2.37)

Для каждой найденной частоты свободных коле­ баний (0^ из системы однородных уравнений (6.2.36) определяют значения коэффициентов fn/^. Форма свободных колебаний п-то тона на основании (6.2.35) будет иметь вид

N

Метод Рэлея очень прост и удобен для приближенного определения частоты свободньгх колебаний первого тона. Сущность метода зак­ лючается в том, что в качестве формы свободньгх колебаний выбирают некоторую функцию ф(х), удовлетворяющую по крайней мере кинемати­ ческим граничным условиям и близкую к пред­ полагаемой форме свободньгх колебаний первого тона. Вычисляют значения 77о(ф), ТоСф) ^ "о форме (6.2.32) находят искомую частоту. Метод дает значение частоты с завышением.

6.2.3.СВОЙСТВА ЧАСТОТ

ИФОРМ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Частоты свободньгх колебаний могут бьггь представлены в виде упорядоченной совокупнос­ ти

С01<С02<...<0)„,

называемой спектром частот свободньгх колеба­ ний.

Среди множества частот свободных колеба­ ний могут бьггь и нулевые. Непосредственной проверкой можно установить, что линейно неза­ висимые функции ф_1(х)=1 и Фо(-^)~^-^ц.т> где XцJ - координата центра тяжести стержня, удов­ летворяют при со=0 уравнению (6.2.18) и гра­ ничным условиям

EJ^\x) = 0; [^УфЧл:)] - О (х = О, х = 1).

Функции ф_1 и фо соответствуют парал­ лельному перемещению стержня и его повороту вокруг центра»тяжести как жесткого тела; функ­ ции фл(л:) соответствуют поперечным упругим колебаниям стержня с частотами (х)п(п>1).

Когда форма свободньгх колебаний извест­ на, то соответствующую ей частоту определяют по формуле Рэлея

| т ( х ) ф ^ ^ ^

о

Формы свободньгх колебаний попарно ор­ тогональны с весовой функцией т{х). Напри­ мер, пдя стержня условия ортогональности име­ ют вид

о

Условия ортогональности различных форм колебаний эквивалентны следующему утвержде­ нию: работа сил инерции, возникающих при колебаниях стержня по /7-му тону, на перемеще­ ниях, соответствующих колебаниям по т-му тону, равна нулю. Или: колебания стержня по какому-либо тону не могут вызвать упругие ко­ лебания других тонов. Условия ортогональности упругих форм свободньгх колебаний ^ni^) ^ Ф-1 и Фо соответствуют теоремам механики о сохра­ нении количества движения и моменте количе­ ства движения в системе, на которую не дей­ ствуют внешние силы.

Производные форм свободньгх колебаний попарно ортогональны с весовой функцией EF(x)(EJ(x)). Для стержня условия ортогональ­ ности имеют вид

Формы свободных колебаний образуют полный базис. Это означает, что любые движения, вне­ шние силы могут быть разложены по формам свободных колебаний, т.е. представлены в виде ряда

ОО

л=1 Коэффициенты а^ можно определить, ум­

ножая равенство (6.2.42) на т(х)(рп(^), где m(x)=pF - весовая функция, и интегрируя по х в пределах от О до /. С учетом условий ортого­ нальности получим

/

h^u(x)m(x)(p^(x)dx

^m{x)(p^{x)dx

Понятие формы колебаний можно обоб­ щить на более сложный случай колебания сво­ бодной балки с упругоподвешенной сосредото­ ченной массой. Под формой колебаний, соот­ ветствующей частоте со^, в данном случае пони­ мают функцию Фл(л:), характеризующую распре­ деление поперечных перемещений оси балки по ее длине, и величину ц^^ характеризующую пе­ ремещение сосредоточенной массы oтнoc^ггeльнo оси балки.

Условие ортогональности форм колебаний [ф„(х)+Г1„] и [фтМ"^Лт]» соответствующих частотам 0)„ и С0;„, можно представить в виде

где т^ - упругоподвешанная сосредоточенная масса в сечении x=h. Формула Рэлея цдя опре­ деления частоты свободные колебаний в этом случае имеет вид

6.2.4. ВЫНУЖДЕННЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ НЕДИССИПАТИВНЫХ УПРУГИХ СИСТЕМ

Наиболее простыми для решения, но вмес­ те с тем важными для практики являются задачи на установившиеся колебания под действием внешних сил, изменяющихся по гармоническому закону. Решению задачи, как правило, предше­ ствует определение частот и форм свободных колебаний, после чего нахождение вынужденных колебаний мало чем отличается от решения за­ дач с сосредоточенными параметрами. Однако в случае воздействия на упругую систему сосредо­ точенной внешней силы можно найти вынуж­ денные установившиеся колебания и без разло­ жения их в ряд по формам свободных колеба­ ний. Фаза вынужденных колебаний равна нулю, если колебания совершаются до резонанса (p<cû), вынужденные колебания отстают по фазе на 71 от внешней силы, если колебания происхо­ дят после резонанса (р>(о).

Вынужденные продольные колебания стерж­ ня. Для наглядности рассмотрим вначале стер­ жень постоянного поперечного сечения. Пусть один конец стержня закреплен неподвижно, ко второму приложена внешняя сила, изменяющая­ ся по гармоническому закону с частотой р, P(t)=FQe^PK Отнеся внешнюю силу к гранично­ му условию, решение получим без разложения в ряд по формам свободных колебаний. Полагая и(х, /)=ф(х)е^/^^ будем иметь

2Г

ф'(х)+-^ф(х) = 0

которое можно назвать формой вынужденных колебаний с масштабом PQ. Решение исходной задачи будет

u(x,t) = /^o-^- ^^ ^ Q е ^ . (6.2.48)

рcosipl/a^)

под действием сосредоточенной силы или изги­ бающего момента на его конце.

Метод начального параметра в случае нео­ днородного стержня. Схема метода та же, что и для свободных колебаний, за исключением ис­ пользования граничного условия на правом кон­

продольных колебаний EFip'(l) = PQ использу­ ется для определения оставшейся произвольной постоянной. Задачу решают за один прогон; при больших/7 возможно накопление ошибок [26].

Для поперечных колебаний стержня две произвольные постоянные находят из условий на левом конце первого участка, а две оставшие­ ся произвольные постоянные определяют из фаничных условий на правом конце стержня, например, если на незакрепленном конце стер­ жня приложена внешняя поперечная сила, то

[EJip\l)) =-Fo; EJip\l) = 0.

Разложение вынужденнЕ»1х колебаний в ряд по формам свободных колебаний является наибо­ лее общим методом решения задач о вынужден­ ных колебаниях систем с распределенными па­ раметрами. Схему метода поясним на примере решения уравнения (6.2.5).

Искомое решение представляют в виде ря­ да по формам свободных колебаний стержня ф„(л:), удовлетворяющих условиям ортогональ­ ности (6.2.40) и (6.2.41):

няют выражениями (6.2.49) и (6.2.50):

(6.2.51) Умножают последовательно (6.2.51) на

ф^(л:) и интефируют по длине стержня

оп=\

причем rrifi - приведенная масса; с„ - приведен­ ная жесткость; а^ - приведенная сила.

Вместо уравнения в частных производных (6.2.5) или дифференциального уравнения в обыкновенных производных по координате х (6.2.46) здесь получшш сумму обыкновенньгх дифференциальных уравнений (6,2.53) по пере­ менной t ддя определения обобщенньгх коорди­ нат Sn(t). Постоянные коэффициенты уравнений (6.2.53) определяют по известным формам сво­ бодных колебаний. При гармоническом измене­ нии внешней силы с частотой p(q(t) = cospt\ уравнения (6.2.53) не имеют решения, если р будет равно одному из значений частоты свобод­ ных колебаний со„.

Схема решения задачи о вынужденных по­ перечных колебаниях стержня аналсична.

Вынужденные поперечные колебания балки, вызванные движением опор (рис. 6.2.1). Здесь внешние силы неизвестны, задано кинематичес­