Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

3. Консольная балка с промежуточными опорами; между балкой и опорами за­ зор А

4. Упругий поршень в суживающемся канале

Со - коэффициент жесткости пружины

5.Тяжелый полуцилиндр с малой про­ дольной канавкой (система с натягом)

6.Груз, расположенный с зазорами между двух упругих элементов

А- зазор; Со - коэффициент жесткости одной пружины

2/^А

В линейных системах, когда JF{q)=cg, про­ изводная dF/dq=c представляет собой коэффи­ циент жесткости. В нелинейных системах поня­ тие коэффициента жесткости как постоянной величины не существует, так как производная dF/dg переменная, но иногда имеет смысл трак­ товать ее как местный (локальный) коэффициент жесткости.

Например, если к штоку циливдра в схе­ ме 1 табгг. 6.5.2 приложена статическая сила F^>PQS, ТО поршень опустится на величину ycT='H(l-(pO'^/^ci) *t состояние равновесия определится точкой А на рис. 6.5.1. Если далее при колебаниях происходят лишь малые откло­ нения от этого состояния, то восстанавливаю­ щую силу можно вычислять через местный ко­ эффициент жесткости с* = [dF/dy) _ , опре-

деляющий наклон касательной к точке А. В та­ ких случаях речь вдет о линейных колебаниях и

нелинейность проявляется при выборе значения

с*.

к

Уст H У

Рис. 6.5.1. Упругая характеристика пневматического

Другой возможной причиной нелинейных колебаний в машинах является нелинейное тре­ ние [10, 66]. Некоторые примеры нелинейных характеристик трения приведены в табл. 6.5.3.

Если справедливо неравенство R(q)q > О, то силы трения совершают отрицательную работу и вызывают рассеяние механической энергии в системе; такие силы называют диссипативными. Если же R{q)q < О, то силы трения совершают положительную работу и вызывают приток ме­ ханической энергии в систему; такие силы иног­ да называют силами отрицательного трения.

y/////////////^//////^/z

^ —

Рис. 6.5.2. Система с одной степенью свободы

При циклическом деформировании механичесютх систем иногда пользуются силовой ха­ рактеристикой - зависимостью суммы позици­ онной силы и силы трения P=F+R от обобщен­ ной координаты д. На плоскости Р, g эта харак­ теристика представляет собой петлю гистерезиса. Площадь, ограниченная этой петлей, равна рабо­ те сил трения за один период движения и явля­ ется основной количественной мерой рассеива­ ния энергии при колебаниях. Некоторые приме­ ры силовых характеристик для системы с. одной степенью свободы (рис. 6.5.2) приведены на рис. 6.5.3.

Для диссипативной системы с линейной восстанавливающей силой осевая (скелетная) линия петли гистерезиса представляет собой прямую, проходящую через начало координат (рис. 6.5.3, а). При нелинейной восстанавлива­ ющей силе скелетная линия петли гистерезиса - криволинейна (рис. 6.5.3, б). Если при заданной амплитуде изменяется частота колебаний, то осевая линия петли остается неизменной, но расстояние между ветвями и ограниченная ими площадь, как правило, изменяется, причем за­ коны этих изменений зависят от харакгеристики трения; исключениями служат случаи кулонова трения (рис. 6.5.3, в), а также внутреннего тре­ ния в материале, когда гистерезисная петля не меняется при изменениях частоты колебаний

[66].

К нелинейным силам смешанной природы

относят силы, зависящие от обобщенных коор­ динат и обобщенных скоростей, но которые нельзя представить в виде суммы слагаемых, зависящих раздельно только от обобщенных координат или только от обобщенных скоростей. Иногда силы смешанной природы удается пред­ ставить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от обобщенных коор­ динат, а другая - только от обобщенных скорос­ тей:

F* = F(q)R(q) - такие силы называют позици­ онными силами трения. Частные случаи позици­ онных сил трения:

JF* = ~Хд{\ - g 2 ) - модель Ван-дер-По1ы;

F* = -Х,^(1 ~д -k-obq ) - усложненная модель Ван-дер-Поля;

Л = bqsÀg\i(g - Ô) - модель позиционного вяз­ кого трения (знак коэффициеша трения совпа­ дает со знаком разности ^-0);

здесь Z), X, а, Ô - положительные постоянные.

В некоторых системах (табл. 6.5.4) трение описывается законом Амоитона-Кулона, но ко­ эффициент трения зависит от положения систе­ мы.

Упругая полоса, прижатая постоянным давлением р к шероховатой поверхности. Сила кулонова трения зависит от ( — J длины ( — ) участка ( — ) проскальзывания

{х^^д^=К^^д^/(1рЩ,ЕА-ж&сту.ооть полосы при растяже­ нии). ^

q — ^

4 -

l-fcigoc 1+figoc

f - коэффициент трения

* ^*Ая

^•^г-2х/хшх

•^77777777777777,

Стержень,материал которого обладает внутренним трени­ ем. Сила внутреннего трения зависит от деформации стержня и знака скорости.

Простейшая форма описания ветвей характеристики

где AQ - среднее значение координаты (равное нулю в системах с симметричной упругой харак­ теристикой); An и Bfi - амплитуды соответству­ ющих гармонических составляющих; со - основ­

где а - инерционный коэффициент.

Точное решение уравнения (6.5.5) приво­ дит к формулам для основной частоты колеба­ ний: для симметричной характеристики

-1

у/ъй f dg \JFiq)dq

для несимметричной характеристики

-1

-4 »maxdq

\F{q)dq

где А - наибольшее отклонение системы с сим­ метричной упругой характеристикой от положе­ ния равновесия; ^^ах и ^min " значения коорди­ наты q в крайних положениях системы с несим­ метричной упругой характеристикой. При за­ данном значении ^^ах величина q^^i определя­ ется соотношением

Tfmax

\Fiq)dq=0.

В табл.6.5.5 приведены графики связи со и А для некоторых типов упругих характеристик.

В частном случае, когда F{q)=y\q\^^'^~^^q (у и и - положительные постоянные), основная частота свободных колебаний

где 1{п) = л/^Г(1 / 2я + 1 / 2) / Г(1 / 2я),

Г(...) - гамма-функция; значения 1(п) приведе­ ны ниже:

/(л)...1,111 1,000 0,9149 0,8472 .0,7923

I 1 27Г

Û) = I/'(^cosv|/)cosvj/ûfv|/. (6.5.9)

paAl

Приближенное, но более полное описание свободных колебаний в виде суммы гармоничес­ ких составляющих (6.5.4) можно получить, ис­ пользуя известные численные или аналитические методы анализа нелинейных систем [24, 81, 90].

Например, следуя методу гармонического баланса, решение (6.5.4) подставляют в левую часть дифференциального уравнения (6.5.5). Получаемая при этом периодическая функция времени

л = 1,2,..

Для того чтобы функция K{t) тождественно об­ ращалась в нуль при произвольном числе слага­ емых ряда (6.5.4), необходимо, чтобы равнялись нулю все коэффициенты ее разложения в ряд Фурье. Это требование приводит к серии нера­ венств:

Для системы с симметричной характерисгикой AQ—0; кроме того, при надлежащем выборе на­ чального отчета времени В\=0, т.е. q = A^coS(ùt. Значение А] находят из второго уравнения (6.5.10), которое в этом случае дает тот же результат, что и формула (6.5.9) для ос­ новной частоты свободных колебаний, получен­ ной по методу Ван-дер-Поля.

При уточненном расчете в (6.5.4) удержи­ вают несколько первых гармоник.

Пример 1. Определить основную частоту свободных колебаний системы, упругая характе­ ристика которой задана в виде

F=:cq-^y^q\ (6.5.11)

где с и Yi - постоянные коэффициенты. Результаты определения основной частопл

по приведенным выше формулам:

ще COQ = ^с / а, у = у^/с.

Пример 2. Найти двухчастотное описание свободных колебаний системы, заданной в при­ мере 1.

Вследствие симметрии упругой характерис­ тики AQ=A2=B2=^A4=B/\=.,=Q И выражение (6.5.4) при двухчасто1ном описании можно за­ писать в виде

Здесь q(t) представляют в виде ряда (6.5.4). Из полученной бесконечной системы нелинейных уравнений определяют значения коэффициентов

Ли Вп-

Впростейшем (одночастотном) приближе­ нии в (6.5.4) ограничиваются выражением

q = AQ + А^ cosiùt + В^ sin со/.

^ = У4| coscû/+ У4З cos3œ/,

где также учтено, что при надлежащем выборе начала отсчета времени В\~В'>;=0.

Подставляя это выражение в (6.5.11) и ин­ тегрируя в соответствии с (6.5.10), получим

côQ -=^c / a, Y = yi / c

(6.5.12)

(в эпгих выражениях в силу предполагаемой относигельной малости А^ опущены слагаемые,

содержащие А^ и Л3 ).

CÛ = ш^(^1+0,75уЛ,^).

Тогда из второго уравнения (6.5.12) следует

Величина уА^ = Y i А / ( ^ ^ l ) представля­ ет собой отношение нелинейной части восста­ навливающей силы при отклонении Ai к линей­ ной и характеризует меру нелинейности систе-

мы. Зависимость A-^/Ai от уА^2 приведена на рис. 6.5.4.

Приближенное решение обычно строят по методу энергетического баланса: работу cmai сопротивления за один цикл колебаний

приравнивают к приращению потенциальной энергии за этот же цикл

(6.5.14)

dt

где A~A{t) - уравнение огабающей кривой зату­ хающих колебаний.

Если принять приближенно, что q « y4(/)coscùQ/, где ©Q « ^с / а , то из равен­ ства (6*.5.13) и (6.5.14) следует дифференциаль­ ное уравнение для огибающей

2,0 ^.0 6.0 8.0 jA^

Рис. 6.5.4. Зависимость отношения амплитуд составляющих гармоник при двухчастотных свободных

колебаниях от параметра нелинейности системы

6.5.4.СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ

СНЕЛИНЕЙНЫМ ТРЕНИЕМ

ПРИ ЛИНЕЙНОЙ УПРУГОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ

Трение пропорционально п-и степени скоро­ сти (см. табл. 6.5.3, схема 1). Дифференциальное уравнение движения

где /*(«) = 2^* ^/1Г^(л/2)/[(л+1)Г(/2)]; зна­ чения интеграла /*(л) приведены ниже:

/(я).. 1,000 0,875 0,785 0,718 0,667 0,624 0,589

/(л)..0,559 0,533 0,511 0,491

Из (6.5.15) после интегрирования следует уравнение для огибающей кривой затуханий свободных колебаний A=A{t) при различных значениях ПФ1 (табл. 6.5.6).