Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

пологой упругой арки, загруженной двумя сила­ ми Pi и /*2' Граница состоит из двух отрезков, каждый из которых - выпуклый в сторону начала координат. Отрезки отвечают одной из несим­ метричных форм потери устойчивости, а точка их пересечения - такому сочетанию Pi и ^2» при котором равновесие в наибольшей степени со­ храняет близость к симметричной форме. Облас­ ти устойчивости для существенно неконсерва­ тивных систем могут име1ъ сложную конфигура­ цию и сложное взаимное расположение. Каждая такая задача требует специального анализа (см. п. 7.3.6).

выбранном замкнутом пути деформирования [4]. В случае б необходимо иметь в виду, что сила не связана с какой-либо определенной точкой дис­ ка, так что работу силы надо выражать через элементарные перемещения точек диска, к кото­ рым в данный момент времени приложена сила. Нетрудно видеть, что в обоих случаях силы по­ рождаются дополнительным источником энер­ гии: в случае а это может быть реакция струи от источника, установленного на конце стержня, в случае б - давление струи на диск от внешнего источника.

PCûSùJt

PCOSùJt

^f/^,*

Рис. 7.3.10. Пример невыпуклой границы области устойчивости

7.3.6. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ

Широкий класс неконсервативных механи­ ческих систем образуют системы, которые на­ гружены следящими силами, т.е. такими явно не зависящими от времени силами, которые явля­ ются неконсервативньЕ^1и вследствие их особого поведения при изменении конфигурации систе­ мы. Примером неконсервативной системы слу­ жит упругий стержень, заделанный на одном конце и нагруженный на другим конце силой, которая при деформациях стержня сохраняет направление по касательной к изогнутой оси стержня (рис. 7.3.11, а).

Другой пример - аналогичный стержень с жестким диском на конце, причем действующая на диск сила сохраняет свое направление в про­ странстве независимо от перемещений диска (рис. 7.3.11, б). Неконсервативный характер внешних сил в обоих случаях можно установить, вьгшсляя их работу на соответствующим образом

Рис. 7.3.11. Устойчивость прямолинейной формы равновесия при неконсервативном на^ружении

К другим неконсервативным задачам ус­ тойчивости относят многие задачи аэро- и гид­ роупругости, а также задачи об устойчивости poTQpoB с учетом внутреннего трения и род­ ственных факторов [4]. Эти задачи освещены в гл. 7.6 и 7.8. Системы, нагруженные силами, явно зависящими от времени, также являются неконсервативными. Таковы задачи, в которых неустойчивость связана с возникновением пара­ метрических резонансов. Прямолинейная форма стержня, нагруженного силой, изменяющейся во времени (рис. 7.3.11, ff), может быть отождеств­ лена с равновесием, если пренебречь (ввиду большой жесткости) продольными колебаниями стержня. В результате приходим к задаче об ус­ тойчивости прямолинейной формы равновесия при неконсервативной (но явно зависящей от времени) нагрузке.

Статический метод (Эйлера) и энергетичес­ кий метод к неконсервативным задачам устойчи­ вости, строго говоря, не применимы. Исключе­ ние составляют ситуации, когда потеря устойчи­ вости неконсервативной системы имеет неколе­ бательный характер. Так, критическую скорость дивергенции крыла можно определить, исполь­ зуя метод Эйлера; однако для определения кри­ тической скорости флаттера необходимо приме­ нение динамического метода. Заранее, как пра­ вило, не известно, "которая из критических ско­ ростей окажется ниже.

Пример 5. Непригодность статического ме­ тода продемонстрируем на примере консольного стержня, нагруженного следящей силой (см. рис. 7.3.11, а). Нетрудно показать, что в окрестности прямолинейной формы вообще не существует изогнутых форм равновесия при любых значени­ ях силы Р. Отсюда следует ошибочный вывод об устойчивости. Этот вывод подтверждается интуи­ тивным представлением, что при отклонениях стержня поперечная составляющая следящей силы стремится вернуть стержень к начагшному положению, т.е. стабилизировать прямолиней­ ную форму.

Применяя к этой задаче динамический ме­ тод, придем к уравнению (7.3.20) с граничными

условиями w=w х—0 при х=0 и W xx=w ^ =0

при х=1 (в случае "мертвой" силы последнее условие заменяется на Pw x—EJw ххх при х=1). После подстановки w(x,t)=W(x)QXp(kt) прихо­

7.3.7. ЭФФЕКТЫ ДЕСТАБИЛИЗАЦИИ РАВНОВЕСИЯ ВСЛЕДСТВИЕ ТРЕНИЯ

Еще в 1952 г. Циглер рассмотрел устойчи­ вость двойного маятника с трением в шарнирах, находящегося под действием следящей силы [4]. Потеря устойчивости равновесия такого маятни­ ка происходит по колебательному типу. Вьиислив критическое значение следящей силы с уче­ том трения и устремив затем коэффициенты трения к нулю, Циглер получил критическую силу, меньшую, чем значение, вычисленное без учета трения. Этот результат дал основание гово­ рить о парадоксе дестабилизации вследствие трения и породил обширную литературу, час­ тичный обзор которой можно найти, например, в работе [67].

значение Р* равно верхнему пределу критичес­ ких значений при 8i=S2=s, 8->0. Здесь 8i и 82 - парциальные коэффициенты демпфирования.

Рис. 7.3.12. Зависимость |фитического параметра для системы с двумя степенями свободы от отношения парциальных коэффициентов демпфирования

Для широкого класса распределенных сис­ тем также было показано [66], что если отрезок [О, р*] принадлежит области устойчивости, то

limp*(8)<p*, (7.3.27)

6 - > 0

где символ 8^0 означает стремление к нулю всех диссипативных сил. Знак равенства достига­ ется в случае так называемого "внешнего" тре­ ния.

Для нахождения связи между критически­ ми и квазикритическими параметрами необхо­ димо рассмотреть характеристическое уравнение

связывающее характеристический показатель À, параметр демпфирования 8 и параметр нагрузки р. Это уравнение будет алгебраическим для сис­ тем с конечным числом степеней свободы и трансцендентным для распределенных систем. При фиксированном Р уравнение (7.3.28) опре­ деляет неявную функцию Я<(8). Чтобы найти связь между Х и 8, необходимо постротъ вет­

границе области динамической неустойчивости, то уравнение (7.3.28) имеет вблизи нее кратный корень. Разложение функции Xiz) в ряд по це­ лым степеням 8 становится здесь непригодным, поэтому должно быть применено разложение по дробным степеням. Например, пусть Х=Х-* - двойной корень. В этом случае

где использованы обозначения

а^ = X,ал(х,у,Р*)

ду х=х\,у=^

^^д Д(х,>^,р^)

Наличие или отсутствие псевдодестабили­ зации при 8->0 непосредственно усматривается из формул (7.3.28) и (7.3.29). В частности, отсю­ да вытекает соотношение (7.3.27) со знаком ра­ венства для случая внешнего трения.

Эффект дестабилизации вы:»>1вается не столько демпфированием самим по себе, сколь­ ко неравномерным распределением диссипации по формам колебаний. О дестабилизации в строгом смысле можно говорить, например, в случае, когда к системе, устойчивой при нали­ чии достаточно малых сил внешнего трения, добавляются диссипативные силы с неравномер­ ным распределением диссипации.

Пример 6. В качестве модели распределен­ ной системы с наследственным трением рас­ смотрим стержень из стандартного линейного вязкоупругого материала, нагруженный

"мертвой" силой Q и следящей силой Р (см. рис. 7.3.11, г). После отделения времени при помощи подстановки w(x, /) = w(x) cxp(kt) приходим к обобщенной задаче о собственных значениях относительно безразмерного характе­ ристического показателя \х = X / COQ, параметров

нагрузки а и Р и параметров диссипации у и г|:

1 + ЛЦ Здесь использованы следующие обозначения:

а штрихами обозначено дифференцирование по безразмерной координате \ - x l l . При этом / - длина стержня; / - момент инерции его сечения; m - масса, отнесенная к единице длины; £'Q - мгновенный модуль; Е ~ длительный модуль;

т- время релаксации.

oc/sr^

Рис. 7.3Л3. Диаграмма устойчивости на плоскости параметров ''мертвой" и следящей сил

Диаграмма устойчивости для некоторых численных данных приведена на рис. 7.3.13. Область квазиустойчивости, которую можно также интерпретировать как область устойчивос­ ти при исчезающе малом внешнем трении, огра­ ничена штриховой линией. Тонкие линии соот­ ветствуют различным значениям параметра tj. Значительная часть области квазиустойчивости в действительности принадлежит области неустой­ чивости.

7.3.8. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ РАВНОВЕСИЯ

Классический пример параметрической стабилизации - обеспечение устойчивости обра­ щенного маятника при помощи периоди^ских движений точки опоры в направлении силы тяжести. Стабилизация имеет место, если пара­ метры системы попадают в область устойчивости на отрицательной полуплоскости диаграммы

Айнса-Стретга. Для стабилизации требуется вы­ полнение некоторые соотношений между часто­ той и амплитудой, с которыми колеблется точка опоры маятника. Аналогичное явление следует ожидать для широкого класса систем с конеч­ ным числом степеней свободы, находящихся в состоянии неустойчивого равновесия при нали­ чии консервативных и диссипативных сил. В статье [58] обсуждалась возможность параметри­ ческой стабилизации прямолинейной формы упругого стержня, который сжат постоянной силой, превьппающей эйлерово значение.

Большая часть результатов по теории пара­ метрической стабилизации получена методом усреднения, предполагающим, что возмущенное движение вблизи неустойчивого равновесия мо­ жет быть представлено в виде суммы "медленных" и "быстрых" движений. При ис­ следовании устойчивости по "быстрым" движе­ ниям с одной степенью свободы область стаби­ лизации на плоскости коэффициент параметри­ ческого возбуждения - частота возбуждения ог­ раничена и, кроме того, включает такие участки границы, на которых разделение движений не­ возможно. Применительно к системам с боль­ шим числом степеней свободы необходимо, кроме того, учитывать, что параметрическое воздействие, стабилизирующее одни формы, будет дестабилизирующим по отношению к другим формам. Поэтому к выводам, получен­ ным на основе метода усреднения и родственных приближенных приемов, следует относиться осторожно.

В качестве примера рассмотрим задачу о параметрической стабилизации прямолинейной формы упругого опертого по концам стержня, нагруженного постоянной сжимающей силой Q, превьппающей эйперово значение, и периоди­ ческой силой Pcoscû/ (см. рис. 7.3.11, г). Урав­ нение относительно мапиых прогибов стержня в общепринятых обозначениях имеет вид

mw ^ +2m&w^ +EJw ^^^^ + {Q + Р со& (ùt)w ^ О,

(7.3.30) где учтено внешнее трение с коэффициентом 8. Граничные условия для прогиба w(x,/) будут удовлетворены, если искать решение в форме ряда (7.3.16).

Относительно обобщенных координат Qf^it) получаем совокупность обыкновенных дифференциальных уравнений с периодически­ ми коэффициентами, области неустойчивости для которых строятся известными методами [3]. Область неустойчивости решения >v(x,/)sO урав­ нения (7.3.30) получается суперпозицией обла­ стей неустойчивости для отдельных обобщен­ ных координат. На рис. 7.3.14 приведена ди­

Q = 1,05РЕ,У = 8 / ©1 = 0,05, где Р^ - эйлеро­

ва сила; coj - основная собственная частота не-

нагруженного стержня. Область стабилизации основной формы (к=1) имеет вид клина, ориен­ тированного по биссектрисе. Эта область накры­ вается рядом областей неустойчивости для дру­ гих обобщенных координат (чтобы не затемнять чертеж, на диаграмму нанесены области неус­ тойчивости только ддя случая к=2 и к=3).

СО /Cûj

Р/ РЕ

Рис. 7.3.14. Стабилизация неустойчивого равновесия при помопщ параметрического воздействия

7.3.9.УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ

СОДНОСТОРОННИМИ с в я з я м и

Условия устойчивости равновесия консер­ вативных систем с односторонними связями целесообразно сформулировать не в терминах потенциальной энергии, а в терминах виртуаль­

ной работы. Это позволяет распространить неко­ торые положения теории на неконсервагивные (точнее - существенно диссипативные) системы, в частности, на системы с разрушающимися связями.

Принцип виртуальных перемещений для систем с односторонними идеальными связями формулируется следующим образом: система находится в равновесии тогда и только тогда, когда сумма элементарных работ всех внешних и внутренних активных сил на любьис малых пере­ мещениях, совместимых с условиями связей, равна нулю или отрицательна:

0 ^ 0 . (7.3.31) При этом знак неравенства отвечает формам равновесия при включенных в действие односто­ ронних связях. Если система строго консерва­ тивна, то ЪА - -оП, где П - потенхщальная энергия системы, так что условие равновесия (7.3.31) принимает вид ОП>0.

Пусть обобщенные координаты ^i,...,^„ выбраны таким образом, что соотношения одно­ сторонности могут быть представлены в виде

Выделим состояния, для которых на любых виртуальных перемещениях работа всех внешних и внутренних сил строго отрицательна. Будем называть эти состояния субравновесными. Состо­ яния, для которых имеются такие виртуальные перемещения 5^.• > О (У = 1,...,т), при кото­ рых ОЛ=0, а при остальных bq- > О вьшолнено

условие ОУ4<0, будем называть равновесными по обобщенным координатам Çi,'-Çfn' Состояния, для которых имеется хотя бы одно виртуальное перемещение, такое, что ОЛ>0, будем называть

неравновесными.

Субравновесные состояния являются ус­ тойчивыми: для перехода в любое смежное со­ стояние необходимы дополнительные энергети­ ческие затраты, источники которых в системе отсутствуют. Неравновесные состояния по своей природе неустойчивы. Равновесные состояния могут быть как устойчивыми, так и неустойчивьв«и. Для суждения об их устойчивости возьмем вариацию от виртуальной работы ЬА,

т.е. Ь А = Ь{ЬА). Будем называть равновесное состояние устойчивым, если для любых отлич­ ных от нуля виртуальных перемещений 5^ • > О

2 вьшолнено условие Ô ^ < О, и неустойчивым,

если среди вариаций найдутся также 5^ • > О,

2 что Ô л > 0. Равновесные состояния, для кото­

рых имеются также вариации 0^.- > О, что

2 2 Ô Л = О, а при остальных вариациях 5 Л < О,

будем называть нейтральными. Нейтральные

работы при варьировании по Гриффитсу имеем выражение

t f t f f Т f t t t t

\ n n \ n n \

Рис. 7.3.17. Тело с трепщной как система с односторонними связями

Условие 6А=0 дает равновесный размер трещины

уЕ

k =

Croo(l-V )

Поскольку вторая вариация Ъ А> О при любых cj^ > О, / > О, то размер трещины /*

отвечает неустойчивому состоянию. При / > /* состояние тела с трещиной становится неравно­ весным, что соответствует неконтролируемому ускоряющемуся росту трещины - хрупкому раз­ рушению.

Глава 7.4

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ

7.4.1. ПРЯМОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

Характеристические показатели линейной системы с постоянньп^и параметрами совпадают с собс!венными значениями линейного операто­ ра этой системы. Если дискретиза]ция системы выполнена на уровне выбора расчетной схемы или она оказалась результатом применения ка­ кого-либо метода к распределенной системе (например, метода конечных элементов, гранич­ ных элементов, конечных разностей, Бубнова - Галеркина и др.), то оператор системы будет конечномерным. В принятом базисе этому опе­ ратору соответствует некоторая матрица [см. уравнение (7.2.3)]. Свойства этой матрицы зави­ сят от характера внешних воздействий. Напри­

мер, ее собственные значения и собственные векторы будут действительными, если внешние и внутренние силы обладают потенциалами. Структура матрищ»! (лерггочность, блочность, заполненность) в базисе общего положения за­ висит от выбранного метода дис1фетизации рас­ пределенной системы.

Размерность матрицы G, как правило, большая. Для получения собственных значений необходимо применять вычислительные методы линейной алгебры [14, 38, 52, 54]. Особо следует отметить справочник алгоритмов по линейной алгебре [53], пользующийся заслуженной попу­ лярностью в прикладных исследованиях. По­ скольку не существует алгоритма *вычисления собственных значений, эффективного для мат­ риц любого типа, то всякий раз приходится ре­ шать проблему выбора алгоритма. Для вычисле­ ния комплексных характеристических показате­ лей линейной системы с матрицей G произ­ вольной структуры следует применять QL- и gi?-алгоритмы. При этом эффективность алго­ ритмов повышается, если предварительно вы­ полнить процедуры масштабирования и приве­ дения матри1ц>1 к почти треугольной форме (форме Хессенберга) [53]. Указанные алгоритмы позволяют получать характеристические показа­ тели с машинной точностью, что особенно важ­ но для исследования устойчивости систем, со­ держащих исчезающе малые параметры, как, например, параметры малых диссипативных сил.

Пример 1. В качестве иллюстрации эффек­ тивности алгоритмов рассмотрим задачу об ус­ тойчивости формы равновесия M=v=iv=0 ортотропной усеченной конической оболочки, обтека­ емой изнутри сверхзвуковым потоком газа (рис. 7.4.1, а). Невозмущенное установившееся тече­ ние газа будел* трактовать как одномерное. Дав­ ление, плотность и температуру газа вычисляем по известным формулам прикладной . газовой динамики:

Po(s) = p\1+-(ж-1)М^(5) 2

Ро =Р 1 + 1(зв-1)М^(^) -1/(ж-1) 2

1-1

Го=Г| \+~{^-\)M^{s)

2

где M - число Маха; » - показатель адиабаты газа. Через /?, р, Т обозначены параметры тор­ можения. Число Маха в сечении s получается численно как корень уравнения

,(«+1)/[2(ж-1)]

M(pj - ( « + 1 )

|(ж+1)/[2(ж-1)]

Для дискретизации зада^ш применим метод конечного элемента. Разрешающую систему уравнений можно получить из принципа воз­ можных перемещений:

р • 10 ^^, Па

250\

фла/птер

200\

150\

Рис. 7.4.1. Расчетная схема конической оболочки (в)

изависимость критического давления от числа волн

вокружном направлении {б)

Избыгочное аэродинамическое давление в возм>тценном движении оболочки будем вьршслять по линейному приближению поршневой

плотности нормальных сил инерции, сил "внешнего" трения и аэродинамическое давле­ ние; ÔM,ôv,ôw - кинематически допуст11мые возможные перемещения.

Разобьем оболочку на конические элемен­ ты и образуем вектор узловых перемещений элемента

W,к^Ч^^к-ш

где индексы j и к соответствуют узлам (см. рис. 7.4.1, а). Ддя фиксированного момента времени аппроксимируем поле тангенциальных переме­ щений в направлении образующей полиномами первой степени и функциями coswG в окруж­ ном направлении. Поле нормальных перемеще­ ний аппроксимируем полиномами третьей сте­ пени и такими же функ1щями в окружном на­ правлении. В силу свойства адд^ггивности интег­ рала из принципа возможных перемещений сле­ дует

Х^(в)Кв)Ч(е) Ще)%) -^4)%) -'РЧ)%) +

(е)

В-B&^)(e)}ï(.)=Û'

m в окружном направлении является параметром задачи. Вводя вектор глобальных узловых пере­ мещений q, из последнего соотношения полу­ чим уравнение возмущенного движения

Aq + eAq + rjKq + рЪ({ +

^р[^ы В^""^^ Iq + Kq = 0.

Здесь глобальные матрицы получаются по обыч­ ным для МКЭ правилам формирования из соот­ ветствующих матриц для конечного элемента и учтены также граничные условия защемления оболочки по сечению меньшего радиуса. Кроме того, аэродинамическое и другие виды демпфи­ рования аппроксимированы принятым в инже­ нерной практике приемом введения "внешнего" трения, пропорционального матрице инерции системы, и внутреннего трения, пропорхщонального матрице жесткости системы, с параметрами соответственно 8 и Г|. Полагая, как обычно, q(/) = ф ехр(Х/), приходим к обобщенной про­ блеме собственных значений

Pù^ + еАХ + г|КХ + j?B +

+ К Ф = 0.

Так же, как и в гл. 7.2, она может быть сведена к стандартной проблеме собственных значений для матрицы G удвоенной размерности. В случае г | ^ задачу можно свести к стандартной пробле­ ме для матрицы той же размерности

При этом условие асимптотической устойчивос­ ти ReX<0, выраженное через собственные зна­ чения Л, принимает вид llm A|/(|ReA|) ^ > 8.

На рис. 7.4.1, б показаны результаты расчетов критического давления при 8=0,01 для титано­ вой оболочки с такими же геометрическими параметрами, как и в [69]. Оболочка разбивалась на 11 конечных элементов и размер матриц был 40x40. При фиксированном m критическое дав­ ление вычислялось с использованием процедуры дихотомии. Затраты процессорного времени ШЫ-PC/AT для вычисления всех комплексных собственных значений и собственных векторов при фиксированном значении давления состав­ ляли: по Zi^-алгоритму 1,5 мин и 15 мин по методу понижения нормы матрицы. При этом во втором случае заданная точность не достигалась и выход происходил по числу итераций. Резуль­

таты (см. рис. 7.4.1, б) согласуются с результата­ ми работы [69].

Для распределенных систем, допускающих сведение к краевым задачам на собственные зна­ чения для обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение имеет вид А(Х,Р)=0, где А - трансцендентная функция. Отдельные комплексные собственные значения можно вычислить, сведя задачу отыскания кор­ ней уравнения к эквивалентной задаче отыска­ ния нулевых минимумов некоторой целевой функции. Например, можно рассматривать фун-

2 2

КЦИЮ А^ +Aj, где А^,А^ - действительная и мнимая части левой части характеристического уравнения при фиксированном значении р. За­ дачу минимизации можно решить одним из численных методов минимизации, например, методом деформируемых многогранников [57]. Выбор подходящего начального приближения осуществляется методом проб с учетом физичес­ кого содержания задачи. Зависимость собствен­ ного значения от параметра можно получить методом продолжения по параметру р. Для этого следует рассматривать Х(Р) как неявную функ­ цию, определяемую характеристическим уравне­ нием. По формуле дифференцирования неявной функции

— = - (aA/ap)/(aA/a?L) ; х(Ро) = \

имеем задачу Коши относительно действитель­ ной и мнимой части характеристического пока­ зателя X. Производные в правой части обычно заменяют разностными соотношениями. Задачи Коши решаются численно методом Рунге - Кутта.

Прнмер 2. Рассмотрим задачу об устойчи­ вости формы равновесия >v=0 прямоугольной пластины, шарнирно опертой по трем кромкам и загруженной следящей нагрузкой N по сво­ бодной кромке (рис. 7.4.2, а). Уравнения возму­ щенного движения пластины в безразмерной форме и граничные условия принимают вид

W = W ^^ = о (4 = 0); w = w^^ = О (л = О, л = а);

^,1^ + ^^,гщ = 0; ^ т ^ (2 - ^)^,^лл = ^ (^ = О'

задаче на собственные значения:

1тЛ

30

20

При P=0 мнимые части характеристических по­ казателей совпадают с собственными частотами пластины, которым соответствуют формы коле­ баний с одной полуволной в направлении оси у. Результаты решения задач Коши с такими на­ чальными условиями показаны на рис. 7.4.2, б. Первый характеристический показатель обраща­ ется в нуль при Pi)=64. Этому значению пара­ метра нагрузки отвечает статический тип потери устойчивости (дивергенция). Однако при

Р = р^^ = 26 происходит слияние ветвей второ­ го и третьего показателей. Это значение является квазикритическим. Для р > Р^^ потеря устойчи­ вости происходит по типу флаттера.

7.4.2. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА ЗУБОВА

Рис. 7.4.2. Схема приложения следящей нагрузкв (л) и поведение мнимых частей характеристических показателей от параметра нагрузки (б)

Поскольку демпфирование не учитывается, то характеристические показатели будут мигриро­ вать по мнимой оси и покинут ее только в точке их кратности. Поэтому можно положить Х=/со, где со можно считать положительным, так как характеристические показатели комплексно со­ пряженные. Характеристическое уравнение зада­ чи имеет вид

Выполнение условия асимптотической ус­ тойчивости X е 5j^|X:ReX < 0} для матрицы G проверяют следующим образом. По формуле (7.2.17) строят матрицу Г и вычисляют последо­ вательность ее степеней

Г^,Г\....,Г^"',... . (7.4.1)

Сходимость этой последовательности к нулевой матрице оценивают по норме

для некоторого т.

Пример 3. В качестве тестового примера рассмотрим механическую диссипативную сис­ тему с двумя степенями свободы. Уравнения собственных колебаний имеют вид