Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин
.pdf50 |
Глава 1.4. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ |
|
|
|
д(х -хЛ =0, X ^ Xj^; |
-дау = О, (/ = 1,2,3) 6 V |
(1.4.48) |
|
|
ô(x-x^r,) =00, х = х^; |
(1.4.46) |
jЦхЩх - Xf^)dx = Цх,^).
Подстановка базисных функций (1.4.45) при учете их свойств (1.4.46) приводит к требо ванию, чтобы уравнения (1.4.29) вьшолнялись в ряде заданных точек Xj^ области К(х):
дх
и на его поверхности 5, где заданы поверхност ные силы,
8<yyl^j =0 , (/ = 1,2,3) € ^ 1 . |
(1.4.49) |
Принцип возможных напряжений форму лируется так: если деформация системы согласу
ется со всеми внутренними и внешними связями, то сумма работ, производимых возможными изме нениями всех внешних и внутренних сил на дей ствительных перемещениях тела, равна нулю. Его
математическая формулировка имеет вид
4 ["1 (Ч, )' «2 (^А:, )' "З (Ч, )] - ^/ [Ч, ) = О' |
JJJs^.ôa^.^F - \\ufiF^,dS = О |
(1.4.50) |
|
|
|
||
(/ = 1,2,3; А:,. =1,2,...). |
(1.4.47) |
|
|
Видим, что полу^1енные уравнения есть
уравнения метода коллокаций.
Внося выражения (1.4.20) для перемеще ний Ui в (1.4.47), получаем систему алгебраичес ких уравнений для определения неизвестных параметров aik.
3. Если выражения (1.4.20) для искомых функций Ui удовлетворяют лишь кинематичес ким граничным условиям, то уравнения метода взвешенных невязок принимают вид
V
- Jj[5,. («1, «2, «3 ) - ^v, \vik (^1 'Ч'Ч y s = 0,
{/• = 1,2,3; A: =1,2,...).
Внося сюда выражения (1.4.20) для м/, по лучаем систему алгебраических уравнений для определения параметров aijç.
1.4.8. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ [32, 37, 42, 50, 51]
Принцип возможных напряжений в какойто степени является антиподом принципа воз можных перемещений. Он может быть сформу лирован как для линейных, так и нелинейных задач теории упругости и строительной механи ки.
Вариационная формула Кастильяно. По ана логии с понятием возможньис перемещений вво дится понятие статически возможных напряже ний 6а,у, при которых не происходит нарушения уравнений равновесия.
В частности, для геометрически линейных задач статически возможные напряжения долж ны удовлетворять следующим однородным урав нениям равновесия по объему:
Ô % = о ( Я ' - £ / ' ) = О, |
(1.4.51) |
|
где /7' = III W'dV |
- дополнительная |
потенци- |
V |
|
|
альная энергия; ^ ' |
= | | ^i^y^idS. |
|
Зависимость (1.4.50) часто называют вариа ционным уравнением Кастильяно.
Напряженное состояние, вариации которо го удовлетворяют уравнению (1.4.50), отличается от всех других статически возможных напряжен ных состояний тем, что удовлетворяет не только уравнениям равновесия внутри и на поверхности тела, но и всем условиям сплошности по объему тела и кинематическим условиям на части по верхности 5*2. А если это так, то такое состояние и будет действительным напряженным состояни ем, возникающим в теле под действием заданной совокупности внешних сил.
Таким образом, если принцип возможных перемещений заменяет собой все уравнения равновесия, то принцип возможных напряжений заменяет собой все условия сплошности (дифференциальные уравнения Сен-Венана и кинематические краевые уравнения на Si).
Начало наименьшей работы. В частном слу чае жесткого закрепления точек тела на поверх ности Si
ïï,=0eS2
вариационная формула (1.4.50) упрощается и принимает вид
ô7/=0. (1.4.52)
Зависимостью (1.4.52) выражается извест ное начало наименьшей работы: из всех стати
чески возможных напряж:ений истинными будут
те, при которых дополнительная потенциальная энергия IÏ принимает стационарное значение.
Применение принципа возможных изменении напряжений к решению задач теории упругости.
Пусть некоторое тело загружено внешними
СМЕШАННЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ |
51 |
объемными силами Х^, поверхностными силами
F^f |
на |
Si |
и |
кинематически |
закреплено |
||
(uf = ïïf, |
(/ = 1,2,3)1 на части поверхности S2. |
||||||
Компоненты |
искомого напряженного со |
||||||
стояния задаем в виде |
|
|
|
||||
|
|
|
N- |
|
|
|
|
- i / = ^ ; + i ; ' ' f > f ( ^ i . ^ 2 . ^ 3 ) . |
(1-4.53) |
||||||
где ау |
- частное решение уравнений равновесия |
||||||
внутри |
и |
на |
поверхности; а^ |
- |
неизвестные |
||
параметры, подлежащие определению; |
/ ^ |
система линейно-независимых функций, удов летворяющая при каждом значении Л=1, 2,...
всем однородным уравнениям равновесия по объему тела и на поверхности Si.
при таком выборе функции Gу И / ^
вариации 8ау будут удовлетворять условиям (1.4.48) и (1.4.49) и, следовательно, могут рас сматриваться в качестве возможных напряжений.
Представляя связь между компонентами напряжения и деформации зависимостью вида
^(ГЩ^П), (1-4.54)
ще Ny - в общем случае нелинейный алгебраи ческий оператор, и учитывая, что на основании (1.4.53)
N-
к=1
из вариационного уравнения Кастильяно (1.4.50) получаем систему алгебраических уравнений
(У).
относительно неизвестных параметров а^
1.4.9. СМЕШАННЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ. ФУНКЦИОНАЛЫ ВАСИДЗУ И РЕЙССНЕРА-ХЕЛЛИНГЕРА [1, 5, 8, 37, 41, 42, 46, 51]
В расчетной практике возможны случаи, когда при использовании принхщпа возможных перемещений затруднительно подобрать выра жения для компонентов перемещений, удовлет воряющие всем кинематическим краевым усло виям, или выражения для компонентов напря жений, удовлетворяющие всем уравнениям рав новесия при использовании принципа возмож ных напряжений.
Более того использование принципа воз можных перемещений при решении задач с уче том физической и геометрической нелинейности может оказаться практически непригодным вследствие сложности представления потенци альной энергии тела как функции компонентов перемещения. Поэтому в отдельных случаях целесообразно расширить число варьируемых величин и дополнительно к компонентам пере мещения Ui подсоединить в качестве неизвестных компоненты деформации sy и компоненты на пряжения <зу.
Функционал Васидзу. Данный функционал обеспечивает независимое варьирование компо нентов перемещения, деформации и напряже ния.
Пусть имеем некоторое тело, находящееся под действием внешцих объемных Х^ и поверх ностных сил F^^ на части поверхности тела Si. На оставшейся части поверхности ^52 заданы
компоненты перемещения ïï^.
Ограничимся рассмотрением геометричес ки линейной задачи. Зависимости п. 1.3.7, опре деляющие истинное равновесное состояние та кой задачи, будут вьшолнены, если будет обес печена стационарность функционала:
%=fJJ4,)^-JJJz,.,^
(/ = 1,2,3; Â: = 1,2,..., N-J) |
(1.4.56) |
Обратим внимание на то, что в полученных уравнениях отсутствует суммирование по повто ряющимся индексам / и /
(у)
Внося в форлсулы (1.4.53) параметры а^ , найденные из решения системы (1.4.56), получа ем искомые значения действительных компонен тов напряжений. Компоненты деформаций оп ределяются по формулам (1.4.54). Для определе ния перемещений требуется проинтегрировать уравнения, связывающие деформации с компо нентами перемещения.
-яь |
2 |
^dXj |
dK,j W- |
|
|
1 f |
du, |
^duj |
|
V |
|
V |
|
|
-\\{u,-u,%dS. (1.4.57)
Функционал (1.4.57) содержит 15 варьиру емых величин: 6 компонент деформации sy, 6 - напряжения пу и 3 - перемещения м/. Их значе ния определяются из условия стационарности функционала Эщ-
52 Глава 1.4. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИВСИ
\SeydV-
]^ydV-
Неизвестные |
величины, |
входящие |
в |
(1.4.58), ищут в виде |
|
|
|
(0.(0/
«/ = Z 4 //t (^'>^'4
к=1
li) |
(ij) |
(ij) |
Каждая система функций / ^ |
, ф ^ |
,v|/^ |
(при фиксированных значениях индексов / и j) должна удовлетворять свойствам полноты и ли нейной независимости.
Внеся выражения (1.4.59) в условие стаци онарности (1.4.58), получим следующую систему алгебраических уравнений для определения не-
(0 |
ЛУ) |
(У) |
известных параметров aj^ |
,Df^ |
м Cj^ : |
ш( ÔU: du •
—+ — \,fdV^
. dXj dXj
*jj{"i-^ihj^kdS-0,
(/,7=1,2,3; А:=1,2,...,Р^.).
Функцвонал Рейсснера-Хеллингера. Обеспе чивает варьирование компонентов перемещения и напряжения. Если компоненты деформации Sy связаны однозначными соотношениями с ком понентами напряжения
то, используя эту зависимость, можно исклю чить компоненты ву в (1.4.57). Получим
|
5С7., •+х, \u^dV + |
V |
V V' J |
(1.4.60)
Фзшкционал (1.4.60) содержит девять варь ируемых величин: шесть компонентов напряже ния а,у и три компонента перемещения щ.
Условие стационарности функционала (1.4.60):
|
-Я |
скт,. |
ЩаУл- |
ЪЭ, |
z,+- |
||
'IV |
ОС, |
, |
|
|
|
J |
) |
Щ^-х, |4V.|f(^,-v,.)/l'^ds=o,
дх
•J )
(/=ц,з; к=\х..:,Щ,
Ш dw -a^bSfV = 0,
(/,y = U3; А: = и.-.,^Ц,);
-ЯЬк)4 ÔU, dU: <^ydV=0
, ОС, дх.
(1.4.61) эквивалентно выполнению всех уравнений рав новесия и уравнений сплошности по объему и на поверхности тела. После подстановки в него выражений для щ и ^ij из (1.4.59) для определе-
(0 {у)
ния неизвестных параметров а^^ ^ ^к |
"олу- |
чим следующую систему уравнений:
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ |
53 |
||
ЯР,-^К^.Я(^,-а,/,)/Г^=0, |
Условие стационарности (1.4.62) |
выражает |
|
возможных перемещений. |
|
||
|
собой так называемый модифицированный принцип |
||
дхJ J |
Неизвестные компоненты перемещения на |
||
(/=1,2,3; A: = l,2,...,iV,.); |
ходят в виде |
|
|
Щ = Z 4 ' V f (^1^^2'^з)' (' = 1^2,3), |
(1.4.63) |
||
|
1 |
du, |
dU: |
^.?W |
дх, |
дХ:' |
/ |
(/,y = l,2,3;A: = U - , 4 ) .
Методы, основанные на использовании ус ловий стационарности так называемых смешан ных функционалов Эш и v9[v, называют, в свою
очередь, смешанными вариационными методами.
Из условия стационарности (1.4.61) как ча стный случай могут быть получены математичес кие формулировки принципов возможных изме нений перемещений и напряжений, которые были изложены в п. 1.4.6 и 1.4.7.
Модифицированный принцип возможных пе ремещений. Изложенный в п. 1.4.2 принцип возможных перемещений требует, чтобы вы бранные перемещения удовлетворяли условию
Ô«. = 0 (/ = 1,2,3) на ^2.
Это ограничение можно устранить, если воспользоваться условием стационарности функ ционала Рейсснера-Хеллингера и дополнительно учесгь, что при решении задачи в перемещениях условия сплошности по объему тела выполняют ся автоматически. При этом условие (1.4.61) примет вид
к=1
где от системы функций / ^(О(^1?^2'-'^з) требу ется выполнение лишь их линейной независимо сти и условия полноты.
Используя далее кинематические соотно шения между компонентами перемещений г/, и компонентами деформации еу, физические зави симости между компонентами напряжения ау и компонентами деформации е,у , сможем выра зить через перемещения сначала деформации еу , а затем и напряжения ау.
^(/- ==ÈS4'4Î{^1>^2'^3> (1-4-64)
j-=U=:l
Внося выражения w/ и ау соответственно из (1.4.63) и (1.4.64) в условие стационарности (1.4.62) и учитывая зависимости (1.4.29) и (1.4.30), получим систему алгебраических урав нений для определения неизвестных параметров
Я1[4(«1.^."з)+^/]/1'^^-ЯН("1,«2.«з)-
V |
S, |
/ |
dcj, |
Л |
ЬЭ^ -Щ х,+- |
|
ô«,rfK + j|(a^.g-iV,). |
|
дх,J J, |
|
:5«,rf5-JJ(«, |
-й,)д5а,/5=0 |
|
|
|
(1.4.62) |
V |
V |
S, |
1.4.10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [37]
Изложенные вьпие вариационные принци пы могут быть применены для решения геомет рически нелинейных задач теории упругости. Для этого необходимо внести некоторые изме нения в их математю^еские формулировки. Суть этих изменений состоит в следующем:
а) вместо выражений для линейных компо нентов гу следует внести нелинейные компонен ты деформации sy , определяемые по зависимос тям (1.1.10);
б) уравнения равновесия по объему заме нить на соответствующие уравнения нелинейной теории упругости (1.2.14), а уравнения равнове сия на поверхности ^5*1 - уравнениями (1.2.13);
в) поверхностные усилия iv/ на части по верхности S2 определить с помощью зависимос тей (1.2.13).
54 |
Глава 1.5. МЕТОДЫ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ |
Ниже приведены математические форму лировки вариационных принхщпов нелинейной теории упругости Васидзу и РейсснераХеллингера. Формулировки остальных вариахщонных принципов могут быть получены из при
веденных как частный случай. |
п р и н ц и п |
В а р и а ц и о н н ы й |
Ва с и д з у :
ш'^-Х.^-Шн-
V \"^У |
J |
V |
1( ди^ ^ duj |
^ ди^ ди^dcyd |
|
2 dXj |
dxi |
дх^ dXj J |
|
|
y |
\ |
1] |
|
|
|
V |
|
.1 |
ÔUf Fkii\Ъи^аУ + |
||||
|
^J\ |
J |
|
|
|||
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
( |
|
\ |
-F^^u^dS- |
|
|
|
^IgKk s,+ |
dXi |
|
|
||||
•^1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-\\{u,-ui)bF^dS^O. |
|
|
(L4.65) |
||||
В а р и а ц и о н н ы й |
п р и н ц и п |
||||||
Р е й с с н е р а - Х е л л и н г е р а : |
|
|
|||||
|
|
|
Г/ |
ди, ^ |
'1^ |
Ô«,.</F + |
|
V |
|
дхи |
|
|
|||
|
V |
J J |
|
|
|
||
|
|
|
du. |
\bUidS - |
|
||
|
^Ig'vk |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dw* |
1 |
dUi |
|
|
|
|
|
^ij |
|
2 \ |
J |
|
|
|
\bGydV = 0, |
(1.4.66) |
|||
dXi |
dX: |
dXi |
, |
|
|
|
|
i |
i |
J J |
|
|
|
|
где
^'K)=^(/M^^/)-^K)-
Глава 1.5
МЕТОДЫ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ (МКЭ) И ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ (МГЭ)
МКЭ является одним из наиболее эффек тивных и общих численных методов решения краевых задач механики сплошных сред, в част ности механики деформируемого твердого тела [2, 10, 12, 15, 22, 26, 28, 29, 36, 40, 43, 44, 46, 47].
Вгл. 1.4 был изложен ряд вариационных методов решения задач механики деформируе мого твердого тела. При их использовании апп роксимацию основных неизвестных осуществля ли через координатные функции, которые опре делялись одним выражением для всей рассмат риваемой области V; интегралы вычисляли также сразу по всей области.
Вметоде конечных элементов область раз бивают на ряд непересекающихся подобластей
Vgle = 1,М\, называемых конечными элемента ми. Для каждой подобласти кусочньпл образом строят аппроксимации искомых функций с при менением различных базисных (координатных)
функций в зависимости от геометрии элемента. Основные преимущества МКЭ проистека
ют из его сеточного (разбивка на конечные эле менты) и вариационного (использование вариа ционных принципов) характера. Вариационный подход расширяет класс допустимых функций и, в частности, позволяет конструировать решение при помощи не очень гладких, но, что важно, локализованных функций. Вариационный под ход позволяет также исключить из специального рассмотрения естественные граничные условия. Наконец, сеточный характер МКЭ облегчает известные трудности, связанные с выбором ба зисных функций в вариационных методах. В классических вариационных методах, изложен ных в гл. 1.4, этот выбор сильно усложняется их зависимостью от конфигурахщи рассматриваемой области. В МКЭ такой зависимости нет. Влия ние сеточных методов на МКЭ приводит к тому, что разрешающие системы алгебраических урав нений оказываются хорошо обусловленными, с редко заполненными матрицами, и, что очень важно, формирование таких матриц оказывается сравните;п»но простым.
Из вьпиеизложенного следует, что МКЭ можно трактовать как специфический вариаци онный метод. Специфика состоит в выборе ба зисных функций, которые отличны от нуля в ограниченном числе смежных конечных элемен тов и, следовательно, носягт локальный характер. Именно это и обеспечивает решающее преиму щество МКЭ перед классическими вариацион ными методами. Каждый из методов гл. 1.4 можно рассматривать как частный случай МКЭ, при котором вся область рассматривается как один конечный элемент.
ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ В ПРОЦЕДУРЕ МЕТОДА |
55 |
1.5.1.0СН0ВНЫЕ ОПЕРАЦИИ В ПРОЦЕДУРЕ МЕТОДА И ЕГО ХАРАКТЕРНЫЕ ЧЕРТЫ
Краевая задача и ее вариационная формули ровка. Пусть' ДЛЯ рассматриваемой краевой зада чи поведение искомой функции w(x, у, z) внутри заданной ограниченной области V описывается некоторым дифференциальным уравнением 2 т-го порядка:
L^^'"\w,K,x,y,z) |
= q{x,y,z) |
е V, (1.5.1) |
|
где Z(2m) _ |
самосопряженный, |
положительно |
|
определенный |
дифференциальный оператор 2 |
т-го порядка; К - параметр, характеризующий свойства сплошной среды в объеме V; q(x,y,z) - внешнее воздействие.
Уравнение (1.5.1) дополняется совокупнос тью m краевых условий:
а) главных, в которые входят производные от искомой функции по координатам порядка a+P+Y<m - 1,
Л |
W , . . . , |
dx'^dyhz' |
,x,y,z |
\ :/Дх,>;д), (1.5.2) |
|
|
|
|
|
|
( l < a - f - p + y < w - l ; |
/ = 1,2,...,г); |
б) естественных, уравнения которых со держат хотя бы один член с производной, поряд ка а-ф-ну>т.
f д W
-yx.y.z = //(^,>'д),
(1.5.3) ( т < ( а + р + у ) ^ ^ < 2 т - 1 ; / = г + 1 , . . . , т ) .
В задачах механики твердого деформируе мого тела для определения функции w(x,y,t) вместо совместного рассмотрения уравнений (1.5.1), (1.5.2) и (1.5.3) можно воспользоваться условием стационарности некоторого функцио нала (см. п. 1.4)
5^w)=0. (1.5.4) Функционал 3(w) содержит производные от Mx,y,Z) до т-го порядка вместо производных
до 2т-го порядка в дифференциальном уравне нии (1.5.1). Это облегчает подбор аппроксими рующих функций для w{x,y,z)y поскольку для получения однозначного функционала 3iw) тре буется обеспечить непрерывность функц11и w(x,y,z) и ее производных лишь до m-1-го по рядка вктпочительно.
Соблюдение этих требований при выборе аппроксимирующей функции для w(x,y,t) обес печивает сходимость решения по МКЭ с точным решением при уменьшении размеров конечных элементов, на которые разбивается рассматрива емая область V.
Основные операции в процедуре метода ко нечных элементов. Д и с к р е т и з а ц и я о б л а с т и . Разбиение области V на подобласти
(конечные элементы) Vg (е=1,2,...,Л/) является первым шагом на пути к решению задачи. Этот шаг не имеет теоретического обоснования и за висит от имеющихся инженерных навыков. Не достатки этого этапа работы будут приводить к значительным погрешностям расчета, если даже все остальные этапы метода выполнены с доста точной точностью.
Использование слишком мелких элемен тов, хотя, как правило, и повышает точность, увеличивает общую трудоемкость расчета. В рай онах области, где ожидается резкое изменение результатов, следует использовать мелкую раз бивку на элементы. Там же, где ожидаемый ре зультат изменяется по области сравнительно слабо, можно использовать при дискретизации более крупные элементы.
Выбор типа, формы элемента и числа его узловых точек зависит от характера рассматрива емой задачи и от той точности решения, кото рую требуется обеспечить. Например, при реше нии одномерных задач распространения тепла и в задачах строительной механики при расчете стержневых конструкций область разбивают на одномерные конечные элементы, взаимосвязан ные между собой по концам. При решении плоских задач (плоское напряженное состояние, задача теплопроводности в пластине и т. д.) об ласти аппроксимируются треугольными или четырехугольными плоскими конечными эле ментами (рис. 1.5.1). Если рассматривается трех мерная область, то обычно она идеализируется с помощью элементарных тетраэдров, прямоу гольных параллелепипедов либо неправильных шестигранников (рис. 1.5.2).
у*
Рис. 1.5.1. Типы двухмерЕ[ых конечных элементов
При замене исходной конструкции сово купностью дискретных элементов стараются обеспечить как можно большую идентичность в поведении конструкции и ее дискретной модели.
56 |
|
Глава 1.5. МЕТОДЫ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ |
|
|||||
|
|
^в |
обеспечить непрерывность фунищи \^{x,y,z) и ее |
|||||
|
>'^ |
производных до /и - 1-го порядка включительно |
||||||
|
во всей области V. Что же касается производных |
|||||||
|
|
/и-го порядка, то в каждом из интерполирующих |
||||||
|
|
полиномов должны содержаться члены, обеспе |
||||||
|
|
|
|
чивающие их переход к постоянным значениям |
||||
|
|
|
|
при уменьшении размеров конечного элемента. |
||||
|
|
|
|
При этом производные /и-го порядка могут |
||||
|
|
|
|
иметь разрывы первого рода по граням стьжовки |
||||
^ |
Рис. 1.5.2. Типы объемных конечных элементов |
смежных конечных элементов. Вьшолнение эткх |
||||||
условий обеспечивает сходимость МКЭ и воз |
||||||||
|
В ы б о р о с н о в н ы х |
н е и з в е с т |
можность в дальнейшем при определении значе |
|||||
|
ния функционала для всей области V воспользо |
|||||||
н ы х [32]. В качестве основных неизвестных в |
ваться зависимостью |
|
|
|||||
МКЭ принимают узловые значения искомой |
|
|
|
|
|
|||
функции и ее частных производных до m-го |
%)=Е5>^'М. |
(1.5.5) |
||||||
порядка. При этом для обеспечения условий |
||||||||
сходимости метода часто оказывается достаточ |
|
|
е=1 |
|
|
|||
ным включить в число узловых неизвестных |
где Э^ W{«) |
- значение |
функционала Э{у^) в |
|||||
лишь определенную часть из общего числа про |
||||||||
изводных /и-го порядка. Более того иногда про |
замкнутом объеме ^-го конечного элемента. |
|||||||
изводные /w-ro порядка полностью исключают из |
||||||||
числа узловых неизвестных. |
|
При этом с увеличением числа конечных |
||||||
|
Общее число неизвестных определяет число |
элементов сумма в правой части равенства (1.5.5) |
||||||
степеней свободы, от которого зависит точность |
равномерно стремится к точному значению фун |
|||||||
определения искомой функции в объеме каждо |
кционала чЭ(>у) для всей области V. |
|
||||||
го конечного элемента, а следовательно, и во |
Если функционал Э зависит от нескольких |
|||||||
всей области V. .Увеличить точность решения |
подлежащих |
определению |
функций, |
например, |
||||
можно либо путем увеличения числа конечных |
Э=Э{и{х, у, |
Z), ^{х, у, zS), то интерполирующий |
||||||
элементов, на которые разбивается область, либо |
полином для каждой из этих функций должен |
|||||||
путем увеличения числа узловых точек, т.е. числа |
обладать С^"^ гладкостью, где у - порядок выс |
|||||||
степеней свободы для каждого конечного эле |
шей производной данной функции, которая |
|||||||
мента. Примеры таких высокоточных элементов |
входит в общее выражение функционала Э. |
|||||||
приведены на рис. 1.5.3. |
|
Вопросы |
построения |
интерполирующих |
||||
П |
|
|
|
полиномов для конечных элементов определен |
||||
|
|
|
|
ной геометрии рассмотрены ниже. Пока же |
||||
|
|
|
|
предположим, |
что интерполирующий |
полином |
||
|
|
|
|
для в-го конечного элемента определен и может |
||||
|
|
|
|
бьпъ представлен в виде |
|
|
У\ |
О) |
|
,г2У\ |
||
|
^^\^
Рис.1.5.3. Высокоточные конечные элементы:
а- плоские; б - пространственные
По с т р о е н и е и н т е р п о л и р у
ю щ е г о |
п о л и н о м а |
и |
у с л о в и я |
с х о д и м о с т и М К Э |
[13]. После выбора |
||
узловых |
неизвестных строят |
интерполирующий |
полином, которым выражается закон изменения искомой функции w{x, у, Z) по объему конечного элемента через значения его узловых неизвест ных.
Основная трудность построения состоит в том, что полученные интерполирующие поли номы для каждого конечного элемента должны
NW(x.>',z)yqW. (1.5.6)
где ^{x,y,z) - матрица-строка, элементами кото рой являются известные функции координат
точек. Вид функций N\ i^^y^z) определяется геометрией элемента, классом задачи и содержа-
(е)(е)
нием вектора q ; q - вектор узловых неизве стных е-го конечного элемента, состоящий из г узловых неизвестных. Каждьш элемент матрицы
(е)
q имеет два индекса, один из которых фикси рует его принадлежность к конкретному конеч ному элементу, а второй индекс определяет его положение среди г узловых неизвестных элемен та. Тогда аппроксимация закона изменения ис комой функции 'w{x,y,z) по всей области К опре деляется суммой
ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ В ПРОЦЕДУРЕ МЕТОДА |
57 |
|
|
= K ^ ^ q ^ ^ - P ^ ^ (1.5.13) |
|
(1.5.7) |
где |
Чх, y, z)=NT(x, y, z)q. |
(1.5.8) |
KW ГтМУкНт^^ |
где
e) r ^ ( e ) p(^) ^ I jK-j I p'
T |
(1) |
(2) |
[M] |
q = g |
"Я |
||
|
g |
|
- вектор узловых неизвестных для всей совокуп ности конечных элементов области.
П о л у ч е н и е о с н о в н о й с и с т е м ы р а з р е ш а ю щ и х у р а в н е н и й . Минимизируя функционал 3(w) по всем элемен там вектора q всей области, получаем
d3{w) |
M |
S3\w |
|
|
У |
^ |
0. |
(1.5.9) |
|
|
^ |
(e |
|
|
Каждый е-й член выражения (1.5.9) может быть |
||||
представлен в виде |
|
|
|
|
dq(e) |
= к(^) |
|
(1.5.10) |
где К^^)- квадратная матрица г-го порядка в мес тной системе координат ^-го элемента. Коэффи циенты этой матри1Ц»1 зависят от свойств среды, геометрии конечного элемента и выбора узловых неизвестньЕХ. Для нелинейных задач матрица К(^) является функцией вектора q(^); Р^^^ - вектор размером г. Он определяет внешнее воздействие на узлы е-го элемента в местной системе коор динат.
Направления узловых перемещений конеч ного элемента обычно ориентируют по направ лениям осей местной, связанной с элементом системы координат. Однако получение основной системы уравнений МКЭ упрощается, если вме сто вектора q(^) ввести в рассмотрение вектор узловых неизвестный ^-го элемента в общей для
конструкции системе координат q |
: |
|
(е) |
^(е)_(в) |
(1.5.11) |
qV ; |
^jV )^К }^ |
где Т(^) - матрица перехода к узловым неизвест ным в общей системе координат x,y,Z- При этом по аналогии с (1.5.9) и (1.5.10) можно на писать
|
Md3\w |
(e) |
|
|
Ô3(w) |
|
|
||
|
|
= 0; |
(1.5.12) |
|
|
|
|
||
ôq |
e=l |
dq |
(^) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
- соответственно матрица жесткости и вектор узловых усилий е-то элемента в общей для кон струкции системе координат.
С учетом (1.5.13) уравнение (1.5.12) можно переписать в виде
дэ |
- _ - |
|
— |
= К д Я - Р = 0, |
(1.5.14) |
aq
где |
^(1)^(2) ^ ( ^ ) |
(1.5.15) |
|
||
|
|
- квазидиагональная матрица порядка гМ в об щей системе координат;
р(1)р(2) |
(М)] |
(1.5.16) |
|
|
- вектор узловых внешних усилий всей совокуп ности конечных элементов в общей системе ко ординат размером гМ.
Уравнение (1.5.14) не учитывает того об стоятельства, что вследствие условий неразрыв ности узловые неизвестные не завис$гг от "принадлежности" узловой точки к тому или иному из примьпсающих к ней элементов.
Введем в рассмотрение вектор основных неизвестных в общей системе координат
Q = {QIQ2:.QNI
где N - общее число узловых неизвестных для всей области.
Между элементами векторов q" и Q суще
ствует определенная связь |
|
q = HQ, |
(1.5.17) |
где H - матрица размером rMxN. Ее структура определяется геометрией элемента, классом кра евой задачи и принятым порядком нумерации для элементов векторов q" и Q.
-le]
Если теперь принять в векторе Р тот же порядок нумерации компонентов, который ис-
пользован в векторе q' , то, умножая уравне ние (1.5.14) слева на матрицы W и учитывая зависимость (1.5.17), получаем
K*Q - F=0, (1.5.18)
где
К*=1Г Кд H |
(1.5.19) |
58 |
Глава 1.5. МЕТОДЫ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ |
- общая матрица жесткости (матрица коэффици ентов при основных неизвестнык) в общей сис теме координат для всей области.
Порядок квадратной матрицы К* равен N;
¥=№¥ |
(1.5.20) |
- вектор узловых внешних нагрузок для всей области в общей системе координат размером N.
Полученное матричное уравнение (1.5.18) и есть искомая система алгебраических уравнений метода конечных элементов для определения
основных узловых неизвестных. |
|
с и |
|
С о в м е с т н о е |
р е ш е н и е |
||
с т е м ы а л г е б р а и ч е с к и х |
у р а в н е |
||
н и й (1.5.18). О п р е д е л е н и е |
"вы |
||
х о д н ы х " п а р а м е т р о в |
к р а е в о й |
з а д а ч и . Для линейных краевых задач система уравнений (1.5.18) линейна. Для ее решения обычно используют методы Гаусса, Халецкого, сопряженных градиентов и иногда, при очень высоком порядке системы, итерационные мето ды.
Для нелинейных краевых задач система уравнений (1.5.18) нелинейна, поскольку матри ца К* является функцией определяемых неизвес тных параметров Q/. При решении нелинейной системы алгебраических уравнений используют итерационные методы.
Пусть вектор Q найден. Тогда с помощью зависимости (1.5.17) можно определить вектор q", а затем, воспользовавшись выражениями (1.5.11) и (1.5.7), - вектор q(^) и функцию w(x,y,z) для всей области V. Значения производных от функции w(x,y,z), которые нас также могут инте ресовать при решении краевых задач, определя ют либо дифференцированием полученного вы ражения для w(x,y,z), либо непосредственно че рез узловые значения искомых производных, если последние входят в состав вектора Q.
1.5.2. ИНТЕРПОЛИРУЮЩИЕ ПОЛИНОМЫ
Одной из наиболее ответственных опера ций метода конечных элементов является пост роение интерполирующих функций для прибли женного отображения закона изменения иско мой функции w(x,y,z) по объему конечного эле мента через значения узловых неизвестных. Опе рация часто оказывается весьма трудоемкой. Ее основная трудность состоит в том, что построен ные интерполирующие функции для каждого конечного элемента должны обеспечить непре рывность функции w(x,y,z) и ее производных до /и - 1-го порядка во всей области (т - порядок высшей производной функции w, входящей в общее выражение функционала Э, из условия стационарности которого и определяется функ ция w).Производные /и-го порядка могут иметь разрывы первого рода по граням стыковки смежных конечных элементов (см. п. 1.5.1).
Вьшолнение указанных требований в от ношении каждой из неизвестных функций, ко торые входят в функционал Э, обеспечивает схо
димость решения по МКЭ с точным при умень шении размеров конечных элементов. Есте ственно, что при выбранной геометрии конечно го элемента для обеспечения условий сходимос ти необходимо располагать в интерполирующей функции определенным минимумом произволь ных параметров. Дальнейшее увеличение числа произвольных параметров в интерполирующей функции связано с появлением дополнительных узловых неизвестных. В результате получаем так
называемые высокоточные конечные элементы.
Ниже при изложении вопроса построения интерполирующих функций последовательно рассматриваются одномерные, двухмерные и трехмерные задачи.
Одномервая область. Пусть замкнутый ин тервал [О,/] изменения х разбит внутренними точками
0 = XQ<X^<X2 |
< . . . < X ^ _ I <Х^ < <Х^ |
=1 |
на M замкнутых участков-элементов
[XQ,XI], [л:1^:^2]'-'[^е-1>^е]> [^м-1'^м]- Изменение искомой функции w(x) для е-го эле мента аппроксимируем полиномом р^^\х) л-й степени
( \ |
^ |
' |
/=0
хе[х^_^,х^], (е = 1,2,...,М).
Непрерывность функции w(x) и ее произ водных до m - 1-го порядка в интервале [О,/] будет обеспечена, если степень каждого из поли номов р^^\х) удовлетворяет зависимости
п+1>2т (1.5.22) и для определения неизвестных параметров а/ среди И+1-Г0 условия для каждого е-то участка будут содержаться следующие 2т условия:
|
|
d'w |
|
|
— 7 - ( ^ e - l ) |
= — T(^e - l); |
|
||
дх |
|
ôx |
|
|
dp |
/ ч |
дw wГУ , . |
(1.5.23) |
|
—т-Ы = тт(^е)> |
||||
|
||||
дх |
|
дх |
|
|
(/ = |
0,1,...,/»-!). |
|
При л+1>2/и недостающие для определе ния параметров условия составляют по аналогии с условиями (1.5.23), но для некоторых проме жуточных узловых точек рассматриваемого ин тервала.
Ниже приведены два примера построения интерполирующих полиномов для простейших одномерных конечных элементов с расположе нием узловых точек по его концам. При этом степень полинома
л=2т - 1.
(1.5.24)
|
|
ИНТЕРПОЛИРУЮЩИЕ ПОЛИНОМЫ |
59 |
|
|
|
• |
ifoM |
|
|
|
VÎ7 |
|
|
О — — О - |
хг |
Xj х^Ы X |
|
|
|
л |
L |
||
|
|
а) |
||
|
|
|
|
|
i/,w |
|
|
(JJ(X) |
\bW |
. ^ 1 ^ . |
|
Ll]C=ï=lClL |
k<fjx) |
||
|
|||
Л/ Хг яз H к |
|
J L . ^ ^ |
|
б) |
|
||
|
|
||
|
|
S) |
Рис. 1.5.4. К вопросу построения интерполирующего полинома для одномерной области:
а - одномерная область, разбитая на четыре конечных элемента; б - интерполируюпщй полином для всей области; в - локальные координатные функции, вызванные смещением лишь одной узловой точки
Пример 1. Для функции w(x) одномерной краевой задачи, описываемой дифференциаль ным уравнением второго порядка (2w=2), пост роить интерполирующий полином дня ^-го ко нечного элемента (уравнением такого типа опи сываются некоторые задачи растяжения и 1фучения стержней).
Р е ш е н и е . Согласно равенству (1.5.24) степень полинома и=2/и - 1=1 и, следовательно, интерполирующий полином (1.5.21) будет иметь вид
Неизвестные параметры а,- определяем из условий (1.5.23), которые для 2т—2 дают следу ющие два условия:
Отсюда
«п = K^e-lK->^(^eK-l.
^е |
^е-1 |
|
a^ = ^ ( ^ e ) - ^ ( ^ e - l ) . |
|
|
х^ -X, |
|
|
е -^e-l |
|
|
р^ 'х = whc. |
• + Wi |
х-х, e-l |
e-l |
К) |
|
Пусть лля определенности интервал изме нения X (рис. 1.5.4, а) был разбит на четыре ко нечных элемента. ТоГда "склеивая'* интерполи рующие полиномы по отдельным элементам, получаем аппроксимирующую функцию w(x) для всей области (рис. 1.5.4, в). Полученную функ цию w{x) можно представить в виде суммы
4 , , |
4 |
е=1 е=1
Отсюда видна отмеченная ранее "лока льность" координатных функций (ре(х) , каждая из которых оказывается отличной от нуля лишь в области конечных элементов, непосредственно примыкающих к данному узлу (рис. 1.5.4, б). Такое свойство координатных функций в МКЭ позволяет как бы набирать искомое решение из отдельных "универсальных кирпичиков". Имен но в этом причина большинства положительных черт метода конечных элементов.
Пример 2. Для функции w(x) одномерной краевой задачи, описываемой дифференциаль ным уравнением четвертого порядка (2w=4), построить интерполирующий полином для ко нечного элемента. К этому классу задач относит ся задача изгиба балок.
Р е ш е н и е . Согласно равенству (1.5.24) в данном случае п=2т - 1=3, и интерполирующий полином будет иметь вид