Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин
.pdf40 |
Глава 1.3. СВЯЗЬ КОМПОНЕНТОВ НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ ДЛЯ УПРУГОГО ТЕЛА |
3 |
а^а |
Ла 11 ^ |
2 |
1 + V ^Xj
{2-v)—L + V
1 - V 5Хо дХ'3 ;
3 а а
ACJ22 + -
1 + V дх-^
|
( 2 - v ) |
-I-V |
^ а ^ ^ а х з^ |
||||
|
|
|
|
|
|||
1 - V |
дх^ |
дх^ |
дх- |
|
; |
||
|
|
|
|
|
3 |
||
|
3 |
д G |
|
|
|
|
|
Лсгзз |
+ - |
|
|
|
|
|
|
|
1 + V 5X3 |
|
|
|
|
|
|
|
( 2 - v ) дХ, • + V ^aZi |
0X2^ |
|||||
1 - V |
дх-х |
^дх, |
дХ'2 |
/ |
|||
AcTi2 |
3 |
да |
dXi |
dX'j |
|
|
|
+ - |
|
|
L+ |
éL |
|
|
|
|
1 + V ох^дХ2 |
^дХ2 |
дх^ |
j |
|
||
|
3 |
d^G |
{ дх. |
дХ^ |
\ |
|
|
Аа^3+- |
|
|
L.^. |
2. |
|
|
|
|
удх^ |
axj J |
|
|
|||
|
1 + V 5x^^X3 |
|
|
||||
|
3 |
а^а |
( |
дх2 |
а^з |
\ |
|
|
|
|
|
||||
Аа2з |
+- |
|
|
|
|
||
|
^ахз |
ах2; |
|
||||
|
1 + V 5X2^X3 |
|
^Ж^^^^^^^Х,=0;
|
дх. |
ахо |
|
дхг> |
|
|
|
|
|||
да21 |
да22 |
|
да23 |
+ Х. =0; |
|||||||
|
axi |
|
дх-. |
|
дХг, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
да31 |
да32 |
|
да33 |
+ Хз=0. |
|||||||
|
axi |
|
ахо |
|
ах. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
С и л о в ы е г р а н и ч н ы е |
|
у е л о |
|||||||||
В И Я н а |
ч а с т и |
п о в е р х н о с т и |
^S*!: |
||||||||
^vl |
= ^vl ^ |
|
^v2 = |
^v2 ^ |
^v3 |
= |
^v3, |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^vl |
= ^ l l ^ v l |
+^12^v2 |
+^13^v3' |
|
|||||||
Kl |
=^21^vl |
+^22^v2 |
+^23^v3^ |
||||||||
Кз |
= ^31^vl |
+^32^v2 |
+^33^v3- |
|
|||||||
К и н е м а т и ч е с к и е |
|
г р а н и ч н ы е |
|||||||||
у с л о в и я |
н а |
|
ч а с т и |
п о в е р х н о с т и |
|||||||
|
и^ |
= и^; |
U2= |
U2\ «3 |
= " з - |
|
|||||
Г е о м е т р и ч е с к и е |
|
с о о т н о ш е |
|||||||||
н и я: |
|
а«1 . |
|
|
a«2 |
|
|
du 3 . |
|||
811 |
= |
|
|
|
|
||||||
axi |
' |
^22 |
- |
"ахо |
^33 |
дх-х |
|||||
|
|
||||||||||
^12 |
|
awj |
ам2 |
|
|
|
|
||||
- • |
|
|
ах1 J |
|
|
|
|
||||
|
|
ахл |
|
|
|
|
где
|
2 |
2 |
2 |
^ ^ Стп + ^ 2 2 -^^33 . |
д ^ а |
а |
а |
3 |
2""^ |
2* "^ |
Т |
axj |
âx:2 |
а^з |
Система шести дифференциальных уравне ний (1.3.34) содержит шесть неизвестных компо нентов напряжения а,у и может быть использо вана для решения прямой задачи теории упру гости.
1.3.7. ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е у р а в н е н и я р а в н о в е с и я п о о б ъ е м у т е л а :
-13 |
|
ди^ |
а^з |
|
|
|
|
ах^ |
|
a^i1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
aw^ |
|
du |
|
|
823 |
- - |
ахз |
|
0X2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Ф и з и ч е с к и е |
у р а в н е н и я : |
|||||
Qii = |
dW |
; ai2 |
= |
dW |
;---,'сг2з = |
dW . |
Ml |
су&ц |
|
|
a8i |
|
авл^^23 |
|
|
|
^ 1 2 |
|
Для физически линейной задачи связь между компонентами напряжения и деформации определяется соотношениями закона Гука для изотропного тела (1.3.26).
Компоненты перемещения, деформахщи и напряжения истинного равновесного состояния геометрически линейной задачи теории упругос ти должны удовлетворять всей совокупности выписанных выше уравнений и соотношений .
|
|
|
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ УПРУГОСТИ И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ |
|
|
|
41 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
Глава 1.4 |
|
|
|
|
|
|
|
шении задач механики деформируемых сред. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ниже приведено краткое их содержание, проил |
|||||||||||||
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И |
люстрированное примерами. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ, |
|
|
|
1.4.1. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ |
|
|||||||||||||||||||||
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ И |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ |
|
|
|
|
|
|
И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ |
|
|
|||||||||||||||
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ |
|
|
Линейно и нелинейно деформируемые упру |
|||||||||||||||||||||||
ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА |
|
|||||||||||||||||||||||||
гие системы. Совершенно упругие тела делятся |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на два класса: линейно деформируемые и нели |
|||||||||||||
Состояние |
статического |
равновесия |
или |
нейно деформируемые. У линейно деформируе |
||||||||||||||||||||||
мых систем зависимость между внешними на |
||||||||||||||||||||||||||
движения деформируемых систем наряду с диф |
грузками |
и |
перемещениями |
(деформациями, |
||||||||||||||||||||||
ференциальными уравнениями можно описывать |
напряжениями, |
внутренними |
усилиями) линей |
|||||||||||||||||||||||
с помощью вариационных принципов. Так, по |
на. |
Для |
линейно |
деформируемых |
систем |
все |
||||||||||||||||||||
ложение |
равновесия |
консервативной |
системы |
основные |
уравнения: равновесия; совместности |
|||||||||||||||||||||
есть положение, в котором сумма работ всех сил |
||||||||||||||||||||||||||
деформации |
и |
физические, |
составленные |
для |
||||||||||||||||||||||
(внутренних |
и |
внешних) системы |
имеет |
мини- |
||||||||||||||||||||||
рассматриваемой конструкции,- линейные. |
|
|||||||||||||||||||||||||
магшное значение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обобщенные перемещения и обобщенные си |
||||||||||||||||
Указанное |
положение |
позволяет |
заменить |
|
||||||||||||||||||||||
лы. Под |
обобщенными перемещениями понимают |
|||||||||||||||||||||||||
проблему |
решения |
систем |
дифференциальных |
|||||||||||||||||||||||
такую совокупность некоторых независимых |
па |
|||||||||||||||||||||||||
уравнений |
|
равновесия |
рассматриваемого |
|
тела |
|||||||||||||||||||||
|
|
раметров, |
которая |
вполне определяет |
переме |
|||||||||||||||||||||
проблемой |
определения |
функций, |
обеспе |
|||||||||||||||||||||||
щения всех |
точек |
рассматриваемого |
тела. При |
|||||||||||||||||||||||
чивающих минимум некоторого функционала, в |
||||||||||||||||||||||||||
этом произвольные |
изменения обобщенных |
пе |
||||||||||||||||||||||||
данном случае |
суммой |
работ всех |
сил, |
дейст |
||||||||||||||||||||||
ремещений (координат) |
не приводят |
к наруше |
||||||||||||||||||||||||
вующих на систему. Для определения |
этого ми |
|||||||||||||||||||||||||
нию |
кинематических |
|
связей, |
наложенных |
на |
|||||||||||||||||||||
нимума используют так |
называемые |
прямые ва |
|
|||||||||||||||||||||||
систему. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
риационные методы, основы которых были зало |
|
1. |
Если |
перемещения |
свободно |
|||||||||||||||||||||
жены в работах Рэлея и Ритца. |
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
опертой балки длиной / представить в виде |
|
|||||||||||||||||||
В общем случае все основные уравнения |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
А |
|
. кжх |
|
|
|
||||||||||||||||
механики деформируемого твердого тела или |
|
|
|
|
|
У |
, |
|
|
|||||||||||||||||
любую их часть можно заменить условием ста |
|
|
|
yv(x) =^ |
|
qj^ sm |
|
|
||||||||||||||||||
ционарности некоторого функционала. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Использование |
вариационных |
принципов |
то в соответствии с данным выше определением |
|||||||||||||||||||||||
позво7[яет получить приближенное решение кра |
коэффициенты qtc можно рассматривать в каче |
|||||||||||||||||||||||||
евых задач механики твердого деформируемого |
стве обобщенных координат. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
тела по существу с любой наперед заданной точ |
|
Обобщенные силы Qjç не могут задаваться |
||||||||||||||||||||||||
ностью. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
произвольно, а должны соответствовать выбран |
|||||||||||||
В настоящей главе для сплошных тел, на |
ным обобщенным координатам qjç. По определе |
|||||||||||||||||||||||||
ходящихся в равновесии, формулируются два ос |
нию, обобщенная сила Qk есть коэффициент |
при |
||||||||||||||||||||||||
новных вариационных принципа: принцип воз |
приращении обобщенной координаты bqjç в об |
|||||||||||||||||||||||||
можных перемещении и принцип возможных напря |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
жений. Приведены некоторые обобщения этих |
щем выражении для работы всех внешних сил, |
|||||||||||||||||||||||||
приложенных к системе, на этом перемещении: |
||||||||||||||||||||||||||
принципов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8Ufc=Qf^qk- |
|
|
(1.4.1) |
|||||||
В общем случае оба основных вариацион |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ных принципа носят статико-геометрический ха |
|
Пример 2. На балку, изображенную на рис. |
||||||||||||||||||||||||
рактер, т.е. справедливы при любых свойствах |
1.4.1, действуют распределенная нагрузка интен |
|||||||||||||||||||||||||
материала тела. Каждый вариационный |
принцип |
сивностью q(x) , сосредоточенная сила Р в сече |
||||||||||||||||||||||||
утверждает, |
что |
для |
некоторого |
класса |
задач, |
нии X = Cl и момент M в сечении х ~ С2. Упругая |
||||||||||||||||||||
если заданы условия |
задачи, |
из |
всех |
мыслимых |
||||||||||||||||||||||
линия балки представлена в виде |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
состояний (процессов), совместимых с этими |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
условиями, в действительности реализуется такое |
|
|
|
>^(^) = £ ^ У ^ Ф Л 4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
состояние (процесс), которое придает опреде |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
ленному, характерному для этого принципа и |
|
|
|
|
|
|
к=1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
класса задач, функционалу стационарное значе |
где ipk(x) - известные координатные функции |
|||||||||||||||||||||||||
ние. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(см. п. 1.4.2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Иногда, о чем уже упоминалось выше, |
|
Требуется найти обобщенные силы Qfç. |
|
|||||||||||||||||||||||
можно говорить не о стационарном, а об экстре |
ки |
Р е ш е н и е . Вариация перемещения бал |
||||||||||||||||||||||||
мальном значении функционала. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вариационные принципы позволяют с еди |
|
|
ом;(х) = ^59^Ф^(4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
ных идейных позиций рассмотреть поведение |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
совершенно |
различных |
физических |
процессов. |
|
|
|
|
|
*=! |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Они нашли |
широкое |
использование |
и |
при |
ре |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42 |
Глава 1.4. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ УПРУГОСТИ И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ |
|
|
формации по обобщенной координате равна соот |
|
|
ветствующей обобщенной силе |
|
|
— = Qk. |
(1-4.2) |
•(и\\\\ |
\\\ |
\\л\ |
T T N - , |
|
|
|
|||
1 . |
''' |
г\ |
^ |
|
|
|
^^ |
|
|
|
|
i |
|
|
\z |
|
|
|
|
|
Рис. 1.4.1. К определению обобщенной силы Qff |
|||
|
На этой вариации перемещения внешние |
|||
силы совершают работу |
|
|||
|
|^(х)ф^ ( х ) ^ + Рф^ (cj ) + Л/фЦсз) ^^k- |
|||
|
 : = l |
|
|
|
Отсюда согласно (1.4.1) |
|
|||
|
/ |
|
|
|
Qk |
=\^{x)<pj^{x)dx |
+ PiÇj^{c^) + mi^'j^[c^\ |
где 77 = 111 WdV - потенххиальная энергия тела.
V
Теорема Кастильяно. Частная производная от дополнительной потенциальной энергии тела по обобщенной силе равна соответствующему этой силе обобщенному перемещению
дП'
|
|
= ^^, |
(1.4.3) |
где 77' = |
111 W'dV |
- дополнительная |
потен |
циальная энергия тела. |
системы |
||
Для |
линейно |
деформируемой |
|
17'^= Пи, |
следовательно, формула (1.4.3) преоб |
||
разуется к виду |
|
|
|
|
а77 |
|
|
|
|
= qj,, |
(1.4.4) |
Пример 4, Воспользовавшись теоремой Ка стильяно, найти прогиб призматической кон сольной балки, изображенной на рис. 1.4.2, в сечении х = /.
|
Пример 3. Тело загружено объемными си |
|
|
|
|
||
лами |
Х Д / = 1,2,3) |
и поверхностными |
си |
7''CÛ/7St |
L |
|
P |
лами |
F^Ai = 1,2,3) на |
части поверхности |
тела |
|
1 |
||
Si. Компоненты перемещения заданы в виде |
'А1 |
^ |
|
\ |
|||
|
X |
||||||
|
ОО |
|
0'^ |
fj^const |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
«/(^» У^ z) = J^^ifc^iki''^ У^ z\ О' = 1> 2, 3),
1
где ф^^(х,>',^) - координатные функции.
Требуется найти обобщенные силы G/^f Р е ш е н и е . Вариация перемещения
ОО
ъи^{х,у,1) = Y,^gik^ik{x.y,zy
k=l
На этой вариации перемещения внешние силы совершают работу
\fz
Рис. 1.4.2. К определению прогиба w(l)
Р е ш е н и е . Принимая в качестве обоб щенной силы силу Р, ]Щ5И линейно деформируе мой системы согласно формуле (1.4.4)
sî/ = X
k=l V |
s, |
J |
Отсюда |
|
|
дР
Потенциальная энергия балки, если огра ничиться лишь учетом энергии изгиба.
V |
S^ |
П = - |
^-^dx |
Теорема Лагранжа. В положении равновесия |
li |
Ej |
|
тела производная от |
потенциальной энергии де- |
и, следовательно. |
|
|
|
|
ПРИНЦИП возможных ПЕРЕМЕЩЕНИЙ |
43 |
|
,, |
^гМ(х)оМ(х) ^ |
||||
W |
|
EJ |
|
дР |
|
|
о |
|
|||
Подставляя сюда выражение для изгибаю |
|||||
щего момента |
|
|
+ я{^-Г |
||
М{х)=Р{1-х) |
|||||
получаем |
|
'Pl' |
ql' |
||
.(/) |
= |
||||
|
3 |
8 |
|||
|
EJ ч |
Если в состав нагрузки рассматриваемой системы обобщенная сила, соответствующая ис комому перемещению, не входит, следует ввести в систему фиктивную силу Оф, которую после нахождения общего выражения для обобщенного перемещения положить равной нулю, т.е.
|
dn' |
^ô* = |
(1,4.5) |
ЩФ / |
|
|
оф=0 |
Если первое состояние тела вызывается действием объемных (Х'п и поверхностных
iFl^i) сил (вызываемые их действием перемеще ния равны и\), а второе состояние тела вызыва ется силами Х" и F!^^ (вызьшаемые этими сила ми перемещения равны «J), тогда на основании (1.4.7) можем записать
V |
s |
V |
^fj^v>;dS. |
|
(1.4.8) |
Еще одна формулировка теоремы о взаим ности работ может быть получена непосредст венно из (1.4.8):
JJj4.s;.^F=jJJa'.s;.^F. (1.4.9)
|
Теорема о наимеш»шеи работе. Истинные |
|
|
1.4.2. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ |
||||||||||
значения лишних неизвестных (реакции статически |
|
|||||||||||||
неопределимой системы, значения которых не |
|
|
Принцип ВОЗМОЖНЫХ перемещений. Рассмот |
|||||||||||
могут быть определены из уравнений равнове |
рим некоторое тело, загруженное объемными си |
|||||||||||||
сия) |
соответствуют условию |
стационарностилами Х^ и поверхностными |
F^^ на части повер |
|||||||||||
дополнительной потенциальной энергии тела: |
хности S\. Оставшаяся часть поверхности тела -52 |
|||||||||||||
|
bn\Q,R)=0. |
|
|
(1.4.6) |
имеет заданные перемещения (кинематические |
|||||||||
Здесь |
дополнительная |
потенциальная |
энергия |
граничные условия) |
|
|
|
|
||||||
П' должна быть представлена |
в виде |
функции |
|
|
u^ = W) наЛ2 |
(1.4.10) |
||||||||
внешней нагрузки Q и лишних реакций R. |
|
|
Тогда согласно принципу возможных пе |
|||||||||||
Для линейно деформируемой системы за |
ремещений для тела, находящегося в положении |
|||||||||||||
висимость (1.4.6) преобразуется к виду |
|
|
равновесия, сумма работ всех действующих на |
|||||||||||
|
оя(е,л) |
= о. |
|
|
(1.4.6') |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
него внешних (SU) и внутренних (-6/7) сил на |
|||||||
Теорема о взаимности работ для ливейно де |
любой системе возможных |
перемещений |
равна |
|||||||||||
нулю: |
|
|
|
|
||||||||||
формируемой системы. |
Рассмотрим для |
такой |
|
|
|
|
||||||||
|
|
5 Я - 5 ^ / = 0 , |
(1.4.11) |
|||||||||||
системы два равновесных состояния. Первое |
где |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
состояние вызывается приложением к системе |
dn = jjja,j5z,jdV |
|
(1.4.12) |
|||||||||||
(телу) |
обобщенныхсил |
Q JA: = l,/wi; |
|
второе |
|
|
|
|||||||
состояние вызывается приложением к телу |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
обобщенных сил Rj\j |
- 1,л). Теорема о взаим |
- приращение потенхщальной деформации тела; |
||||||||||||
ности работ гласит: при действии на линейно де |
|
|
|
+ jJF^^du^dS |
(1.4.13) |
|||||||||
формируемое тело поочередно двух систем нагрузок Ьи = jjjXibu^dV |
||||||||||||||
работа сил первого состояния |
{Qk) на |
соответ |
работа внешних объемных и поверхностных |
|||||||||||
ствующих им перемещениях |
|
|
|
- |
||||||||||
(г^), вызванных дей |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
сил на возможных перемещениях. |
|
|
|||||
ствием сил второго состояния, равна работе сил |
|
С учетом (1.4.12) и |
(1.4.13) |
зависимость |
||||||||||
второго состояния (Rj) на соответствующих им |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(1.4.11) примет вид |
|
|
|
|
|||
перемещениях {qj), вызванных действием на тело |
|
|
|
- jJF^^bu^dS = 0. |
||||||||||
сил первого состояния: |
|
|
|
|
jjj^ybsydV - jjjX^bu^dV |
|||||||||
|
T^л |
H^j^r |
|
|
(1.4.7) |
|
|
|
|
|
(1.4.14) |
|||
|
|
|
|
|
Вариационный |
принцип, |
выраженный |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
 : = l |
; =i |
|
|
|
|
формулой (1.4.14), часто именуют принципом |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Лагранжа. В такой формулировке принцип мо- |
44 Глава 1.4. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
жет быть использован для решения |
геометричес |
" / ( ^ 1 ' ^ 2 ' ^ з ) - ^ / о ( ^ 1 ' ^ 2 ' ^ з ) • |
||||
ки и физически нелинейных задач. |
|
|||||
|
|
|
||||
Выполнение условия (1.4.14) приводит к |
|
|
||||
тождественному |
выполнению |
всех |
уравнений |
|
|
|
равновесия по объему тела и естественных |
|
к=\ |
||||
(силовых) граничных условий на части поверх |
|
|||||
ности Si. Поскольку решение уравнения (1.4.14) |
^Jl^/iki^h |
^ъ ^з)> (^=1, 2, ..., Щ - система так на |
||||
строится на классе |
геометрически |
возможных |
зываемых координатных функций, удовле1ъо- |
|||
перемещений и, следовательно, условия сплош |
ряющих условиям Jшнeйнoй независимости и |
|||||
ности тождественно вьшолняются, то компонен |
полноты |
[3, 23]; ацс - параметры, подлежащие |
||||
ты перемещения |
w, (z |
= 1, 2, |
3), удовлетворяю |
определению. |
щие уравнению (1.4.14), будут истинными. |
Выражение |
(1.4.20) |
должно |
удовлетворять |
|||||||||||||||||
Функция работы внешних сил. Для сил, из |
при произвольных значениях параметров ацс |
||||||||||||||||||||
менением величины и направления действия ко |
условиям (1.4.19). Это, в частности, будет вы |
||||||||||||||||||||
торых при возможных перемещениях можно |
полнено, |
если |
функции |
ид) и fnç |
удовлетворяют |
||||||||||||||||
пренебречь, при использовании принципа воз- |
следующим дополнительным условиям: |
|
|||||||||||||||||||
можньос перемещений |
удобно ввести в |
рассмот |
|
|
" / 0 = " / 0 ^ |
fik |
|
= 0 е 5 2 . |
|
|
|||||||||||
рение функцию работы внешних сил |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
При соблюдении этих условий вариации |
|||||||||||||||||||
и |
= jjjX^u^dV + jJF^^u^dS. |
(1.4.15) |
|||||||||||||||||||
перемещений ôi// будут удовлетворять |
граничным |
||||||||||||||||||||
|
V |
|
|
s, |
|
|
|
|
условиям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ъи^ = О е |
^2 |
|
|
(1.4.21) |
||||||
с |
учетом выражения (1.4.15) |
зависимость |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
и, следовательно, |
могут приниматься |
в |
качестве |
||||||||||||||||||
(1.4.14) перепишется в виде |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
возможных перемещений. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
6^1 = 0 ( Я - |
t^ = |
0, |
|
|
(1.4.16) |
|
|
|
|
|
|||||||||
где |
|
|
|
В |
отдельных |
случаях |
при применении ва |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
риационных методов, в частности метода Ритца, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
можно |
получить |
вполне |
удовлетворительную |
||||||||
|
|
|
|
V |
|
|
|
S, |
|
точность |
при |
использовании |
в выражениях |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.4.20) систем функций, не удовлетворяющих |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.4.17) |
||||||||||||
- полная энергия деформируемого тела. |
условиям |
полноты. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Для отыскания постоянных ai^ следует |
||||||||||||||||||||
Таким образом, в состоянии равновесия |
предварительно получить |
выражения |
щт |
потен |
|||||||||||||||||
полная энергия 3i рассматриваемой системы |
циальной |
энергии |
77 и работы внешних |
сил U в |
|||||||||||||||||
принимает стационарное значение. При этом |
функции от компонентов |
перемещения. |
|
||||||||||||||||||
возможны следующие формы равновесия: |
Подстановка выражений (1.4.20) цдя. ком |
||||||||||||||||||||
устойчивое v9j = min, |
дЭ^ |
= 0 , |
ô |
2Э^ > 0; |
понентов перемещения в основное уравнение |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
52Э^ |
|
принципа Лагранжа (1.4.16), если учесть произ |
||||||||||||
неустойчивое |
Э^ = т а х , ЪЭ^ = 0 , |
<0; |
вольность |
вариаций |
Ъа^с, |
позволяет |
получить |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
систему основных уравнений метода Ритца: |
|||||||||||
безразличное |
Э^ = const, |
ЪЭ^ = О, |
Ô |
3^=0. |
|
|
|
д[П -и) |
= 0, |
|
|
(1.4.22) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.4.18) |
|
|
|
даik |
|
|
|
|||||
Приведенные условия составляют |
сущность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
принципа Дирихле, представляющего собой дос |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
таточный критерий для оценки состояния равно |
дп -\\\^ifik<iy-\\F.ifikdS-^^ |
|
|
|
|||||||||||||||||
весия рассматриваемого тела. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
В следующих нескольких параграфах изла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.4.23) |
||||||||||
гаются приближенные методы, основанные на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
использовании принципа возможных перемеще |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ний. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(/ = 1,2,3;Â: = |
1 , 2 , . . . , 7 V , . ) |
|
|
|
|
|
|||||
1.4.3. МЕТОД РИТЦА (24, 27, 35, 37, 42, 51] |
для определения неизвестных параметров aïk. |
||||||||||||||||||||
Расчетный алгоритм метода Ритца очень |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Основные положения метода. Пусть имеется |
прост и включает выполнение следующих ос |
||||||||||||||||||||
тело, загруженное |
объемными |
Х^ |
и |
поверх |
новных операций: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1) выбор координатных функций //д; и за |
|||||||||||||||||||||
ностными F^^ силами на части |
поверхности Si. |
||||||||||||||||||||
пись на их основе выражений (1.4.20) для ком |
|||||||||||||||||||||
На оставшейся части поверхности ^2 наложены |
понентов перемещений щ\ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
определенные геомет{)ические связи |
|
|
2) подстановку выбранных выражений для |
||||||||||||||||||
|
|
и^ =й^ |
( / = 1 , 2 , 3 ) . |
|
|
(1.4.19) |
перемещений в уравнения |
метода |
Ритца |
(1.4.22) |
|||||||||||
|
|
|
|
или (1.4.23). После выполнения всех необходи |
|||||||||||||||||
Неизвестные |
компоненты |
|
перемещений |
||||||||||||||||||
|
мых вычислительных операций получаем систе |
||||||||||||||||||||
"/(^ь ^2» ^з) находят в виде |
|
|
|
|
|
му линейных |
(для |
линейных задач) |
или пели- |
МЕТОД РИТЦА |
45 |
нейных алгебраических уравнений относительно параметров aïk;
3)определение параметров fl/jt из совмест ного решения системы алгебраических уравне ний, полученных в п. 2;
4)определение компонентов перемещений по формулам (1.4.20);
5)определение интересующих компонентов деформации и напряжения по найденным в п. 4 компонентам перемещения с помощью соответ ствующих зависимостей теории упругости.
Выбор координатных функции. Степень ус пешности применения метода Ритца для реше ния практических задач во многом зависит от того, насколько удачно выбрана система коорди натных функций. Разумно выбранная система координатных функций позволяет ограничиться в решении малым числом членов ряда и суще ственно сократить объем вычислений.
В качес1ъе координатных функций при решении одномерных краевых задач используют степенные, показательные, тригонометрические и специальные функции. Однако не всегда мож но в чистом виде какую-либо из упомянутых вьпие систему функций принять в качестве координатньБс. Систему координатных функций часто приходится строить непосредственно при решении задачи. При решении двух- и трехмер ных задач координатные фунющи, как правило, задают в виде произведения одномерных функ ций.
Пример 1. Построить систему координат ных функций для аппроксимации прогиба бал ки, один конец которой жестко заделан, а вто рой - свободно оперт на жесткую опору (см. рис. 1.4.3).
^
к=3 к=Ъ
В результате упругая линия балки примет вид
к=Ъ
Отсюда искомое выражение для координатных функций
/,{х)=х'[х'-'-1'-^],{к=ЪЛ..).
Каждая из функ1щй fj^x) удовлетворяет всем кинематическим условиям задачи:
Л(о) = о;/Ио) = о;/Л0 = О' (* = з,4,...).
Пример 2. Определить упругую линию не призматической балки жесткостью на изгиб EJ(x), лежащей на сплошном упругом основании переменной жесткости к{х). Внешняя нагрузка и условия закрепления балки показаны на рис. 1.4.4. Здесь через с^ обозначен коэффихщент податливости упругой заделки, а через А - коэф фициент податливости упругой опоры.
W
1Рис. 1.4.4. К расчету балки по методу Ритца
Ре ш е н и е . Из граничных условий балки лишь условие w(0)=0 является кинематическим. Оно удовлетворяется, если выражение для упру гой линии балки задается в виде суммы
Рис. 1.4.3. К определению координатной фунюши
Р е ш е н и е . Граничные условия такой
балки: при JC=0 W=W_-0; при х=1 }v=w'-0.
Подчеркнутые граничные условия являются кинематическими. Их выполнение при выборе координатных функций в методе Ритца является обязательным.
Зададим упрухую линию балки в форме степенного ряда
^w = £^^^^-
Â:=0
Кинематические условия при jc=0 удовлетворя ются, если положить ao=ai=0.
Подчиняя далее полученное выражение для w(x) условию w(/)=0, получаем
^М = Е^^Л(4 |
0-4.24) |
А:=1
где/^(х)=х^^ (А: = 1,2,...,7V).
Определим предварительно значение фун кционала Э\^П - и.
Потенциальная энергия деформации П складывается из потенциальных энергий изгиба балки, упругого основания, упругой заделки и упругой опоры:
, / |
/ |
0 |
" о |
(1.4.25)
2М 2А
46 |
Глава 1.4. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ |
Силовая функция внешних сил U содержит члены, учитьшающие работу поперечной нагруз ки q{x), сосредоточенной силы Р и момента М\
I
и = \q{x)w{x)dx + Pw{c^) - ^fw'{c2). (1.4.26)
О
при определении знака для каждого слага емого в (1.4.26) учтено, что работа положитель на, если направление действия нагрузки совпа дает с положительным направлением перемеще ния, на котором эта нагрузка совершает работу.
Подставляя (1.4.24) в выражения (1.4.25) и (1.4.26), получаем
1 |
N N |
N |
|
|
1У |
1У |
1У |
^ k=l /=1 |
к=1 |
||
где |
|
|
|
/ |
|
|
|
A^=JEJ{x)f;^{x)fr{x)dx |
+ |
||
О |
|
|
|
/ |
|
|
|
+ jk{x)f,{x)f,{x)dx |
+ |
сА А
I
Вк = Jф)ЛW^^^^4^l)-^^Д^2)•
Воспользовавшись далее уравнениями ме тода Ритца (1.4.22), получаем систему уравнений для определения параметров а^:
YA,,a,=B„{k = \,l,...,N).
ы\
Зная параметры ajç, с помощью выражения (1.4.24) находим упругую линию, а затем, при необходимости, и все остальные элементы изги ба балки.
задачи линейной теории упругости она имеет вид
ш -JL + X, L,dV-jf{oyl^j-F^,)bu,dS^O,
|
'I |
(/=1,2,3). |
(1.4.27) |
Уравнение (1.4.27) можно трактовать как условие равенства нулю суммы работ всех вне шних и внутренних сил упругой системы на соответствующих возможньос перемещениях.
В уравнениях (1.4.27) в круглых скобках под знаком интеграла стоят соответственно ос новные уравнения равновесия объемной зада^ш теории упругости и силовые (естественные) гра ничные условия.
Для задач нелинейной теории упругости входящие в (1.4.27) линейные уравнения равно весия и 1раничные условия следует заменить на соответствующие нелинейные зависимости.
Внося сюда выражения для вариахщй пере мещений (1.4.20)
ô«/ = 1.^^/^^П^1'^2'^з)' О* = 1'2,3)
к=1
и учитывая произвольность и линейную незави симость между собой 8ацсу получаем систему уравнений обобщенного метода Бубнова - Га леркина
ш |
|
\ |
|
дХ; |
kife(^P^2>^3y^-|J(Vy/- -^v/)' |
||
|
|
||
xf,,{x^,X2,x^)dS^0, |
(1.4.28) |
(/=1,2,3;Х: = 1,2,...,А^.).
Последовательно используя физические уравнения и геометрические соотношения, урав нения равновесия и сшювые граничные условия можно переписать в перемещениях:
Л ( « р " 2 ' « з ) + ^ / = О е К ; |
(1.4.29) |
^ / ( « 1 ' " 2 ' " з ) - Д ; / = 0 G 5 ' I , ( / = 1 , 2, 3), |
(1.4.30) |
1.4.4. ОБОБЩЕННЫЙ
МЕТОД БУБНОВА - ГАЛЕРКИНА [37, Щ
Основные положения метода. Обобщенный метод Бубнова - Галеркина является, по суще ству, necKOJHïKO иной формой записи основных уравнений метода Ритца (1.4.22).
_Пусть имеется тело, захруженное объемны ми Х^ и поверхностньв1И 7^^^ силами на части поверхности ^^i. На оставшейся части поверхнос
ти S2 наложены геометрические связи (1.4.21).
В качестве неизвестных компонентов пере мещений принимаются, как и в методе Ритца, выражения (1.4.20).
Система основных уравнений метода может быть получена непосредственно из (1.4.22). Для
где Ai и Bi - некоторые дифференциальные опе раторы.
Тогда уравнения метода Бубнова - Галер кина (1.4.28) примут вид
JlJ[Ai{u^,U2,u^)+Xi]fif^{x^,X2,x^yiV-
V
(/• = 1,2,3; |
k = |
l,2,...,N,). |
(1.4,31) |
МЕТОД БУБНОВА - ГАЛЕРКИНА |
47 |
Подставляя в уравнения (1.4.31) вьфажение (1.4.20) для I//, после вьшолнения операп>1Й ин тегрирования получаем систему алгебраических уравнений для определения неизвестных пара метров flifc.
Пример. Для консольной призматической балки (рис. 1.4.5), загруженной на конце силой Р, требуется с помощью обобщенного метода Бубнова - Галеркина определить приближенное выражение упругой линии
w{x) |
= a^4>i{x) +a24>2{x), |
(1.4.32) |
гдеф^(х)=х |
; ф 2 ( х ) = х . |
|
пг| J и I I I I I I , Uii11 _l
JUL
/
^-i-
и
Рис. 1.4.5. К расчету балки обобщенным методом Бубнова - Галеркина
Ре ш е н и е . Выпишем уравнение изгиба
играничные условия балки.
Уравнение изгиба балки
EJw^ (х) - q[x) = 0. |
(1.4.33) |
Нагрузка д(х) включена для удобства дальнейших рассуждений.
Граничные условия с учетом правила зна ков для изгибающих моментов и перерезываю щих сил запишутся так:
при х = 0 |
W =0, w' = 0; |
при X = / |
М- EJw" = 0, Р + EJw'" = 0. |
Для рассматриваемой балки М=0. Выражение (1.4.32) для балки удовлетворя
ет двум кинематическим граничным условиям при дс=0; оба же силовых граничных условия при хЧ оказываются невыполненными.
Уравнение обобщенного метода Бубнова - Галеркина (1.4.31) применительно к рассматри ваемой задаче запишется в виде
-J(EJW^^ - q\wdx - \[EJW' - M)bw'\ _ +
f|(£/>v" + P)bw\ |
= 0, |
(1.4.34) |
Для избежания ошибки в выборе знака (+ или -) перед каждым членом уравнения метода Бубнова - Галеркина рекомендуется ориентиро ваться на знак работы, совершаемой внешними
силами. В рассматриваемом случае поперечная нагрузка д(х), сила Р и момент M производят положительную работу.
Поскольку для рассматриваемой задачи д(х)=0, М=0, уравнение (1.4.34) запишется так:
/
JEJw^{x)5w{x)dx -h\EJw''dw'\^_^ -
-|(^/w''+ P)ô>v| _ =0 .
Из этого равенства, ecim учесть выражение (1.4.32), получаем для определения неизвестных
ai и 02 следующие два уравнения:
/
îEJw (x^ip^^x^dx+\EJw''(p[\ _ ~
о
/
-|(£/».-+ф,|^_^=.0.
Подставляя сюда w(x) и вьшолняя все не обходимые операции, получаем
|
Pi |
PI |
|
4а^ +6/^2 = — |
; 6^1 +12/^2 = — , |
||
откуда |
Е/ |
EJ |
|
Р1 |
Р1 |
||
«1 = |
|||
|
2EJ |
6EJ |
и, следовательно.
PI,3 (
w{x)^
6EJ t f
Полученное выражение является точным решением рассматриваемой задачи.
1.4.5. МЕТОД БУБНОВА - ГАЛЕРКИНА [21, 24, 37, 42, 51]
Если выбранные выражения (1.4.20) для перемещений щ наряду с кинематическими (главными) граничными условиями удовлетво ряют также и силовым (естественным) условиям, то в уравнениях обобщенного метода Бубнова - Галеркина (1.4.31) поверхностные интегралы исчезают, и уравнения принимают вид
ЩЛ(«р"2'«з) + ^/]/}И^1'^2^^з)^^ = 0
(/ = 1,2,3; к =1,2...). |
(1.4.35) |
48 |
Глава 1.4. ОБЩИЕ ТЕОРЕ]ЙЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ |
Уравнения (1.4.35) являются уравнениями
метода Бубнова - Галеркина. Внося (1.4.20) в
(1.4.35), получаем систему алгебраических урав нений для определения неизвестных параметров auc, которые входят в выражения (1.4.20) для перемещений Utixu Х2, хз).
Метод Бубнова - Галеркина применим и для приближенного решения дифференциальных уравнений, необязательно связанных с какойлибо вариационной проблемой.
Пример 1. Найти прогиб призматической свободно опертой балки жесткостью на изгиб EJ, загруженной равномерно распределенной на грузкой интенсивностью д.
Р е ш е н и е . Изгиб рассматриваемой бал ки описьюается дифференциальным уравнением
Erw^{x)-q |
= 0 |
|
при граничных условиях х = 0,х |
= l:w = w" = 0. |
|
Прогиб ищем в виде |
|
|
|
кюс |
|
Н-)= Z ai, sin- |
(1.4.36) |
|
Â:=l,2... |
/ |
|
Выражение (1.4.36) удовлетворяет всем граничным условиям. Это позволяет для опреде ления параметров а/с воспользоваться методом Бубнова - Галеркина:
fr^/vv^(x) - q]sm — dx = О, (/ = 1,2,.-- ,°о),
О
летворяющего всем граничньп^ условиям. В этом случае целесообразно воспользоваться следую щим приемом.
^ . - <tf |
f Y t Y ' |
1 ' f 1 |
1 |
|
' |
|
|
' Y |
|||
^ |
|
EJ^const |
^^ |
\z
Рис. 1.4.6. К расчету балки методом Бубнова - Галеркина
Решение уравнения (1.4.37) ищется в виде
оо |
|
w{x) = WQ{X) + J]af^cp^{x), |
(1.4.39) |
k=l
где (pk(x) - функции, образующие полную систе му и обладающие, по возможности, свойством ортогональности; щ{х) - некоторая функция, выбираемая так, чтобы при уже выбранной сис теме функций (ркЦх) выражение (1.4.39) удовлет воряло всем граничным условиям (1.4.38).
Подставив сюда выражение для прогиба из |
Для рассматриваемой задачи функцию |
(1.4.36) и вьшолнив необходимые вычислитель |
щ(х) можно задать полиномом третьей степени, |
ные операции, найдем значения параметров а/с, а |
а ipjdx) выбрать в виде синусов кратных аргумен |
затем выражение для прогиба балки |
тов. Тогда |
w(x) = 4^/^ |
^ |
1 . |
itec |
|
^ ^ ^ |
)t=l,2,... |
^' |
-sm- |
/ |
Ряд, стоящий в правой части, суммируется в замкнутом ввде, и поэтом< у
( |
2 |
з^ |
w\ |
l |
Г |
24EJ l |
что является точным выражением для прогиба рассматриваемой балки.
Промер 2. Найти прогиб призматической балки, левый конец которой свободно оперт, а правый - жестко заделан. Поперечная нагрузка изменяется по закону q(x)=qx/l (рис. 1.4.6).
Р е ш е н и е . Изгиб балки описывается дифференциальным уравнением
EJw'^{x) •^— = 0 |
(1.4.37) |
/ |
|
при граничных условиях |
|
X = 0:w = w' = 0; х = l: w=w' = 0. |
(1.4.38) |
Может оказаться затруднительным предста вить функцию w{x) ъ форме ряда (1.4.20), удов-
X |
X |
-^ |
-^ |
|
"^ |
кпх |
|
X |
|
|
|||
(х)=С1+С2 - + Сз — +С4 — + |
]^а^ sm- |
|||||
/ |
|
Г |
Г |
|
к=1 |
I |
|
|
|
|
|
(1.4.40) |
|
Подчинив |
(1.4.40) |
|
|
|
||
граничным условиям |
||||||
(1.4.38), получим |
|
|
|
|
|
|
w{x) |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
(1.4.41) |
|
|
hoc |
|
|||
|
|
|
|
|||
lW = Z^^sm- |
l |
|
|
|||
|
|
k=\ |
|
|
|
|
Внося (1.4.41) в уравнение (1.4.37), получа
ем
EJw^ {x)-q— = Ç).
Интегрируя полученное уравнение по ме тоду Бубнова - Галеркина, получаем систему уравнений для определения неизвестных пара метров:
МЕТОД ВЗВЕШЕННЫХ НЕВЯЗОК |
49 |
^ Z ^ A |
^кп^' |
sin |
кпх |
X |
sin |
пае , |
|
l |
q — |
ах = 0 |
|||
|
|
|
l |
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 / |
(-1)""^ |
|
|
|
|
^/t = |
5 |
|
к |
|
|
и далее |
|
%~EJ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
ql |
X ( X 2 |
|
|
|
k+\ |
|
9QEJ l |
|
|
|
|
|
|
knx |
|
|
|
|
|
|
xSin |
, |
|
|
|
|
|
/
ИЛИ, если учесть, что ряд в правой части сумми руется в замкнутом виде,
|
qlА ( |
2 ^^ |
W |
W 120EJ I |
1-- |
|
Г |
1.4.7. МЕТОД ВЗВЕШЕННЫХ НЕВЯЗОК
Этот метод получил в последние годы ис ключительно широкое использование для при ближенного рещения краевых задач механики сплошных сред. Из него как частный случай следуют многие другие известные приближенные методы: метод Бубнова - Галеркина, обобщен ный метод Бубнова - Галеркина, метод коллокаций. Он служит основой для построения многих современных формулировок методов конечных и граничных элементов. Хотя метод и не относит ся к числу вариационных, но и он для рассмат риваемого в механике твердого деформируемого тела класса задач формально допускает энергети ческую трактовку сути производимьгх при его использовании операций.
Пусть рассматриваемая краевая задача ме ханики твердого деформируемого тела описыва ется системой дифференциальных уравнений (1.4.29) при силовых граничных условиях
(1.4.30) на части поверхности тела S\ и кинема тических граничных условиях и^ - й^ на остав
шейся части поверхности S^.
Если предположить, что искомые функции "Х^1> ^2» ^з) удовлетворяют всем краевым услови ям и уравнениям равновесия (1.4.29), то после дние уравнения будут ортогональны к любой
системе функций \)fi}é<x\, хъ У^Ъ)'-
|ЯК("1'"2'"з) + ^/ЬИ^1'^2'^з)^^=^'
V
|
Если выражения (1.4.20) для компонентов |
(/ |
= 1,2,3; Â: = l,2,...). |
|
|
|
|
(1.4.44) |
||||||||
перемещений выбраны так, что они удовлетво |
|
|
|
|
||||||||||||
ряют |
кинематическим |
граничным |
условиям |
|
Уравнения (1.4.44) и есть уравнения метода |
|||||||||||
(1.4.19) и являются частными решениями урав |
взвешенных невязок. Внося |
в эти |
уравнения |
вы |
||||||||||||
нений равновесия по объему тела, то в уравне |
ражение (1.4.20) для w/(xi, Х2, хз), получаем сис |
|||||||||||||||
ниях (1.4.28) обобщенного метода Бубнова - |
тему алгебраических уравнений для определения |
|||||||||||||||
Галеркина объемные интегралы обращаются в |
неизвестных коэффициентов a\]ç. |
|
|
|
|
|||||||||||
нуль и уравнения принимают вид |
|
|
Выбор системы линейно-независимых ба |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
зисных функций \^uç (иногда их называют весо |
|||||||||||
JJ(^/vy - Ki)fik^^ = о, |
(/ = 1,2,3;^ = 1,2,...Л^,) выми, пробными) достаточно произволен. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1. Если в качестве базисных функций v|/ijt |
||||||||||
|
|
|
|
(1.4.42) |
выбрать координатные функции, т. е. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
%А:(^Р^2'^з) "^ |
fiky-V^ly^l)^ |
|
|
|||||||
или, |
если переписать силовые условия |
в пере |
|
|
|
|
||||||||||
то |
уравнения |
(1.4.44) |
переходят |
в |
уравнения |
|||||||||||
мещениях [см.(1.4.30)], |
|
|
||||||||||||||
|
|
метода Бубнова - Галеркина (1.4.35). |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2. В качестве базисных функций |
примем |
|||||||||
Я[А(«1'"2'"З) - Д . /(^1'^2 . ^З)1Л)^^^=^^ |
систему дельта-функций Дирака: |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
^ik |
= ф / -^yt,)>(^/ |
= 1.2,...), |
|
(1.4.45) |
||||||
(/=1,2,3; Â: = 1,2,...,7V^.). |
(1.4.43) |
где |
^=^ [х^.х^-^хЛ |
- |
координаты |
некоторой |
||||||||||
|
Уравнения (1.4.42) или (1.4.43) являются |
точки тела; |
х^ |
координаты |
совокупности |
|||||||||||
уравнениями метода Треффца. |
|
произвольно |
выбранных |
точек |
(А:г=1,2,...) |
по |
||||||||||
|
Внося выражения (1.4.20) для перемеще |
|||||||||||||||
|
объему тела. Индекс |
/ подчеркивает, |
что распо |
|||||||||||||
ний щ в (1.4.43), получаем необходимую систему |
||||||||||||||||
ложение |
этой |
совокупности точек для |
каждого |
|||||||||||||
апгебраических уравнений для определения па |
||||||||||||||||
значения /=1, 2, 3 может отличаться. |
|
|
|
|||||||||||||
раметров ацсу |
входящих |
в выражения |
для пере |
|
Дирака |
|||||||||||
мещений uix\, |
Х2, хз). |
|
|
|
По |
определению |
дельта-функция |
|||||||||
|
|
обладает следующими свойствами: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|