2.1.4. Основное уравнение гидростатики. Закон Паскаля
Основное уравнение гидростатики можно получить двумя способами: 1) из условия равновесия капельной жидкости в поле земного тяготения;
2) путем интегрирования основного дифференциального уравнения гидростатики Эйлера.
Рассмотрим
первый частный случай равновесия
жидкости, когда на нее действует лишь
одна массовая сила — сила тяжести.
Получим уравнение, позволяющее находить
гидростатическое давление в любой
точке рассматриваемого объема жидкости.
Пусть на свободную поверхность жидкости
(рис. 2.4) действует давление
.
Найдем
гидростатическое давление
в
произвольно взятой точке
,
расположенной
на глубине
.
Рис. 2.4. Схема для вывода основного уравнения гидростатики
Выделим
около точки
элементарную
горизонтальную площадку
и
построим на ней вертикальный цилиндрический
объем высотой
.
Рассмотрим
условие равновесия указанного объема
жидкости, выделенного из общей массы
жидкости. Давление жидкости на нижнее
основание цилиндра теперь будет внешним
и направлено по нормали внутрь объема,
т.е. вверх. Запишем сумму сил, действующих
па рассматриваемый объем в проекции на
вертикаль:
, (2.5)
где
- сила, направленная вверх;
-
сила, направленная вниз;
-
вес жидкости.
Силы
давления по боковой поверхности цилиндра
в уравнение не входят, так как они
нормальны к вертикали. Сократив выражение
(2.5) на
,
получим
, (2.6)
где
- плотность;
- удельный вес жидкости.
Полученное
уравнение называют основным
уравнением гидростатики.
По нему можно подсчитать давление в
любой точке покоящейся жидкости. Это
давление, как видно из уравнения,
складывается из двух величин: давления
на
внешней поверхности жидкости и давления
,
обусловленного весом вышележащих слоёв
жидкости. Вес столба жидкости, высота
которого равна глубине погружения
точки, а площадь основания равна единице,
численно равен
.
Закона
Паскаля. Давление,
приложенное к внешней поверхности
жидкости, передается всем точкам этой
жидкости и по всем направлениям одинаково,
т.е. внешнее давление
является
одинаковым для всех точек объема
жидкости. Это положение известно под
названием закона
Паскаля.
2.1.5. Поверхности уровня
Давление
жидкости, как видно из формулы
(2.6), возрастает с увеличением глубины
прямолинейно (по закону треугольника)
и на данной глубине есть величина
постоянная (рис.2.5).
Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня. В данном случае поверхностями уровня являются горизонтальные плоскости, а свободная поверхность является одной из поверхностей уровня.
Рис. 2.5. Закон распределения
давления
Представим
уравнение (2.6) в другой форме. Возьмем
на произвольной высоте горизонтальную
плоскость сравнения
,
от которой вертикально вверх будем
отсчитывать координаты
.
Обозначив
через
координату
точки
,
через
— координату
свободной поверхности жидкости и заменив
в уравнении (2.6)
,
получим
.
После
деления на
и перегруппировки членов, уравнение
примет вид
.
Так как точка М взята произвольно, можно утверждать, что для всего рассматриваемого неподвижного объема жидкости
, (2.7)
где все члены имеют линейную размерность и названия:
координата
-
геометрическая
высота;
-
пьезометрическая
высота;
-
гидростатический
напор.
Уравнение (2.7) является основным уравнением гидростатики, записанным в другой форме. Таким образом, гидростатический напор есть величина постоянная для всего объема неподвижной жидкости.
Далее те же основные уравнения гидростатики (2.6) и (2.7) будут получены путём интегрирования основного дифференциального уравнений гидростатики Эйлера.
Отступление: Б. Паскаль (1623 —1662 гг.) — известный французский математик, физик и философ. Уже в возрасте 16 лет он написал трактат о теории конических сечений. Около 1642 года он разработал арифметическую машину для автоматизации вычислений. Далее опубликовал работы по теории чисел, теории вероятностей, анализу бесконечно малых и др. К концу 1640 – началу 1650 г.г. относится увлечение Паскаля проблемами гидро- и аэростатики, после того как он узнал об опытах Торричелли. Результаты работ были изложены в «Трактате о равновесии жидкостей…», где он исследовал атмосферное давление и заложил основы гидростатики. Это сочинение явилось продолжением работ С. Стевина, Г. Галлилея, Э. Торричелли.