3. Гидродинамика

3.1. Основные задачи гидродинамики. Два метода

изучения движения жидкости (Лагранжа и Эйлера)

3.2. Виды движения жидкости

3.3. Линия тока и траектория частицы,

элементарная струйка

3.4. Закон сохранения массы. Расход.

Уравнение неразрывности

3.5. Живое сечение. Смоченный периметр.

Гидравлический радиус

3.6. Уравнение количества движения для потока жидкости

3.7. Дифференциальные уравнения движения

идеальной жидкости в форме уравнений Эйлера

3.8. Основное дифференциальное уравнение

установившегося движения идеальной жидкости

3.9. Уравнение Бернулли для струйки идеальной

несжимаемой жидкости

3.10. Уравнение Бернулли для элементарной

струйки вязкой жидкости

3.11. Уравнение Бернулли для потока вязкой

несжимаемой жидкости

3.12. Классификация гидравлических потерь.

Гидравлический и пьезометрический уклоны.

3.13. Применение уравнения Бернулли в технике

3.14. Основы гидродинамического подобия

3.15. Режимы течения жидкости

3.16. Критерий Рейнольдса и гидравлический радиус

3.1. Основные задачи гидродинамики. Два метода

изучения движения жидкости (Лагранжа и Эйлера)

Гидродинамика – раздел гидравлики, изучающий законы движения жидкости. Жидкость в гидродинамике рассматривается как сплошная среда, которая состоит из множества частиц, движущихся одна относительно другой.

Главной задачей гидродинамики является определение скоростей (поля скоростей) и гидродинамических давлений в любой точке жидкости. Рассматривая движущуюся жидкость, различают две основные задачи гидродинамики – внешнюю и внутреннюю.

1. Внешняя задача. Заданы характеристики потока. Требуется найти силы, действующие на то или другое тело при обтекании его потоком. Эта задача возникает в машиностроении при проектировании различных насосов и турбин, а в аэродинамике в связи с потребностями авиации (теория крыла, динамика полета) и судостроения.

2. Внутренняя задача. Заданы силы, действующие на жидкость. Требуется определить гидродинамические характеристики потока – скорость, давление и др. Эта задача чаще встречается в технической гидравлике, её мы и будем в основном рассматривать.

В гидравлике движение жидкости рассматривается как движение системы неограниченного множества материальных точек. При этом все частицы жидкости движутся различно, каждая по своей траектории, с различными скоростями и ускорениями. Такое движение представляет собой чрезвычайно сложный процесс, изучение которого связано с большими трудностями.

Целью изучения движения жидкости является определение кинематических характеристик – скоростей и ускорений, а на их основе – динамических характеристик, необходимых для решения практических задач.

Существуют два принципиально отличных метода изучения движения жидкости. Оба метода связаны с именами известных математиков и механиков – Жозефа Луи Лагранжа (1736-1813 г.г.) и Леонарда Эйлера (1707-1783 г.г.).

В обоих методах жидкость (капельная и газообразная) рассматривается как непрерывная среда, сплошь занимающая данное пространство. В качестве мельчайшего элемента жидкости принимается «частица» бесконечно малых размеров, но не отождествляемая с молекулой или атомом.

Метод Лагранжа. Метод Лагранжа основан на исследовании движения отдельных частиц жидкости при их перемещении в пространстве.

В методе Лагранжа положение индивидуальной частицы описывается законом её движения, т.е. тремя уравнениями

; (3.1)

где - координаты частицы;- время;- начальные координаты частиц, т.е. положение частиц в начальный момент времени. Следовательно, текущие координаты некоторой движущейся частицыявляются функциями четырёх переменныхи.Эти переменные называют переменными Лагранжа.

Совместное решение уравнений (3.1) определяет траекторию MN конкретной частицы с начальными координатами в течение времени(рис. 3.1).

Рис. 3.1. Траектория частицы жидкости

Из теоретической механики известно, что первые производные этих функций по времени определяют компоненты скорости частицы жидкости:

; ;,

а вторые производные – ускорения:

; ;,

где - компоненты вектора скорости.

Таким образом, в методе Лагранжа исследованию подлежит движение отдельных частиц жидкости.

Метод Эйлера. В методе Эйлера исследуют поля векторных и скалярных параметров движущейся жидкости, не рассматривая вопрос о том, как движется та или иная частица.

При неустановившемся движении каждому моменту времени соответствует своё поле скоростей в рассматриваемой области движения жидкости. Полное описание процесса достигается в том случае, когда определены скорости во всех точках области за весь период наблюдения . Это можно представить как серию последовательных кадров поля скоростей, полученного киносъёмкой. Если для данной системы координатопределены функции, описывающие изменение поля скоростей и давления во времени

,

(3.2)

то этим решена одна из основных задач гидродинамики – установлен закон распределения скоростей и давлений в потоке.

Таким образом, исследуют поля векторных и скалярных параметров движущейся жидкости, не рассматривая вопрос о том, как движется та или иная частица.

Оба метода исследования жидкости – и метод Лагранжа и метод Эйлера математически связаны между собой и возможен переход от уравнений (3.1) к уравнениям (3.2). Как показало развитие гидравлики, в большинстве случаев метод Лагранжа более сложен и трудоёмок, чем метод Эйлера. Поэтому далее в основном рассматривается решение задач движения жидкости на основе метода Эйлера.

Однако задача отыскания функций скорости и давления методом Эйлера также является весьма сложной. Даже заменяя реальную жидкость моделью «идеальной жидкости», решить её в большинстве случаев не представляется возможным.

Поэтому в технической гидродинамике идут по иному пути и используют так называемый «гидравлический метод». Гидравлический метод (метод технической гидродинамики) основан на использовании некоторых осреднённых и интегральных характеристик потока.

В основу этого метода полагают уравнения, которые существенно отличаются от системы уравнений в методе Эйлера. К числу таких основных уравнений гидравлики относятся следующие:

- уравнение несжимаемости и неразрывности для потока жидкости (уравнение расхода);

- уравнение кинетической энергии для потока реальной жидкости (уравнение Бернулли);

- уравнение количества движения для потока реальной жидкости;

- эмпирические и полуэмпирические зависимости (Дарси и Вейсбаха) для оценки работы сил трения, возникающих в реальной жидкости.

Используя данные уравнения в сочетании с некоторыми приёмами рассмотрения гидравлических явлений (линия тока, средняя скорость и др.) получаем законченную техническую теорию, позволяющую с приемлемой точностью решать большой круг практических задач, относящихся к механике реальной жидкости.