3.7. Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости в форме уравнений Эйлера
Рассмотрим вопрос о распределении давления в потоке идеальной жидкости. Обратимся к методу, применённому ранее для покоящейся жидкости.
Выделим
в потоке жидкости точку А
с координатами
в осях, связанных с границами потока
(например, со стенками трубопровода
(рис. 3.9).
Рис. 3.9. К выводу уравнений Эйлера
Около
этой точки выделим элементарный объём
жидкости в виде прямоугольного
параллелепипеда с боковыми рёбрами
,
как это было сделано в гидростатике.
На движущуюся жидкость действуют массовые силы – силы тяжести и силы инерции, а также силы давления, действующие на грани и направленные внутрь рассматриваемого объёма.
Пусть
давление в этой точке
,
плотность
.
Скорость движения частицы жидкости
обозначим через
,
а её проекции на оси -
.
Тогда проекции ускорения, с которым
движется выделенный объём, будут равны
.
Масса выделенного объёма -
.
Будем считать, что внутри этого объёма
на жидкость действует результирующая
массовая сила, единичные проекции
которой на оси координат равны
Составим
уравнение движения выделенного объёма
жидкости. Для этого спроектируем силы,
действующие на него, в направлении оси
.
.
(3.12)
После
деления на
и преобразования, получим
.
Рассматривая
аналогичным образом условия равновесия
этого объёма относительно
и
,
приходим к системе дифференциальных
уравнений движения идеальной жидкости
Эйлера (3.13).
(уравнения
Эйлера) (3.13)
Эти уравнения аналогичны уравнениям гидростатики, с тем, однако существенным отличием, что они, в соответствии с принципом Даламбера, содержат в правой части производную от соответствующей проекции скорости по времени.
Члены этих уравнений представляют собой ускорения, а физический смысл каждого уравнения состоит в следующем: полное ускорение частицы вдоль координатной оси складывается из ускорений от массовых сил и ускорений от сил давления.
Уравнения Эйлера справедливы как для несжимаемой жидкости, так и сжимаемой. Поскольку при выводе уравнений не накладывались условия стационарности движения, то они справедливы также и для неустановившегося движения.
Эти уравнения, как и уравнения гидростатики, были впервые выведены Леонардом Эйлером в 1755 году.
3.8. Основное дифференциальное уравнение установившегося движения идеальной жидкости
Умножая
левую и правую части первого из уравнений
Эйлера (3.8) на
,
второго на -
,
третьего на -
и складывая почленно эти уравнения,
получаем
.
(3.14)
Наложим на полученное уравнение два ограничения:
1)
будем считать движение жидкости
установившимся, т.е.
.
Тогда трёхчлен во вторых скобках есть
не что иное, как полный дифференциал
давления
;
2)
будем считать приращения
проекциями действительно малого
перемещения жидкой частицы. Введение
этого ограничения означает, что
.
В результате уравнение (3.14) принимает вид
.
(3.15)
Преобразуя выражение во вторых скобках, получим
.
Тогда уравнение (3.15) можно переписать в виде
.
(3.16)
Таким образом, мы получили основное дифференциальное уравнение установившегося движения идеальной жидкости при отсутствии инерционных сил переносного движения системы.