3.4. Закон сохранения массы. Расход. Уравнение неразрывности

Выделим элементарную струйку в области установившегося неравномерного течения жидкости (рис. 3.5).

Определим массу жидкости, проходящей через произвольные сечения 1-1 и 2-2 за время .

Воспользуемся свойством элементарной струйки о постоянстве скоростей в пределах бесконечно малых сечений и, т.е. считаем, что все частицы движутся через сечение 1-1 со скоростью, а через сечение 2-2 они движутся с другой, но тоже одинаковой по этому сечению скоростью.

Рис. 3.5. К закону сохранения массы

В течение выбранного промежутка времени через сечение 1-1 в отсек между сечениями войдёт объём жидкости

,

массой

.

За это же время через сечение 2-2 вытечет объём жидкости

массой

,

так как поверхность элементарной струйки (трубки тока) непроницаема.

За время положение, форма и размеры отсека элементарной струйки 1-2 не изменяются благодаря установившемуся движению жидкости. Учитывая, что жидкость представляет собой однородную несжимаемую среду, её плотность остаётся постоянной во времени, т.е.. Следовательно, масса жидкости в пределах отсека 1-2 тоже должна сохраняться неизменной во времени.

На основе приведённых рассуждений можно сделать вывод: масса жидкости, поступающая в отсек 1-2 через сечение 1-1 за время , должна равняться массе жидкости при её вытекании из этого отсека за то же время через сечение 2-2, т.е.

,

.

Сократив обе части на , получим

. (3. 2)

Уравнение (3.2) называется уравнением неразрывности для элементарной струйки при установившемся движении.

Оно является частным выражением общего закона сохранения массы в классической механике. Название «уравнение неразрывности» в условиях постоянства плотности жидкости подчёркивает невозможность нарушения её однородности во всей области движения. Если в движущейся жидкости появляются разрывы, например при кавитации, уравнение (3.4) теряет свою справедливость.

Расход. Расходом называется количество жидкости, протекающее через поперечное сечение элементарной струйки в единицу времени.

Это количество жидкости можно измерять в единицах массы, веса и объёма. Следовательно, для элементарной струйки:

1. массовый расход - ,;

2. весовой расход - ,;

3. объёмный расход - ,,

где - мгновенная или локальная скорость, т.е. скорость в точке жидкости в данный момент времени.

Различают также три способа измерения расхода – объёмный, массовый и весовой.

Уравнение расхода для потока жидкости. Расход потока жидкости равен алгебраической сумме расходов элементарных струек , составляющих данный поток, через поперечное сечение

.

Местная скорость жидкости в различных точках поперечного сечения потока может быть неодинаковой. Поэтому для упрощения описания характеристики движения всего потока вводится понятиесредней по всему сечению скорости потока - . Средняя скорость определяется выражением

.

Отсюда следует, что расход потока жидкости равен средней скорости, умноженной на площадь его поперечного сечения

. (3.3)

Таким образом, в случае несжимаемой жидкости объёмный расход остаётся вдоль струйки постоянным. Из уравнения (3.3) для двух сечений следует

, (3.4)

т.е. скорость течения несжимаемой жидкости обратно пропорциональна площади поперечного сечения струйки.

В случае сжимаемой жидкости (газообразной) требование неразрывности потока приводит к установлению равенства массового (3.5) или весового (3.6) расхода жидкости

, (3.5)

. (3.6)

Каждое из уравнений (3.3), (3.4), (3.5), (3.6) может быть названо уравнением неразрывности в форме уравнений расхода для потока жидкости. При решении задач гидромеханики следует помнить, что уравнения неразрывности в форме массового и весового расхода (3.5), (3.6) справедливы для сжимаемой и несжимаемой жидкости, а в форме объёмного расхода (3.3), (3.4) – только для жидкости несжимаемой. Вместе с тем уравнение расхода во всех этих трёх формах представляет собой частное выражение одного и того же закона – закона сохранения массы.