2.10.3. Равномерное вращение цилиндрического сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси

Предположим, что открытый цилиндрический сосуд с жидкостью приведен во вращательное движение вокруг вертикальной оси с угловой скоростью (рис. 2.21).

Вращающиеся стенки цилиндра приведут во вращательное движение ближайшие к стенкам слои жидкости, а затем, вследствие вязкости жидкости - и всю ее массу. По истечении известного времени все частицы жидкости будут вращаться примерно с одной и той же угловой скоростью , а свободная поверхность жидкости видоизменится. В центральной части уровень понизится, а у стенок – повысится. Допустим, что такой момент времени наступил. Определим форму поверхности уровня и, в частности, свободной поверхности.

Рис. 2.21. Относительное равновесие при вращении жидкости

вокруг вертикальной оси

Оси координат, как обычно, свяжем с сосудом. При этом будет представлять собой горизонтальную плоскость, а ось- направлена вертикально вверх. Отметим в жидкости произвольную точку.

Как и в предыдущей задаче, используем общее дифференциальное уравнение поверхности уровня (2.12)

.

Так как движение симметрично относительно оси вращения, то рассмотрим равновесие частиц жидкости, расположенных в плоскости координат .

На жидкость действуют единичные объемные силы:

- сила земного тяготения; - сила инерции.

Сила инерции представляет собой центробежную силу, направленную параллельно оси в сторону от оси вращения.

Следовательно, равнодействующая внешних объемных сил равна

,

и направлена по нормали к свободной поверхности под углом к оси

.

Очевидно, что в данном случае проекции единичных массовых сил:

; ;.

Делая подстановку в основное уравнение поверхности, получим:

,

или

,

и после интегрирования

.

Постоянную интегрирования находим при ,, т.е.. Тогда уравнение поверхности представляет собой параболу с вершиной в точкена оси

, (2.28)

где - глубина погружения точки.

Поскольку уравнение симметрично относительно оси , постольку поверхность уровня будет представлять собой параболоид вращения.

Закон распределения давления найдем, используя основное дифференциальное уравнение гидростатики (2.10)

.

Так как проекции единичных массовых сил равны

; ;,

то после подстановки, имеем

,

или

,

или

.

Интегрируя, находим (при и)

.

Для определения возьмем точку на свободной поверхности при . Для этой точки (давление атмосферное), (координата вершины параболы).

Тогда , и после подстановки

.

Учитывая, что и умножив обе части на, получим значение давления для всех точек любой вертикали на расстоянии от оси

. (2.29)

Как видим, при вращении сосуда с жидкостью давление в некоторой точке складывается из трёх частей:

1) внешнего давления на свободной поверхности;

2) весового давления ;

3) давления , производимого центробежной силой.

При этом давление в разных точках одной и той же горизонтальной плоскости не остается здесь постоянным, а изменяется по параболическому закону – пропорционально квадрату текущего радиуса вращения. С другой стороны, при распределение давления остается таким же, как при «абсолютном» равновесии.