2.10.1. Движение сосуда с жидкостью прямолинейно в произвольном направлении с постоянным ускорением

Пусть сосуд с жидкостью движется прямолинейно с постоянным ускорением в произвольном направлении, т.е. равноускоренно или равнозамедленно (рис. 2.19).

Рис. 2.19. Силы, действующие при относительном покое

жидкости и прямолинейном равноускоренном движении

В этом случае на любую точку в жидкости действуют две единичные массовые силы:- сила тяжести;- сила инерции переносного движения, равная ускорению, но направленная в противоположную сторону. Результирующая массовая сила, действующая на жидкость, равна сумме векторов силы тяжести и силы инерции, и направлена нормально к свободной поверхности. Проведя геометрическое сложение этих единичных сил (ускорений), получим результирующую единичную массовую силу:

,

где и- векторы единичных сил инерции и сил тяжести.

Оси координат жестко свяжем с сосудом. Для упрощения вывода ось проведём параллельно результирующему вектору, но направим в противоположную сторону. Осиирасположим в плоскости, нормальной к оси.

Поверхности уровня в этом случае представляет собой семейство плоскостей, нормальных к вектору , т.е. параллельных плоскости. Одна из них совпадает со свободной поверхностью жидкости (;).

Применим к этому случаю основное дифференциальное уравнение гидростатики (2.10)

.

Для нашего случая проекции единичных массовых сил будут равны ,и.

Тогда уравнение гидростатики примет вид

,

или

.

После интегрирования получаем

.

Постоянную интегрирования найдем из условий на свободной поверхности, т.е. для;:

,

или

.

Но - глубина погружения точкиотносительно свободной поверхности

.

Таков закон распределения давления в рассматриваемом случае.

Учитывая, что , а отношениеможет быть названо коэффициентом перегрузки, то закон распределения давления можно записать в другой форме:

,

где -коэффициент перегрузки.

При давлении на свободной поверхности, равном атмосферному , избыточное давление в точкеопределяется формулой

.

Для определения угла наклона свободной поверхности жидкости при произвольном движении необходимо знать угол наклона вектора ускорения относительно оси.

2.10.2. Движение сосуда с жидкостью вертикально вниз с постоянным ускорением

Предположим, что открытый резервуар вместе с находящейся в ней жидкостью движется в вертикальном направлении сверху вниз с некоторым постоянным ускорением , равным или меньшим ускорению свободного падения(рис. 2.20).

В этом случае на любую точку в жидкости действуют две единичные массовые силы:

- сила тяжести;

- сила инерции переносного движения.

Результирующая массовая сила , действующая на жидкость, равна сумме векторов силы тяжести и силы инерции, и направлена в сторону, обратную ускорению.

Рис. 2.20. Относительное равновесие жидкости

при движении по вертикали

Обозначив вектор равнодействующей массовой силы, отнесенной к единице массы, через получим

,

где и- векторы единичных сил инерции и тяжести.

Определим:

1) вид поверхности уровня;

2) закон распределения гидростатического давления.

Заметим, что, согласно принципу Даламбера, при любом движении тела можно пользоваться уравнениями статики, если к системе действующих сил прибавить силы инерции (они направлены в сторону, противоположную направлению движения). Такая система сил будет уравновешена, и тело можно считать находящимся в равновесном состоянии. Воспользуемся дифференциальным уравнением поверхности уровня (2.12)

.

Определим для данного случая проекции единичных массовых сил , и , которые численно равны ускорениям. Ускорение свободного падения (9,81 м/с²) и ускорение сил инерции направлены параллельно оси. Следовательно, проекции этих ускорений на оси и равны нулю: и. Проекция на осьравна

.

Подставив в дифференциальное уравнение поверхности, получим

.

Учитывая, что , а, т.е., следовательно, для выполнения равенства необходимо, чтобы.

Интегрируя последнее выражение, находим . А это значит, чтоповерхность уровня будет горизонтальной плоскостью.

Если , то и тогда может быть и не равным нулю, следовательно, форма свободной поверхности может быть произвольной.

Определим теперь закон распределения гидростатического давления для этого случая. Запишем основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме (2.10)

.

Для нашего случая ось направлена вертикально вверх, а осиилежат в плоскости нормальной оси, поэтому проекции единичных массовых сил будут равныии.

Тогда уравнение гидростатики примет вид

.

Так как , получим

,

Введем обозначение

.

где представляет собой объемный вес жидкостив условиях вертикального спуска с ускорением;

- коэффициент перегрузки или просто перегрузка.

Делая подстановку, получим

,

и после интегрирования найдем закон распределения давления

. (2.27)

Таким образом, в условиях спуска по вертикали с ускорением закон распределения гидростатического давления будет таким же, как и в обычных условиях равновесия жидкости в поле земного тяготения. Отличие заключается в том, что в подвижной системе координат удельный вес жидкости зависит от коэффициента перегрузки.

Причем, если , то при свободном падении, объемный вес , т.е. жидкость стала«невесомой».

Если ускорение имеет знак минус, т.е. происходит торможение, объемный вес будет «тяжелее» в раз. Таким образом, вес жидкости при относительном равновесии зависит от коэффициента перегрузки.