16. Узкополосный гауссов процесс

Представим случайный процесс для узкополосных сигналов – через огибающую и полную фазу:

(5.7)

Другие варианты представления – запись в виде квадратурных компонент

(5.8)

или через комплексные амплитуды

(5.9)

Связь введенных величин определяется следующими соотношениями:

(5.10)

Представлениями (5.7) – (5.9) удобно пользоваться при работе с узкополосными процессами, спектральная плотность интенсивности которых сосредоточена, в основном, вблизи частоты ₀, то есть G(| – ₀| > ) = 0,  << ₀. В этом случае функции (t), (t), (t), (t) и A(t) изменяются медленно по сравнению с 1/₀.

При условии существования производной исходного случайного процесса, можно положить

Отсюда

а сама производная случайного процесса может быть записана в виде

то есть в производной можно пренебречь производными медленных функций (t) и (t).

Будем считать исходный процесс (t) и все введенные вспомогательные функции (t), (t), (t), (t) и A(t) стационарными. Можно показать, что функция плотности вероятности процесса (t) должна быть симметричной, то есть (x) = (– x). Пусть также <(t)> = 0, тогда в соответствии с определением (5.8)

(5.11)

и можно записать:

Поскольку B() не должна зависеть от времени t, получим

(5.12)

Где

–мощность процесса (t). Введенная нами в (5.12) функция p() в нуле должна давать единицу p(0) = 1, поскольку

(5.13)

С учетом введенных в (5.12) функций выражение для функции автокорреляции принимает вид

(5.14)

где

Введем новую переменную интегрирования  =  – ₀, выразим функцию автокорреляции через одностороннюю спектральную плотность интенсивности G⁺():

Сравнивая полученное выражение с формулой (5.14), получим

откуда следует, что q() = – q(– ), q(0) = 0, т. Е. в совпадающие моменты времени квадратурные компоненты (t) и (t) некоррелированы: <(t)(t)> = 0. Кроме того, если спектральная плотность интенсивности G⁺() симметрична относительно частоты ₀, то есть G⁺(₀ + ) = G⁺(₀ – ), то q() = 0 и, в соответствии с (5.14), можно записать

(5.16)

При этом на основе (5.12) и (5.15) имеем

получим

Используя формулы перехода (5.10) и выражения (5.12), получаем выражение для функции автокорреляции комплексной амплитуды:

Используя формулы перехода (5.10) и выражения (5.12), легко получить выражение для функции автокорреляции комплексной амплитуды:

Если спектр G⁺() симметричен относительно частоты ₀, то

Р/м еще более частный случай – пусть (t) и (t) являются стационарными гауссовыми процессами; тогда и (t) – стационарный гауссов процесс. Функции (t), (t) и (t) имеют одинаковые первые и вторые моменты. Это означает, что все они описываются одной и той же функцией плотности вероятности

Поскольку в совпадающие моменты времени квадратурные компоненты (t) и (t) некоррелированы, их совместное распределение должно иметь вид (1.21) при R = 0, то есть

Это означает, что величины (t) и (t) статистически независимы и, следовательно, огибающая (t) должна описываться распределением Рэлея (1.22):

(5.18)

Совместное распределение огибающей и фазы процесса:

Фаза стационарного узкополосного гауссова процесса распределена равномерно

; кроме того, ясно, что огибающая и фаза такого процесса статистически независимы.